平面解析几何教案.docx
《平面解析几何教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面解析几何教案.docx(132页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![平面解析几何教案.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-3/28/ad29fe95-4a8d-43f1-8083-4cb32e2f89f4/ad29fe95-4a8d-43f1-8083-4cb32e2f89f41.gif)
平面解析几何教案
第十章平面解析几何
10.1直线方程教学内容及其要求:
一、教学内容
1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方程3.直线的平行与垂直
4.两条直线的交点及点到直线的距离二、教学要求
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握斜率公式,并会运用。
2.掌握直线的点斜式、斜截式和一般式方程,能较熟练地根据已知条件求直线方程。
3.掌握两直线平行和垂直的充要条件,并会熟练运用。
4.掌握求两直线交点的方法并会运用。
5.熟记点到直线的距离公式并会运用。
简单介绍直线方程的概念
我们把kx?
y?
b?
0(y?
kx?
b转换过来)叫做直线l的方程,反过来说直线l的方程表示就是kx?
y?
b?
0。
例1已知直线l的方程为2x?
3y?
6?
0
(1)求直线l与坐标轴交点的坐标。
(2)判
断点m1(?
1,1)、m2(2,?
10
)是否在直线l上。
3
解:
(1)要求坐标轴上的点,我们可以知道在x轴上坐标(x,0),在y轴上坐标(0,y)把(x,0)带入方程,得x?
?
3把(0,y)带入方程,得y?
?
2
(2)要问点是否在直线上,我们只需把点的坐标带入方程,方程左右相等,那么点就在直线上,否则就是不在。
把m1(?
1,1)带入方程左边,左边?
7?
右边,所以点不在直线上。
把m2(2,?
10
)带入方程左边,左边?
0?
右边,所以点在直线上。
3
例2已知直线l的方程为3x?
y?
12?
0
(1)求直线l与坐标轴交点的坐标。
(2)判断点m1(?
2,?
6)、m2(2,?
3)是否在直线l上。
解:
(1)要求坐标轴上的点,我们可以知道在x轴上坐标(x,0),在y轴上坐标(0,y)把(x,0)带入方程,得x?
?
4把(0,y)带入方程,得y?
12
(2)要问点是否在直线上,我们只需把点的坐标带入方程,方程左右相等,那么点就在直线上,否则就是不在。
把m1(?
2,?
6)带入方程左边,左边?
12?
右边,所以点不在直线上。
把m2(2,?
3)带入方程左边,左边?
21?
右边,所以点不在直线上。
10.1.1直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
(1)定义:
沿x轴正方向,逆时针旋转到与直线重合时所转的最小正角记作?
,那么?
就叫做直线l的倾斜角。
(2)图像表示:
(3)倾斜角的范围:
0180
2、直线的斜率
(1)定义:
直线的倾斜角?
(?
?
90)的正切值叫做这条直线的斜率。
通常用k表示。
即k?
tan?
(0180,?
?
90)
(2)斜率的四种情况:
1、当?
?
0时,k?
0;2、当090时,k?
0;3、当?
?
90时,k不存在;4、当90180,k?
0。
(3)已知直线上两点求直线斜率:
p1(x1,y1)、p2(x2,y2)图可不画
00
k?
y2?
y1x2?
x1
(x
2
?
x1)
若:
x2?
x1,直线垂直与x轴,这条直线的斜率不存在。
例1经过点a(3,2)、b(?
1,6)两点的直线的斜率和倾斜角?
解:
k?
y2?
y16?
2
1
x2?
x1?
1?
3
k?
tan1(0180,?
?
90)?
?
135
所以直线的斜率为-1,倾斜角为135。
例2已知直线直线l1的倾斜角?
?
60,直线l1与直线l2互相垂直,求l1、l2的斜率?
解:
直线l
1的斜率:
k1?
tan?
1?
tan60?
因为l1?
l2,?
2?
60?
90?
150
k2?
tan?
2?
tan150?
例3习题书后练习
00
8.1.2直线的方程
1、点斜式方程:
p(x0,y0),斜率k
y?
y0?
k(x?
x0)
例1求经过点(2,4),倾斜角为45的直线的方程?
解:
根据已知条件得
x0?
2、y0?
4、k?
tan45?
1带入点斜式方程:
y?
y0?
k(x?
x0)y?
4?
1?
(x?
2)y?
x?
2
例2已知经过点a(1,2)、点b(?
3,5)的直线方程?
解:
k?
y2?
y15?
23
x2?
x1?
3?
14
带入点斜式方程:
y?
y0?
k(x?
x0)y?
2(x?
1)
3
4311
y?
?
x?
44
2、斜截式方程:
斜率k,纵截距b
y?
kx?
b
例3求与y轴交与点b(0,?
3)且倾斜角为解:
先解释下纵截距bb(0,b)b?
?
