所以B＝{y|y＝f（x）}＝{y|y≤0}，
所以A∪B＝（－∞，1），A∩B＝（－1，0]，
故图中阴影部分表示的集合为（－∞，－1]∪（0，1）.
故选D.
15.设全集U＝R.若集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩（∁UB）＝________.
答案 {1，4}
解析 因为∁UB＝{x|x＞3或x＜2}，
所以A∩（∁UB）＝{1，4}.
16.设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx＜1}，若A∩（∁UB）＝{m|m＝2n＋1，n＝0，1，2，3，4}，则集合B＝________.
答案 {2，4，6，8}
解析 U＝A∪B＝{x∈N*|lgx＜1}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩（∁UB）＝{m|m＝2n＋1，n＝0，1，2，3，4}＝{1，3，5，7，9}，所以B＝{2，4，6，8}.
17.设全集U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，集合M＝
，P＝{（x，y）|y≠x＋1}，则∁U（M∪P）＝________.
答案 {（2，3）}
解析 M＝{（x，y）|y＝x＋1，x≠2}，
∴M∪P＝{（x，y）|x≠2且y≠3}，
∴∁U（M∪P）＝{（2，3）}.
考点三 集合的新定义问题
方法技巧
集合的新定义问题解题的关键是按照新的定义准确提取信息，并结合相关知识进行相关的推理运算.
18.已知集合A＝
.N＝{x|x＝a×b，a，b∈A且a≠b}，则集合N的真子集的个数是（ ）
A.31B.32C.15D.16
答案 C
解析 A＝
，
∴N＝
，
∴N的真子集的个数是24－1＝15.
19.定义集合运算：
A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和是（ ）
A.0B.2C.3D.6
答案 D
解析 ∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1，2}，B＝{0，2}，∴z的取值有：
1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4，
故A*B＝{0，2，4}.
∴集合A*B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.
20.对任意两个集合M，N，定义：
M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M*N＝（M－N）∪（N－M），设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M*N＝__________.
答案 [－3，0）∪（3，＋∞）
解析 ∵M＝[0，＋∞），N＝[－3，3]，
∴M－N＝（3，＋∞），N－M＝[－3，0）.
∴M*N＝（3，＋∞）∪[－3，0）.
21.给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合.
其中正确结论的序号是________.
答案 ②
解析 ①中，－4＋（－2）＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝
k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确.
1.已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为（ ）
A.2B.3C.4D.5
答案 C
解析 A＝{0，1}，B中元素为集合A的子集，
∴集合B中元素的个数为22＝4.
2.若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（ ）
A.
B.
C.0D.0或
答案 D
解析 当a＝0时，A＝
，适合题意.
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0有两个相等实根，
∴Δ＝（－3）2－8a＝0，∴a＝
.
综上，a＝0或a＝
.
3.已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|1＜log2x≤2，x∈N}，且A∩B＝A，则a的所有可能取值组成的集合是（ ）
A.∅B.
C.
D.
答案 D
解析 由A∩B＝A，得A⊆B.
∵B＝{x|1＜log2x≤2，x∈N}＝{x|2＜x≤4，x∈N}＝{3，4}，
当A＝∅时，则方程ax－1＝0无实数解，
∴a＝0，此时显然有A⊆B，符合题意.
当A≠∅时，则由方程ax－1＝0，得x＝
.
要使A⊆B，则
＝3或
＝4，即a＝
或
.
综上所述，a的所有可能取值组成的集合是
.故选D.
4.已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围是（ ）
A.[－1，2）B.[－1，3]
C.[2，＋∞）D.[－1，＋∞）
答案 D
解析 A＝{x|－3≤x≤4}，由A∩B＝B，得B⊆A.
当B＝∅时，由m＋1≤2m－1，得m≥2.
当B≠∅时，由
得－1≤m＜2.
综上可得m≥－1.
解题秘籍
（1）准确理解集合中元素的性质是解题的基础，一定要搞清集合中的元素是什么.
（2）和子集有关的问题，不要忽视空集.
（3）求参数问题，要考虑参数取值的全部情况（不要忽视参数为0等）；参数范围一定要准确把握临界值能否取到.
1.（2017·全国Ⅱ）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B等于（ ）
A.{1，2，3，4}B.{1，2，3}
C.{2，3，4}D.{1，3，4}
答案 A
解析 ∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，
∴A∪B＝{1，2，3，4}.故选A.
2.若x∈A，则
∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）
A.1B.3C.7D.31
答案 B
解析 具有伙伴关系的元素组是－1，
，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：
{－1}，
，
.
3.（2017·天津）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则（A∪B）∩C等于（ ）
A.{2}B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，6}
答案 B
解析 ∵A∪B＝{1，2，6}∪{2，4}＝{1，2，4，6}，
∴（A∪B）∩C＝{1，2，4，6}∩{1，2，3，4}＝{1，2，4}.
故选B.
4.已知集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N等于（ ）
A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）
答案 B
解析 由M＝{x|x≥0，x∈R}＝[0，＋∞），
N＝{x|x2＜1，x∈R}＝（－1，1），得M∩N＝[0，1）.
5.（2017·北京）已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA等于（ ）
A.（－2，2）B.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
C.[－2，2]D.（－∞，－2]∪[2，＋∞）
答案 C
解析 A＝{x|x<－2或x>2}，
∁UA＝∁RA＝{x|－2≤x≤2}，即∁UA＝[－2，2].
故选C.
6.已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B等于（ ）
A.[－2，－1]B.[－1，2）
C.[－1，1]D.[1，2）
答案 A
解析 由已知得A＝{x|x≤－1或x≥3}，
故A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.
7.（2017·浙江）已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于（ ）
A.（－1，2）B.（0，1）
C.（－1，0）D.（1，2）
答案 A
解析 ∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，
∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}.
故选A.
8.设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是（ ）
A.[0，1]
B.[－1，2]
C.（－∞，－1）∪（2，＋∞）
D.（－∞，－1]∪[2，＋∞）
答案 C
解析 因为A＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]，B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1，1]，所以A∪B＝[－1，2]，所以∁R（A∪B）＝（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
9.设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知A＝{x|y＝
}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B等于（ ）
A.[0，1]∪（2，＋∞）B.[0，1）∪[2，＋∞）
C.[0，1]D.[0，2]
答案 A
解析 由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，
所以A∪B＝[0，＋∞），A∩B＝（1，2]，
所以A×B＝[0，1]∪（2，＋∞）.
10.已知集合A＝{x|x2－2018x＋2017＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是（ ）
A.0B.1C.11D.12
答案 C
解析 由x2－2018x＋2017＜0，解得1＜x＜2017，故A＝{x|1＜x＜2017}.由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}.由A⊆B，可得2m≥2017，因为210＝1024，211＝2048，所以整数m的最小值为11.
11.设集合Sn＝{1，2，3，…，n}，若X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集，则S4的所有奇子集的容量之和为________.
答案 7
解析 ∵S4＝{1，2，3，4}，∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}.其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1，3}，其容量分别为1，3，3，
∴S4的所有奇子集的容量之和为7.
12.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝________.
答案 4
解析 A＝{x|log2x≤2}＝{x|0＜x≤4}，即A＝（0，4]，由A⊆B，B＝（－∞，a），且a的取值范围是（c，＋∞），可以结合数轴分析，得c＝4.
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