平面解析几何教案.docx
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平面解析几何教案
第十章平面解析几何
10.1直线方程教学内容及其要求：
一、教学内容
1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方程3.直线的平行与垂直
4.两条直线的交点及点到直线的距离二、教学要求
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握斜率公式，并会运用。
2.掌握直线的点斜式、斜截式和一般式方程，能较熟练地根据已知条件求直线方程。
3.掌握两直线平行和垂直的充要条件，并会熟练运用。
4.掌握求两直线交点的方法并会运用。
5.熟记点到直线的距离公式并会运用。
简单介绍直线方程的概念
我们把kx?
y?
b?
0（y?
kx?
b转换过来）叫做直线l的方程，反过来说直线l的方程表示就是kx?
y?
b?
0。
例1已知直线l的方程为2x?
3y?
6?
0
（1）求直线l与坐标轴交点的坐标。
（2）判
断点m1（?
1,1）、m2（2,?
10
）是否在直线l上。
3
解：
（1）要求坐标轴上的点，我们可以知道在x轴上坐标（x,0），在y轴上坐标（0,y）把（x,0）带入方程，得x?
?
3把（0,y）带入方程，得y?
?
2
（2）要问点是否在直线上，我们只需把点的坐标带入方程，方程左右相等，那么点就在直线上，否则就是不在。
把m1（?
1,1）带入方程左边，左边?
7?
右边，所以点不在直线上。
把m2（2,?
10
）带入方程左边，左边?
0?
右边，所以点在直线上。
3
例2已知直线l的方程为3x?
y?
12?
0
（1）求直线l与坐标轴交点的坐标。
（2）判断点m1（?
2,?
6）、m2（2,?
3）是否在直线l上。
解：
（1）要求坐标轴上的点，我们可以知道在x轴上坐标（x,0），在y轴上坐标（0,y）把（x,0）带入方程，得x?
?
4把（0,y）带入方程，得y?
12
（2）要问点是否在直线上，我们只需把点的坐标带入方程，方程左右相等，那么点就在直线上，否则就是不在。
把m1（?
2,?
6）带入方程左边，左边?
12?
右边，所以点不在直线上。
把m2（2,?
3）带入方程左边，左边?
21?
右边，所以点不在直线上。
10.1.1直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
（1）定义：
沿x轴正方向，逆时针旋转到与直线重合时所转的最小正角记作?
，那么?
就叫做直线l的倾斜角。
（2）图像表示：
（3）倾斜角的范围：
0180
2、直线的斜率
（1）定义：
直线的倾斜角?
（?
?
90）的正切值叫做这条直线的斜率。
通常用k表示。
即k?
tan?
（0180,?
?
90）
（2）斜率的四种情况：
1、当?
?
0时，k?
0；2、当090时，k?
0；3、当?
?
90时，k不存在；4、当90180，k?
0。
（3）已知直线上两点求直线斜率：
p1（x1,y1）、p2（x2,y2）图可不画
00
k?
y2?
y1x2?
x1
（x
2
?
x1）
若：
x2?
x1，直线垂直与x轴，这条直线的斜率不存在。
例1经过点a（3,2）、b（?
1,6）两点的直线的斜率和倾斜角？
解：
k?
y2?
y16?
2
1
x2?
x1?
1?
3
k?
tan1（0180,?
?
90）?
?
135
所以直线的斜率为-1，倾斜角为135。
例2已知直线直线l1的倾斜角?
?
60，直线l1与直线l2互相垂直，求l1、l2的斜率？
解：
直线l
1的斜率：
k1?
tan?
1?
tan60?
因为l1?
l2，?
2?
60?
90?
150
k2?
tan?
2?
tan150?
例3习题书后练习
00
8.1.2直线的方程
1、点斜式方程：
p（x0,y0），斜率k
y?
y0?
k（x?
x0）
例1求经过点（2,4），倾斜角为45的直线的方程?
解：
根据已知条件得
x0?
2、y0?
4、k?
tan45?
1带入点斜式方程：
y?
y0?
k（x?
x0）y?
4?
1?
（x?
2）y?
x?
2
例2已知经过点a（1,2）、点b（?
3,5）的直线方程？
解：
k?
y2?
y15?
23
x2?
x1?
3?
14
带入点斜式方程：
y?
y0?
k（x?
x0）y?
2（x?
1）
3
4311
y?
?
x?
44
2、斜截式方程：
斜率k，纵截距b
y?
kx?
b
例3求与y轴交与点b（0,?
3）且倾斜角为解：
先解释下纵截距bb（0,b）b?
?
3k?
tan
?
的直线方程？
4
?
4
?
1
带入斜截式方程；y?
kx?
by?
x?
3
例4已知横截距为a?
2、纵截距b?
?
