1、平面解析几何教案 第十章 平面解析几何 10.1直线方程 教学内容及其要求: 一、教学内容 1. 直线的倾斜角与斜率 2. 直线的方程 3. 直线的平行与垂直 4. 两条直线的交点及点到直线的距离 二、教学要求 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握斜率公式,并会运用。 2. 掌握直线的点斜式、斜截式和一般式方程,能较熟练地根据已知条件求直线方程。 3. 掌握两直线平行和垂直的充要条件,并会熟练运用。 4. 掌握求两直线交点的方法并会运用。 5. 熟记点到直线的距离公式并会运用。 简单介绍直线方程的概念 我们把kx?y?b?0(y?kx?b转换过来)叫做直线l的方程,反过来说直线l的方程表示
2、就是kx?y?b?0。 例1 已知直线l的方程为2x?3y?6?0(1)求直线l与坐标轴交点的坐标。(2)判 断点m1(?1,1)、m2(2,? 10 )是否在直线l上。 3 解:(1)要求坐标轴上的点,我们可以知道在x轴上坐标(x,0),在y轴上坐标(0,y) 把(x,0)带入方程,得x?3 把(0,y)带入方程,得y?2 (2)要问点是否在直线上,我们只需把点的坐标带入方程,方程左右相等,那么点就在直线上,否则就是不在。 把m1(?1,1)带入方程左边,左边?7?右边,所以点不在直线上。 把m2(2,? 10 )带入方程左边,左边?0?右边,所以点在直线上。 3 例2 已知直线l的方程为3
3、x?y?12?0(1)求直线l与坐标轴交点的坐标。(2)判断点m1(?2,?6)、m2(2,?3)是否在直线l上。 解:(1)要求坐标轴上的点,我们可以知道在x轴上坐标(x,0),在y轴上坐标(0,y) 把(x,0)带入方程,得x?4 把(0,y)带入方程,得y?12 (2)要问点是否在直线上,我们只需把点的坐标带入方程,方程左右相等,那么点就在直线上,否则就是不在。 把m1(?2,?6)带入方程左边,左边?12?右边,所以点不在直线上。 把m2(2,?3)带入方程左边,左边?21?右边,所以点不在直线上。 10.1.1 直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 (1)定义:沿x轴正方向,逆时针旋
4、转到与直线重合时所转的最小正角记作?,那么?就叫做直线l的倾斜角。 (2)图像表示: (3)倾斜角的范围:0180 2、直线的斜率 (1)定义:直线的倾斜角?(?90)的正切值叫做这条直线的斜率。通常用k表示。 即k?tan? (0180,?90) (2)斜率的四种情况:1、当?0时,k?0; 2、当090时,k?0; 3、当?90时,k不存在; 4、当90180,k?0。 (3)已知直线上两点求直线斜率:p1(x1,y1)、p2(x2,y2) 图可不画 00 k? y2?y1x2?x1 (x 2 ?x1) 若:x2?x1,直线垂直与x轴,这条直线的斜率不存在。 例 1 经过点a(3,2)、b
5、(?1,6)两点的直线的斜率和倾斜角? 解:k? y2?y16?2 1 x2?x1?1?3 k?tan1 (0180,?90) ?135 所以直线的斜率为-1,倾斜角为135。 例 2 已知直线直线l1的倾斜角?60,直线l1与直线l2互相垂直,求l1、l2的斜率? 解:直线l 1的斜率:k1?tan?1?tan60? 因为l1?l2,?2?60?90?150 k2?tan?2?tan150?例 3 习题 书后练习 00 8.1.2 直线的方程 1、点斜式方程:p(x0,y0),斜率k y?y0?k(x?x0) 例 1 求经过点(2,4),倾斜角为45的直线的方程? 解:根据已知条件得 x0?
