高考理科数学基本初等函数导数及其应用一轮复习题.docx

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高考理科数学基本初等函数导数及其应用一轮复习题

2015高考理科数学基本初等函数、导数及其应用一轮复习题

第1课时函数及其表示

1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

3．了解简单的分段函数，并能简单应用．

对应学生用书P9]

【梳理自测】

一、函数的基本概念

1．函数f（x）＝lg（4－x2）的定义域为（）

A．－2，2]B．（－2，2）

C．0，2]D．（0，2）

2．函数y＝16－4x的值域是（）

A．0，＋∞）B．0，4]

C．0，4）D．（0，4）

3．下列各对函数中，表示同一函数的是（）

A．f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgx

B．f（x）＝lgx＋1x－1，g（x）＝lg（x＋1）－lg（x－1）

C．f（u）＝1＋u1－u，g（v）＝1＋v1－v

D．f（x）＝（x）2，g（x）＝x2

答案：

1.B2.C3.C

◆以上题目主要考查了以下内容：

（1）函数的定义：

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A.

（2）函数的定义域、值域：

在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

（3）函数的三要素：

定义域、对应法则和值域．

（4）相等函数：

如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．

（5）函数的表示法．

表示函数的常用方法有：

解析法、列表法、图象法．

二、映射

设A＝{0，1，2，4}，B＝12，0，1，2，6，8，判断下列对应关系是A到B的映射．（）

A．f：

x→x3－1B．f：

x→（x－1）2

C．f：

x→2x－1D．f：

x→2x

答案：

C

◆此题考查了映射的概念：

设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：

A→B为集合A到集合B的一个映射．

三、分段函数

（2012•高考江西卷）设函数f（x）＝x2＋1，x≤1，2x，x＞1，

则f（f（3））＝（）

A.15B．3

C.23D.139

答案：

D

◆此题主要考查了以下内容：

（1）定义：

若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

【指点迷津】

1．对映射定义搞清以下几点

（1）映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应．

（2）“对应关系”重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中”；对应关系未必都能用解析式表达．

（3）A中的每一个元素都有象，且唯一；B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一．

（4）若对应关系为f，则a的象记为f（a）．

如“某班内的全体学生”与“这次考试的数学成绩”对应，就是一个从“学生集合”到“成绩集合”的映射．

2．函数与映射的区别与联系

（1）函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．

（2）映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．

3．分段函数不能认为是多个函数，仍为一个函数．

对应学生用书P10]

考向一求函数的定义域

（1）（2014•湖南省五市十校联考）函数f（x）＝1－2log6x的定义域为________．

（2）已知函数f（2x）的定义域是－1，1]，求f（x）的定义域．

【审题视点】

（1）使根式和对数式有意义，求x的范围．

（2）明确2x与f（x）中x的含义，从而构造不等式求解．

【典例精讲】

（1）由条件得1－2log6x≥0x＞0，

解得log6x≤12＝log66x＞0，所以函数的定义域为（0，6]．

（2）∵f（2x）的定义域为－1，1]，即－1≤x≤1，

∴12≤2x≤2，

故f（x）的定义域为12，2]．

【类题通法】简单函数定义域的类型及求法

①已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解．②对实际问题：

由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解．③对抽象函数：

（ⅰ）若已知函数f（x）的定义域为a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出．（ⅱ）若已知函数f（g（x））的定义域为a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈a，b]时的值域．

1．（2014•潍坊三模）设全集U＝R，集合A＝xy＝lnx－1x，

则∁UA＝（）

A．（－∞，0）∪（1，＋∞）B．0，1]

C．（0，1）D．（－∞，0]∪1，＋∞）

解析：

选B.A＝xx－1x＞0＝{x|x＞1或x＜0}，

∴∁UA＝{x|0≤x≤1}．

考向二分段函数及其应用

设函数f（x）＝21－x，x≤11－log2x，x＞1，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）

A．－1，2]B．0，2]

C．（1，＋∞）D．0，＋∞）

【审题视点】对于分段函数应分段求解，然后再求其并集．

【典例精讲】f（x）≤2⇔x≤121－x≤2或x＞11－log2x≤2⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.

【答案】D

【类题通法】首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论．

2．（2014•温州市高三调研）设函数f（x）＝x3，0≤x＜5f（x－5），x≥5，那么f（2014）＝（）

A．64B．16

C．4D．1

解析：

选A.根据题意，当x≥5时，f（x）＝f（x－5），

∴f（2014）＝f（4），而当0≤x＜5时，f（x）＝x3，

∴f（4）＝43＝64，故选A.