3k?
tan
?
的直线方程?
4
?
4
?
1
带入斜截式方程;y?
kx?
by?
x?
3
例4已知横截距为a?
2、纵截距b?
?
2,求直线l的方程?
解:
根据题意得:
点(2,0)、(0,?
2)k?
y2?
y1?
2?
0
?
?
1
x2?
x10?
2
带入斜截式方程;
y?
kx?
b
y?
x?
2
3、直线的一般方程
把上面4个例子改成就行ax?
by?
c?
0
10..1.3两直线平行和垂直
1、两直线平行
定义:
l1?
l2?
k1?
k2
例1已知过点(4,?
3)且平行与直线2x?
y?
5?
0的直线方程?
解:
把一般方程改写成斜截式方程
2x?
y?
5?
0?
y?
?
2x?
5
k2?
?
2
?
l1?
l2?
k1?
k2
?
k1?
?
2
带入点斜式方程:
y?
y0?
k(x?
x0)
y?
3?
?
2?
(x?
4)
y?
?
2x?
5
2、两直线垂直
定义:
l1?
l2?
k1?
k2?
?
1
例1已知过点(1,?
2)且垂直与直线x?
2y?
5?
0的直线方程?
解:
把一般方程改写成斜截式方程
x?
2y?
5?
0?
y?
?
15x?
22
k2?
?
12
?
l1?
l2?
k1?
k2?
?
1
?
k1?
2
带入点斜式方程:
y?
y0?
k(x?
x0)
y?
2?
2?
(x?
1)
y?
2x?
4
10.1.4两直线的交点
例1书p8例题
10.1.5两直线的夹角(不讲)
1、定义:
两直线所形成的最小的角?
角叫两直线的夹角
2、夹角范围:
090
0当?
?
0?
l1?
l200
当?
?
90?
l1?
l2
3、夹角公式:
tan?
?
0k2?
k11?
k1k2
例1求直线l1:
2x?
y?
2?
0和直线l2:
x?
3y?
2?
0的夹角?
?
解:
根据题意求出两直线斜率
k1?
2、k2?
13
1?
2k2?
k1tan11?
k1k21?
2?
3
?
?
45
例2习题练习
10.1.5点到直线的距离
点p(x0,y0)到直线方程ax?
by?
c?
0的距离
d?
(a、b不全为0)
例1求点p(?
1,3)到下列直线的距离:
1、2x?
y?
3?
0;2、3x?
1;3、y?
1解:
1
、d?
?
?
5
?
2、3两条直线要么平行与x轴,要么垂直与x轴,我们采用图像法更简单。
例2采用书后习题
10.2圆及其方程
教学内容及其要求:
一、教学内容
1.圆的方程
2.直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
二、教学要求
1.掌握圆的定义、标准方程,会根据已知条件求圆的标准方程。
2.熟悉圆的一般方程,会根据已知条件求圆的一般方程,会根据所给方程判断是否表
示一个圆,并会进行圆的标准方程和一般方程的互化。
3.会根据方程讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。
10.2.1圆的方程
1、圆的标准方程
(x?
a)?
(y?
b)?
r
其中c(a,b)为圆心;r为半径。
例1指出下列圆的方程的圆心和半径?
1、(x?
3)?
(y?
3)?
16
圆心(3,?
3)、r?
4
2、(x?
1)?
(y?
2)?
9
圆心(?
1,?
2)、r?
3
例2求以c(2,1)为圆心的圆与之直线3x?
4y?
6?
0相切,求此圆的方程?
解:
根据题意得:
r?
d?
2222222
?
?
带入圆的方程:
45
(x?
a)?
(y?
b)?
r222
42
5
1622(x?
2)?
(y?
1)?
2522(x?
2)?
(y?
1)?
()
2、圆的一般方程(已知圆经过三点)
x?
y?
dx?
ey?
f?
0
22
结合书p15讲解
10.2.2直线与圆的位置关系
相切、相交、相离
1、如何判断直线与圆的位置关系
方法:
利用圆心到直线的距离d与圆的半径r作比较
d?
r相离
d?
r相切
d?
r相切
例1判别直线3x?
4y?
3?
0与圆x?
y?
2x?
4y?
0的位置关系
解:
根据题意得:
(x?
1)?
(y?
2)?
5
圆心(1,?
2)、半径r?
d?
2222
?
14?
2.85
d?
r相离
10.2.3圆与圆的位置关系
简单介绍下以书上例子讲解下
10.3椭圆及其方程
教学内容及其要求:
一、教学内容
1.椭圆的定义和标准方程
2.椭圆的几何性质
二、教学要求
1.理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程,了解标准方程的推导方法,能根据给定的
条件求椭圆的标准方程。
2.掌握椭圆的几何性质,能根据椭圆的标准方程求它的范围、焦点坐标、顶点坐标、
长轴长、短轴长、焦距和离心率。
10.3.1椭圆的定义与标准方程
1、椭圆的定义
平面内到两定点f1、f2的距离之和为常数(大于f1f2)的点的轨迹叫做椭圆。
两定点f1、f2叫做焦距,两焦点f1、f2间的距离叫做椭圆的焦距。
2、椭圆的标准方程
x2y2
(1)焦点在x轴上:
2?
