高中数学第一章三角函数15第一课时函数yAsinωx+φ的图象及变换学案新人教A版必修406082115.docx
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高中数学第一章三角函数15第一课时函数yAsinωx+φ的图象及变换学案新人教A版必修406082115
第一课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
预习课本P49～54，思考并完成以下问题
（1）将y＝sin（x＋φ）（其中φ≠0）的图象怎样变换，能得到y＝sinx的图象？
（2）函数y＝Asinx，x∈R（A＞0且A≠1）的图象，可由正弦曲线y＝sinx，x∈R怎样变换得到？
（3）函数y＝sinωx，x∈R（ω＞0且ω≠1）的图象，可由正弦曲线y＝sinx，x∈R怎样变换得到？
1．φ对函数y＝sin（x＋φ），x∈R的图象的影响
2．ω（ω＞0）对y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响
3．A（A＞0）对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响
[点睛]
（1）A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
（2）ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
（3）φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”.
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）由函数y＝sin的图象得到y＝sinx的图象，必须向左平移．（ ）
（2）把函数y＝sinx的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin3x的图象．（ ）
（3）将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A（A＞0）倍，便得到函数y＝Asinx的图象．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）√
2．将函数y＝sinx的图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为（ ）
A．y＝3sinx B．y＝sinx
C．y＝sin3xD．y＝sinx
答案：
A
3．为了得到函数y＝sin（x＋1）的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
答案：
A
4．将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得________的图象．
答案：
y＝sin4x
“五点法”作图
[典例] 用“五点法”作出函数y＝sinx－的简图．
[解] 函数y＝sin的周期T＝＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．列表如下：
x
π
4π
7π
x－
0
π
2π
sin
0
0
－
0
描点、连线，如图所示，
利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝sin的简图（图略）．
（1）“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
（2）用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）图象的步骤
第一步：
列表.
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
f（x）
0
A
0
－A
0
第二步：
在同一坐标系中描出各点．
第三步：
用光滑曲线连接这些点，形成图象．
[活学活用]
用“五点法”作出函数y＝sin在[0，π]上的图象．
解：
列出x，y的对应值表：
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示．
函数图象的平移变换
[典例] （山东高考）要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
[解析] 由y＝sin＝sin4得，只需将y＝sin4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
[答案] B
平移变换的策略
（1）先确定平移方向和平移的量．
（2）当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；若φ＜0，则右移|φ|个单位．
当x的系数是ω（ω＞0）时，若φ＞0，则左移个单位；若φ＜0，则右移个单位．
[活学活用]
1．将函数y＝sin向左平移个单位，可得到函数图象是（ ）
A．y＝sin2x B．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
解析：
选C y＝sin的图象
y＝sin＝sin的图象．
2．将函数y＝sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________.
解析：
因为φ∈[0,2π），所以把y＝sinx的图象向左平移φ个单位长度得到y＝sin（x＋φ）的图象，而sin＝sin＝sin，即φ＝.
答案：
函数图象的伸缩变换
[典例] 说明y＝－2sin＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样变换得到的．
[解] [法一 先伸缩后平移]
y＝sinx的图象y＝－2sinx的图象y＝－2sin2x的图象
y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
[法二 先平移后伸缩]
y＝sinx的图象y＝－2sinx的图象
y＝－2sin的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的步骤
[活学活用]
为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点（ ）
A．先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
B．先向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C．先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D．先向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解析：
选C 先将y＝2sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin，x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝2sin，x∈R的图象．
层级一 学业水平达标
1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sinx的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度
D．向下平移个单位长度
解析：
选B 将函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
2．将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：
选A y＝sin2x
y＝sin＝sin＝－sin（π－2x）＝－sin2x.
由于－sin（－2x）＝sin2x，所以是奇函数．
3．把函数y＝cosx的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为（ ）
A．y＝sin2x B．y＝cos
C．y＝cosD．y＝cos
解析：
选B y＝cosx的图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到y＝cos2x的图象；
再把y＝cos2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos2＝cos的图象．
4．函数y＝sin在区间上的简图是（ ）
解析：
选A 当x＝0时，y＝sin＝－<0，
故可排除B、D；当x＝时，sin＝sin0＝0，排除C.
5．把函数y＝sinx的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所对应的函数是（ ）
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
解析：
选C 把函数y＝sinx的图象上所有点向左平行移动个单位长度后得到函数y＝sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝sin的图象．
6．将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．
解析：
y＝sin的图象y＝sin的图象．
答案：
y＝sin
7．函数y＝sin的图象可以看作把函数y＝sin2x的图象向________平移________个单位长度得到的．
解析：
∵y＝sin＝sin2，
∴由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度便得到y＝sin的图象．
答案：
右
8．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________（填“伸长”或“缩短”）为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
解析：
A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
答案：
伸长 3
9．y＝cos的图象如何变换得到y＝sinx的图象？
解：
cos＝cos＝sinx，
所以将y＝cos的图象向右平移个单位长度便可得到y＝sinx的图象．
10．已知函数f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sinx的图象相同，求f（x）的解析式．
解：
反过来想，y＝sinx
y＝sin
y＝sin2x－，即f（x）＝sin.
层级二 应试能力达标
1．设g（x）的图象是由函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位得到的，则g等于（ ）
A．1 B．－
C．0D．－1
解析：
选D 由f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位得到的是g（x）＝cos的图象，则g＝cos＝cosπ＝－1.故选D.
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图象的解析式为（ ）
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
解析：
选D 将原函数图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图象，再把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得y＝sin的图象．
3．下列命题正确的是（ ）
A．y＝cosx的图象向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象
B．y＝sinx的图象向右平移个单位长度得到y＝cosx的图象
C．当φ＜0时，y＝sinx的图象向左平移|φ|个单位长度得到y＝sin（x＋φ）的图象
D．y＝sin的图象可以由y＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到
解析：
选A A中，y＝cosx的图象
y＝cos＝sinx的图象；
B中，y＝sinx的图象
y＝sin＝－cosx的图象；
C中，y＝sinx的图象
y＝sin（x＋|φ|）＝sin（x－φ）的图象；
D中，y＝sin2x的图象
y＝sin2＝sin的图象.
4．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：
选C 由于y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos，为得到该函数的图象，只需将y＝cos2x的图象向右平移个单位长度．
5．将函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________.
解析：
将y＝sinx的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f（x）＝sin，所以f＝sin＝sin＝.
答案：
6．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝cos的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．
解析：
cos＝sin，将y＝sin的图象上所有的点向左平移φ（φ＞0）个单位长度得y＝sin的图象．令＋＝2kπ＋，
∴φ＝4kπ－，k∈Z.
∴当k＝1时，φ＝是φ的最小正值．
答案：
7．函数f（x）＝5sin－3的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？
解：
先把函数y＝sinx的图象向右平移个单位，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍（横坐标不变）得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象．
8．已知函数f（x）＝3sin，x∈R.
（1）利用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的简图．
（2）先把f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，得到f1（x）的图象；然后把f1（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到f2（x）的图象；再把f2（x）的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到g（x）的图象，求g（x）的解析式．
解：
（1）列表取值：
描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图.
x
x－
0
π
2π
f（x）
0
3
0
－3
0
（2）将f（x）＝3sin图象上所有点向左平移个单位长度得到f1（x）＝3sin＝3sinx的图象．
把f1（x）＝3sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到f2（x）＝3sinx的图象，把f2（x）＝3sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）得到g（x）＝sinx的图象．
所以g（x）的解析式g（x）＝sinx.
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航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
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井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！
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水中的萍！
当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！
当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！
当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！
你燃烧自己后，贡献就大了
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