2，求直线l的方程？
解：
根据题意得：
点（2,0）、（0,?
2）k?
y2?
y1?
2?
0
?
?
1
x2?
x10?
2
带入斜截式方程；
y?
kx?
b
y?
x?
2
3、直线的一般方程
把上面4个例子改成就行ax?
by?
c?
0
10..1.3两直线平行和垂直
1、两直线平行
定义：
l1?
l2?
k1?
k2
例1已知过点（4,?
3）且平行与直线2x?
y?
5?
0的直线方程？
解：
把一般方程改写成斜截式方程
2x?
y?
5?
0?
y?
?
2x?
5
k2?
?
2
?
l1?
l2?
k1?
k2
?
k1?
?
2
带入点斜式方程：
y?
y0?
k（x?
x0）
y?
3?
?
2?
（x?
4）
y?
?
2x?
5
2、两直线垂直
定义：
l1?
l2?
k1?
k2?
?
1
例1已知过点（1,?
2）且垂直与直线x?
2y?
5?
0的直线方程？
解：
把一般方程改写成斜截式方程
x?
2y?
5?
0?
y?
?
15x?
22
k2?
?
12
?
l1?
l2?
k1?
k2?
?
1
?
k1?
2
带入点斜式方程：
y?
y0?
k（x?
x0）
y?
2?
2?
（x?
1）
y?
2x?
4
10.1.4两直线的交点
例1书p8例题
10.1.5两直线的夹角（不讲）
1、定义：
两直线所形成的最小的角?
角叫两直线的夹角
2、夹角范围：
090
0当?
?
0?
l1?
l200
当?
?
90?
l1?
l2
3、夹角公式：
tan?
?
0k2?
k11?
k1k2
例1求直线l1：
2x?
y?
2?
0和直线l2：
x?
3y?
2?
0的夹角?
？
解：
根据题意求出两直线斜率
k1?
2、k2?
13
1?
2k2?
k1tan11?
k1k21?
2?
3
?
?
45
例2习题练习
10.1.5点到直线的距离
点p（x0,y0）到直线方程ax?
by?
c?
0的距离
d?
（a、b不全为0）
例1求点p（?
1,3）到下列直线的距离：
1、2x?
y?
3?
0；2、3x?
1；3、y?
1解：
1
、d?
?
?
5
?
2、3两条直线要么平行与x轴，要么垂直与x轴，我们采用图像法更简单。
例2采用书后习题
10.2圆及其方程
教学内容及其要求：
一、教学内容
1.圆的方程
2.直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
二、教学要求
1.掌握圆的定义、标准方程，会根据已知条件求圆的标准方程。
2.熟悉圆的一般方程，会根据已知条件求圆的一般方程，会根据所给方程判断是否表
示一个圆，并会进行圆的标准方程和一般方程的互化。
3.会根据方程讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。
10.2.1圆的方程
1、圆的标准方程
（x?
a）?
（y?
b）?
r
其中c（a,b）为圆心；r为半径。
例1指出下列圆的方程的圆心和半径?
1、（x?
3）?
（y?
3）?
16
圆心（3,?
3）、r?
4
2、（x?
1）?
（y?
2）?
9
圆心（?
1,?
2）、r?
3
例2求以c（2,1）为圆心的圆与之直线3x?
4y?
6?
0相切，求此圆的方程？
解：
根据题意得：
r?
d?
2222222
?
?
带入圆的方程:
45
（x?
a）?
（y?
b）?
r222
42
5
1622（x?
2）?
（y?
1）?
2522（x?
2）?
（y?
1）?
（）
2、圆的一般方程（已知圆经过三点）
x?
y?
dx?
ey?
f?
0
22
结合书p15讲解
10.2.2直线与圆的位置关系
相切、相交、相离
1、如何判断直线与圆的位置关系
方法：
利用圆心到直线的距离d与圆的半径r作比较
d?
r相离
d?
r相切
d?
r相切
例1判别直线3x?
4y?
3?
0与圆x?
y?
2x?
4y?
0的位置关系
解：
根据题意得：
（x?
1）?
（y?
2）?
5
圆心（1,?
2）、半径r?
d?
2222
?
14?
2.85
d?
r相离
10.2.3圆与圆的位置关系
简单介绍下以书上例子讲解下
10.3椭圆及其方程
教学内容及其要求：
一、教学内容
1.椭圆的定义和标准方程
2.椭圆的几何性质
二、教学要求
1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，了解标准方程的推导方法，能根据给定的
条件求椭圆的标准方程。
2.掌握椭圆的几何性质，能根据椭圆的标准方程求它的范围、焦点坐标、顶点坐标、
长轴长、短轴长、焦距和离心率。
10.3.1椭圆的定义与标准方程
1、椭圆的定义
平面内到两定点f1、f2的距离之和为常数（大于f1f2）的点的轨迹叫做椭圆。
两定点f1、f2叫做焦距，两焦点f1、f2间的距离叫做椭圆的焦距。
2、椭圆的标准方程
x2y2
（1）焦点在x轴上：
2?