2?
1ab
y2x2
(2)焦点在y轴上:
2?
2?
1ab
10.3.2椭圆的的几何性质
x2y2
1、x轴方程2?
2?
1ab
(1)图像
(2)a为长半轴、b为短半轴、c为焦半距;2a为长轴、2b为短轴;2c为焦距。
a?
b?
c222
(3)顶点(?
a,0)、(0,?
b);焦点(?
c,0)。
(4)离心率:
e?
ca
y2x2
2、y轴方程2?
2?
1ab
(1)图像
(2)a为长半轴、b为短半轴、c为焦半距;2a为长轴、2b为短轴;2c为焦距。
a?
b?
c222
(3)顶点(?
b,0)、(0,?
a);焦点(0,?
c)。
(4)离心率:
e?
ca
例1已知椭圆方程4x?
y?
16,求其长轴、短轴、离心率、顶点坐标、焦点坐标,并指出为何轴方程?
解:
将方程化为标准方程22
x2y2
?
?
1416
a?
16、b?
422
a?
4、b?
2、c?
?
为y轴方程
长轴2a?
8、短轴2b?
4、焦距2c?
顶点坐标(?
b,0)、(0,?
a)
(?
2,0)、(0,?
4)
焦点坐标(0,?
c)
(0,?
例2已知椭圆的焦点在x轴上,焦距与长半轴的长的和为10,离心率为
的标准方程?
解:
根据题意得
2c?
a?
10
e?
1,求椭圆3c1?
a3
a?
6、c?
2
b?
a?
c?
32222
x2y2
x轴方程2?
2?
1ab
x2y2
?
?
13632
例3椭圆经过(2,0)、(0,?
3),求椭圆方程?
解:
分析题型注意这个两点的特殊性
根据题意得:
y2x2
a?
3、b?
2、方程为y轴方程:
2?
2?
1ab
y2x2
2?
2?
132
y2x2
?
?
194
例4参考书后习题p21-22
10.4双曲线及其方程
教学内容及其要求:
一、教学内容
1.双曲线的定义和标准方程
2.双曲线的几何性质
二、教学要求
1.知道双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程,了解标准方程的推导方法,能根据给定的条件求双曲线的标准方程。
2.掌握双曲线的几何性质,能根据双曲线的标准方程求它的范围、焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、焦距、离心率和渐近线方程。
10.4.1双曲线的定义和标准方程
1、双曲线的定义
平面内到两定点f1、f2的距离之差的绝对值为常数(大于f1f2)的点的轨迹叫做双
曲线。
两定点f1、f2叫做焦距,两焦点f1、f2间的距离叫做椭圆的焦距。
3、双曲线的标准方程
x2y2
(3)焦点在x轴上:
2?
2?
1ab
y2x2
(4)焦点在y轴上:
2?
2?
1ab
10.4.2双曲线的的几何性质
x2y2
1、x轴方程2?
2?
1ab
(1)图像
(2)a为实半轴、b为虚半轴、c为焦半距;2a为实轴、2b为虚轴;2c为焦距。
c?
a?
b222
(3)顶点(?
a,0);焦点(?
c,0)。
(4)离心率:
e?
ca
bxa(5)渐近线方程:
y?
?
y2x2
2、y轴方程2?
2?
1ab
(1)图像
(2)a为实半轴、b为虚半轴、c为焦半距;2a为实轴、2b为虚轴;2c为焦距。
c?
a?
b222
(3)顶点(0,?
a);焦点(0,?
c)。
(4)离心率:
e?
ca
axb(5)渐近线方程:
y?
?
例1已知双曲线方程4x?
y?
16,求其实轴、虚轴、离心率、顶点坐标、焦点坐标,并指出为何轴方程?
解:
将方程化为标准方程22
x2y2
?
?
1416
a?
4、b?
1622
a?
2、b?
4、c?
?
为x轴方程
实轴2a?
4、虚轴2b?
8、焦距2c?
顶点坐标(?
a,0)
(?
2,0)
焦点坐标(?
c,0)
(?
例2已知双曲线的焦点在y轴上,焦半距与实轴的长的和为10,离心率为曲线的标准方程?
解:
根据题意得
c?
2a?
10
e?
4,求双3c4?
a3
a?
3、c?
4
b?
c?
a?
7222
y2x2
y轴方程2?
2?
1ab
y2x2
?
?
197
例3双曲线经过(2,0),焦距为6,求椭圆方程?