6、2、y0?4、k?tan45?1 带入点斜式方程: y?y0?k(x?x0) y?4?1?(x?2) y?x?2 例 2 已知经过点a(1,2)、点b(?3,5)的直线方程? 解:k? y2?y15?23 x2?x1?3?14 带入点斜式方程: y?y0?k(x?x0) y?2(x?1) 3 4311 y?x? 44 2、斜截式方程:斜率k,纵截距b y?kx?b 例 3 求与y轴交与点b(0,?3)且倾斜角为 解:先解释下纵截距b b(0,b) b?3 k?tan ? 的直线方程? 4 ? 4 ?1 带入斜截式方程; y?kx?b y?x?3 例 4 已知横截距为a?2、纵截距b?2,求直线
7、l的方程? 解:根据题意得: 点(2,0)、(0,?2) k? y2?y1?2?0 ?1 x2?x10?2 带入斜截式方程; y?kx?b y?x?2 3、直线的一般方程 把上面4个例子改成就行ax?by?c?0 10.1.3 两直线平行和垂直 1、两直线平行 定义:l1?l2?k1?k2 例 1 已知过点(4,?3)且平行与直线2x?y?5?0的直线方程? 解:把一般方程改写成斜截式方程 2x?y?5?0?y?2x?5 k2?2 ?l1?l2?k1?k2 ?k1?2 带入点斜式方程: y?y0?k(x?x0) y?3?2?(x?4) y?2x?5 2、两直线垂直 定义:l1?l2?k1?k2
8、?1 例 1 已知过点(1,?2)且垂直与直线x?2y?5?0的直线方程? 解:把一般方程改写成斜截式方程 x?2y?5?0?y?15x? 22 k2?1 2 ?l1?l2?k1?k2?1 ?k1?2 带入点斜式方程: y?y0?k(x?x0) y?2?2?(x?1) y?2x?4 10.1.4 两直线的交点 例 1 书p8 例题 10.1.5 两直线的夹角 (不讲) 1、定义:两直线所形成的最小的角?角叫两直线的夹角 2、夹角范围:090 0 当?0 ? l1?l2 00 当?90 ? l1?l2 3、夹角公式: tan?0k2?k1 1?k1k2 例 1 求直线l1:2x?y?2?0和直线
9、l2:x?3y?2?0的夹角?? 解:根据题意求出两直线斜率 k1?2、k2?1 3 1?2k2?k1 tan1 1?k1k21?2?3 ?45 例 2 习题练习 10.1.5 点到直线的距离 点p(x0,y0)到直线方程ax?by?c?0的距离 d?(a、b不全为0) 例 1 求点p(?1,3)到下列直线的距离:1、2x?y?3?0;2、3x?1;3、y?1 解:1 、d? ? ? 5 ? 2、3 两条直线要么平行与x轴,要么垂直与x轴,我们采用图像法更简单。 例2 采用书后习题 10.2 圆及其方程 教学内容及其要求: 一、教学内容 1. 圆的方程 2. 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关
10、系 二、教学要求 1. 掌握圆的定义、标准方程,会根据已知条件求圆的标准方程。 2. 熟悉圆的一般方程,会根据已知条件求圆的一般方程,会根据所给方程判断是否表 示一个圆,并会进行圆的标准方程和一般方程的互化。 3. 会根据方程讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。 10.2.1 圆的方程 1、圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r 其中c(a,b)为圆心;r为半径。 例 1 指出下列圆的方程的圆心和半径? 1、(x?3)?(y?3)?16 圆心(3,?3)、r?4 2、(x?1)?(y?2)?9 圆心(?1,?2)、r?3 例 2 求以c(2,1)为圆心的圆与之直线3x?4y?6?0相切,
11、求此圆的方程? 解:根据题意得: r?d?2222222 ? ? 带入圆的方程: 4 5 (x?a)?(y?b)?r 222 42 5 1622 (x?2)?(y?1)? 2522 (x?2)?(y?1)?() 2、圆的一般方程(已知圆经过三点) x?y?dx?ey?f?0 22 结合书p15讲解 10.2.2 直线与圆的位置关系 相切、相交、相离 1、 如何判断直线与圆的位置关系 方法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r作比较 d?r 相离 d?r 相切 d?r 相切 例 1 判别直线3x?4y?3?0与圆x?y?2x?4y?0的位置关系 解:根据题意得: (x?1)?(y?2)?5 圆心(
12、1,? 2)、半径r? d?2222 ?14?2.8 5 d?r 相离 10.2.3 圆与圆的位置关系 简单介绍下 以书上例子讲解下 10.3 椭圆及其方程 教学内容及其要求: 一、教学内容 1. 椭圆的定义和标准方程 2. 椭圆的几何性质 二、教学要求 1. 理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程,了解标准方程的推导方法,能根据给定的 条件求椭圆的标准方程。 2. 掌握椭圆的几何性质,能根据椭圆的标准方程求它的范围、焦点坐标、顶点坐标、 长轴长、短轴长、焦距和离心率。 10.3.1 椭圆的定义与标准方程 1、椭圆的定义 平面内到两定点f1、f2的距离之和为常数(大于f1f2)的点的轨迹叫做椭圆。
13、 两定点f1、f2叫做焦距,两焦点f1、f2间的距离叫做椭圆的焦距。 2、 椭圆的标准方程 x2y2 (1) 焦点在x轴上: 2?2?1 ab y2x2 (2) 焦点在y轴上: 2?2?1 ab 10.3.2 椭圆的的几何性质 x2y2 1、x轴方程2?2?1 ab (1)图像 (2)a为长半轴、b为短半轴、c为焦半距;2a为长轴、2b为短轴;2c为焦距。 a?b?c 222 (3)顶点(?a,0)、(0,?b);焦点(?c,0)。 (4)离心率:e?c a y2x2 2、y轴方程2?2?1 ab (1)图像 (2)a为长半轴、b为短半轴、c为焦半距;2a为长轴、2b为短轴;2c为焦距。 a?