2?
1ab
y2x2
（2）焦点在y轴上：
2?
2?
1ab
10.3.2椭圆的的几何性质
x2y2
1、x轴方程2?
2?
1ab
（1）图像
（2）a为长半轴、b为短半轴、c为焦半距；2a为长轴、2b为短轴；2c为焦距。
a?
b?
c222
（3）顶点（?
a,0）、（0,?
b）；焦点（?
c,0）。
（4）离心率：
e?
ca
y2x2
2、y轴方程2?
2?
1ab
（1）图像
（2）a为长半轴、b为短半轴、c为焦半距；2a为长轴、2b为短轴；2c为焦距。
a?
b?
c222
（3）顶点（?
b,0）、（0,?
a）；焦点（0,?
c）。
（4）离心率：
e?
ca
例1已知椭圆方程4x?
y?
16，求其长轴、短轴、离心率、顶点坐标、焦点坐标，并指出为何轴方程？
解：
将方程化为标准方程22
x2y2
?
?
1416
a?
16、b?
422
a?
4、b?
2、c?
?
为y轴方程
长轴2a?
8、短轴2b?
4、焦距2c?
顶点坐标（?
b,0）、（0,?
a）
（?
2,0）、（0,?
4）
焦点坐标（0,?
c）
（0,?
例2已知椭圆的焦点在x轴上，焦距与长半轴的长的和为10，离心率为
的标准方程？
解：
根据题意得
2c?
a?
10
e?
1，求椭圆3c1?
a3
a?
6、c?
2
b?
a?
c?
32222
x2y2
x轴方程2?
2?
1ab
x2y2
?
?
13632
例3椭圆经过（2,0）、（0,?
3），求椭圆方程？
解：
分析题型注意这个两点的特殊性
根据题意得：
y2x2
a?
3、b?
2、方程为y轴方程：
2?
2?
1ab
y2x2
2?
2?
132
y2x2
?
?
194
例4参考书后习题p21-22
10.4双曲线及其方程
教学内容及其要求：
一、教学内容
1.双曲线的定义和标准方程
2.双曲线的几何性质
二、教学要求
1.知道双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程，了解标准方程的推导方法，能根据给定的条件求双曲线的标准方程。
2.掌握双曲线的几何性质，能根据双曲线的标准方程求它的范围、焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、焦距、离心率和渐近线方程。
10.4.1双曲线的定义和标准方程
1、双曲线的定义
平面内到两定点f1、f2的距离之差的绝对值为常数（大于f1f2）的点的轨迹叫做双
曲线。
两定点f1、f2叫做焦距，两焦点f1、f2间的距离叫做椭圆的焦距。
3、双曲线的标准方程
x2y2
（3）焦点在x轴上：
2?
2?
1ab
y2x2
（4）焦点在y轴上：
2?
2?
1ab
10.4.2双曲线的的几何性质
x2y2
1、x轴方程2?
2?
1ab
（1）图像
（2）a为实半轴、b为虚半轴、c为焦半距；2a为实轴、2b为虚轴；2c为焦距。
c?
a?
b222
（3）顶点（?
a,0）；焦点（?
c,0）。
（4）离心率：
e?
ca
bxa（5）渐近线方程：
y?
?
y2x2
2、y轴方程2?
2?
1ab
（1）图像
（2）a为实半轴、b为虚半轴、c为焦半距；2a为实轴、2b为虚轴；2c为焦距。
c?
a?
b222
（3）顶点（0,?
a）；焦点（0,?
c）。
（4）离心率：
e?
ca
axb（5）渐近线方程：
y?
?
例1已知双曲线方程4x?
y?
16，求其实轴、虚轴、离心率、顶点坐标、焦点坐标，并指出为何轴方程？
解：
将方程化为标准方程22
x2y2
?
?
1416
a?
4、b?
1622
a?
2、b?
4、c?
?
为x轴方程
实轴2a?
4、虚轴2b?
8、焦距2c?
顶点坐标（?
a,0）
（?
2,0）
焦点坐标（?
c,0）
（?
例2已知双曲线的焦点在y轴上，焦半距与实轴的长的和为10，离心率为曲线的标准方程？
解：
根据题意得
c?
2a?
10
e?
4，求双3c4?
a3
a?
3、c?
4
b?
c?
a?
7222
y2x2
y轴方程2?
2?
1ab
y2x2
?
?
197
例3双曲线经过（2,0），焦距为6，求椭圆方程？
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