考向三求函数解析式

（1）已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f（x）的解析式；

（2）已知f2x＋1＝lgx，求f（x）的解析式；

（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式；

（4）定义在（－1，1）内的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），求函数f（x）的解析式．

【审题视点】

（1）

（2）利用换元法或配凑法；（3）利用待定系数法；（4）构造方程组求解．

【典例精讲】

（1）由于fx＋1x＝x2＋1x2

＝x＋1x2－2，

所以f（x）＝x2－2，x≥2或x≤－2，

故f（x）的解析式是f（x）＝x2－2（x≥2或x≤－2）．

（2）令2x＋1＝t，得x＝2t－1，代入得f（t）＝lg2t－1，

又x＞0，所以t＞1，

故f（x）的解析式是f（x）＝lg2x－1（x＞1）．

（3）因为f（x）是一次函数，可设f（x）＝ax＋b（a≠0），

∴3a（x＋1）＋b]－2a（x－1）＋b]＝2x＋17.

即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，

因此应有a＝25a＋b＝17，解得a＝2，b＝7.

故f（x）的解析式是f（x）＝2x＋7.

（4）x∈（－1，1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）①

以－x代x有：

2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）②

由①②联立消去f（－x），得

f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）．

【类题通法】函数解析式的求法

（1）配凑法：

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的表达式；

（2）待定系数法：

若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法；

（3）换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

（4）方程思想：

已知关于f（x）与f1x或f（－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）．

3．已知f（x）满足2f（x）＋f1x＝3x，求f（x）的解析式．

解析：

∵2f（x）＋f1x＝3x，①

∴将x用1x替换，得2f1x＋f（x）＝3x，②

由①②解得f（x）＝2x－1x（x≠0），

即f（x）的解析式是f（x）＝2x－1x（x≠0）．

对应学生用书P11]

分段函数的规范答题

（2014•湖南省五市十校高三联考）已知函数f（x）＝－x－1（x＜－2）x＋3（－2≤x≤12）（x∈R）.5x＋1（x＞12）

（1）求函数f（x）的最小值；

（2）已知m∈R，命题p：

关于x的不等式f（x）≥m2＋2m－2对任意m∈R恒成立；q：

函数y＝（m2－1）x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

【审题视点】

（1）讨论分段函数的图象求其最低点．

（2）当p、q为真时，求出m的范围，再根据题意确定p、q的真假求m.

【思维流程】

画出f（x）的图象．

利用图象求最值．

p为真，解不等式f（x）min≥m2＋2m－2.

q为真，解不等式m2－1＞1.

确定p、q的真假，求m.

【规范解答】

（1）作出函数f（x）的图象，可知函数f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，

故f（x）的最小值为f（x）min＝f（－2）＝1.（4分）

（2）对于命题p，m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；

对于命题q：

m2－1＞1，故m＞2或m＜－2.（6分）

由于“p或q”为真，“p且q”为假，则

①若p真q假，则－3≤m≤1－2≤m≤2，解得－2≤m≤1.（9分）

②若p假q真，则m＞1或m＜－3m＜－2或m＞2，

解得m＜－3或m＞2.

故实数m的取值范围是

（－∞，－3）∪－2，1]∪（2，＋∞）．（12分）

【规范建议】

（1）中也可分别求出各段函数的最小值，再找其中的最小值即为该函数的最小值．

（2）先按p、q分别为真时求m的范围，若为假，就是为真时的m的补集．

1．（2013•高考江西卷）函数y＝xln（1－x）的定义域为（）

A．（0，1）B．0，1）

C．（0，1]D．0，1]

解析：

选B.由x≥01－x＞0，解得0≤x＜1，故选B.

2．（2013•高考全国大纲卷）已知函数f（x）的定义域为（－1，0），则函数f（2x＋1）的定义域为（）

A．（－1，1）B.－1，－12

C．（－1，0）D.12，1

解析：

选B.已知函数f（x）的定义域为a，b]，求函数f（g（x））的定义域，是求满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值集合．

要使函数有意义，需满足－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－12，即所求函数的定义域为－1，－12.

3．（2013•高考陕西卷）设x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y,有（）

A.－x]＝－x]B．2x]＝2x]

C．x＋y]≤x]＋y]D．x－y]≤x]－y]

解析：

选D.结合特殊值利用排除法求解．

A，取x＝1.5，则－x]＝－1.5]＝－2，－x]＝－1.5]＝－1，显然－x]≠－x]；

B，取x＝1.5，则2x]＝3]＝3，2x]＝21.5]＝2，显然2x]≠2x]；

C，取x＝y＝1.6，则x＋y]＝3.2]＝3，x]＋y]＝1.6]＋1.6]＝2，显然x＋y]>x]＋y]．

排除A，B，C，选D.

4．（2013•高考福建卷）已知函数f（x）＝2x3，x＜0，－tanx，0≤x＜π2，

则ffπ4＝________．

解析：

分步求函数值，先内后外．

∵π4∈0，π2，

∴fπ4＝－tanπ4＝－1，

∴ffπ4＝f（－1）＝2×（－1）3＝－2.

答案：

－2