14、b?c 222 (3)顶点(?b,0)、(0,?a);焦点(0,?c)。 (4)离心率:e? c a 例 1 已知椭圆方程4x?y?16,求其长轴、短轴、离心率、顶点坐标、焦点坐标,并指出为何轴方程? 解:将方程化为标准方程 22 x2y2 ?1 416 a?16、b?4 22 a?4、b? 2、c? 为y轴方程 长轴2a?8、短轴2b? 4、焦距2c? 顶点坐标(?b,0)、(0,?a) (?2,0)、(0,?4) 焦点坐标(0,?c) (0,? 例2 已知椭圆的焦点在x轴上,焦距与长半轴的长的和为10,离心率为 的标准方程? 解:根据题意得 2c?a?10 e?1,求椭圆3c1? a3 a
15、?6、c?2 b?a?c?32 222 x2y2 x轴方程2?2?1 ab x2y2 ?1 3632 例 3 椭圆经过(2,0)、(0,?3),求椭圆方程? 解:分析题型注意这个两点的特殊性 根据题意得: y2x2 a?3、b?2、方程为y轴方程:2?2?1 ab y2x2 2?2?1 32 y2x2 ?1 94 例 4 参考书后习题p21-22 10.4 双曲线及其方程 教学内容及其要求: 一、教学内容 1. 双曲线的定义和标准方程 2. 双曲线的几何性质 二、教学要求 1. 知道双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程,了解标准方程的推导方法,能根据给定的条件求双曲线的标准方程。 2. 掌握双曲
16、线的几何性质,能根据双曲线的标准方程求它的范围、焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、焦距、离心率和渐近线方程。 10.4.1 双曲线的定义和标准方程 1、双曲线的定义 平面内到两定点f1、f2的距离之差的绝对值为常数(大于f1f2)的点的轨迹叫做双 曲线。 两定点f1、f2叫做焦距,两焦点f1、f2间的距离叫做椭圆的焦距。 3、 双曲线的标准方程 x2y2 (3) 焦点在x轴上: 2?2?1 ab y2x2 (4) 焦点在y轴上: 2?2?1 ab 10.4.2 双曲线的的几何性质 x2y2 1、x轴方程2?2?1 ab (1)图像 (2)a为实半轴、b为虚半轴、c为焦半距;2a为实轴、2b为
17、虚轴;2c为焦距。 c?a?b 222 (3)顶点(?a,0);焦点(?c,0)。 (4)离心率:e?c a bx a(5)渐近线方程:y? y2x2 2、y轴方程2?2?1 ab (1)图像 (2)a为实半轴、b为虚半轴、c为焦半距;2a为实轴、2b为虚轴;2c为焦距。 c?a?b 222 (3)顶点(0,?a);焦点(0,?c)。 (4)离心率:e?c a ax b(5)渐近线方程:y? 例 1 已知双曲线方程4x?y?16,求其实轴、虚轴、离心率、顶点坐标、焦点坐标,并指出为何轴方程? 解:将方程化为标准方程 22 x2y2 ?1 416 a?4、b?16 22 a?2、b? 4、c? 为x轴方程 实轴2a?4、虚轴2b? 8、焦距2c? 顶点坐标(?a,0) (?2,0) 焦点坐标(?c,0) (? 例2 已知双曲线的焦点在y轴上,焦半距与实轴的长的和为10,离心率为曲线的标准方程? 解:根据题意得 c?2a?10 e?4,求双3c4? a3 a?3、c?4 b?c?a?7 222 y2x2 y轴方程2?2?1 ab y2x2 ?1 97 例 3 双曲线经过(2,0),焦距为6,求椭圆方程?
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