2）当e＝l/6时，基底地基反力呈三角形分布，pmin＝0；
3）e>1/6时，即荷载作用点在截面核心外，pmin＜0；基底地基反力出现拉力。
由于地基土不可能承受拉力，此时基底与地基土局部脱开，使基底地基反力重新分布。
根据偏心荷载与基底地基反力的平衡条件，地基反力的合力作用线应与偏心荷载作用线重合得基底边缘最大地基反力p'max为：
图3-5基底反力分布的简化计算
（a）中心荷载下（b）偏心荷载el／6时
3.基底附加压力
基础通常是埋置在天然地面下一定深度的。
由于天然土层在自重作用下的变形已经完成，故只有超出基底处原有自重应力的那部分应力才使地基产生附加变形，使地基产生附加变形的基底压力称为基底附加压力p0。
因此，基底附加压力是上部结构和基础传到基底的地基反力与基底处原先存在于土中的自重应力之差，按下式计算：
（3-7）
式中p为基底地基反力，为区别于附加压力，又称基底总压力；σc为基底处自重应力；γ为基底标高以上天然土层按分层厚度的加权重度；基础底面在地下水位以下，地下水位以下的土层用有效重度计算；δ为基础理置深度，简称基础埋深。
三、土中附加应力
土中的附加应力是由建筑物荷载所引起的应力增量，一般采用将基底附加压力当作作用在弹性半无限体表面上的局部荷载，用弹性理论求解的方法计算。
1.集中力作用下土中应力计算
在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力Q时，半无限体内任意点M的应力（不考虑弹性体的体积力）可由布西奈斯克解计算，如图3-6所示。
工程中常用的竖向正应力σz及地表上距集中力为r处的竖向位移w（沉降）可表示成如下形式：
（3-8）
（3-9）
式中R与应力系数a分别为
a是（r/z）的函数，可制成表格形式供查用。
E,μ分别为土的弹性模量及泊松比。
图3-6集中力作用下土中应力计算
其余应力分量与位移分量计算公式可查阅
集中力作用下土中其余应力分量计算
集中力作用下土中其余应力分量计算
x，y轴方向的正应力：
切应力
x，y，z轴方向的位移：
2.分布荷载作用时的土中应力计算
（1）基本计算原理
对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时的土中应力计算，通常可采用如下方法处理：
当基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则时，可以把分布荷载分割为许多集中力，然后用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力。
当基础底面的形状及分布荷载都是有规律时，则可以通过积分求解得相应的土中应力。
如图3-7所示，在半无限土体表面作用一分布荷载p（x,y），为了计算土中某点M（x,y,z）的竖向正应力σz值，可以在基底范围内取单元面积dF=dξdη，作用在单元面积上的分布荷载可以用集中力dQ表示，dQ=p（x,y）dξdη。
这时土中M点的竖向正应力σz值可用式（3-8）在基底面积范围内积分求得，即
（3-10）
当已知荷载、分布面积及计算点位置的条件时，即可通过求解上式获得土中应力值。
图3-7分布荷载作用下土中应力计算
2）圆形面积上作用均布荷载时土中竖向正应力的计算
为了计算圆形面积上作用均布荷载p时土中任一点M（r,z）的竖向正应力，可采用原点设在圆心O的极坐标（如图3-8），由公式（3-9）在圆面积范围内积分求得：
（3-11）
上式可表达成简化形式：
（3-12）
式中R为圆面积的半径，m；r为应力计算点M到z轴的水平距离，m；αc为应力系数，它是（r/R）及（z/R）的函数，当计算点位于圆形中心点下方时其值为：
也可将此应力系数制成表格形式查用。
图3-8圆形面积均布荷载作用下土中应力计算
（3）矩形面积均布荷载作用时土中竖向应力计算
1）矩形面积中点O下土中竖向应力计算
图3-9表示在地基表面作用一分布于矩形面积（l×b）上的均布荷载p，计算矩形面积中点下深度z处M点的竖向应力σz值，可从式（3-10）解得：
（3-13）
式中应力系数α0是n=l/b和m=z/b的函数，即
α0也可由相应表格查得。
图3-9矩形面积均布荷载作用下土中应力计算
2）矩形面积角点下土中竖向应力计算
在图3-9所示均布荷载作用下，计算矩形面积角点c下深度z处N点的竖向应力σz时，同样可其将表示成如下形式：
（3-13）
式中应力系数αa为：
它是n=l/b和m=z/b的函数，可由公式计算或相应表格查得。
3）矩形面积均布荷载作用时，土中任意点的竖向应力计算-角点法
在矩形面积上作用均布荷载时，若要求计算非角点下的土中竖向应力，可先将矩形面积按计算点位置分成若干小矩形，如图3-10所示。
在计算出小矩形面积角点下土中竖向应力后，再采用叠加原理求出计算点的竖向应力σz值。
这种计算方法一般称为角点法。
图3-10角点法计算土中任意点的竖向应力
（4）矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向应力计算
当地基表面作用矩形面积（l×b）三角形分布荷载时，为计算荷载为零的角点下的竖向应力值σz1，可将坐标原点取在荷载为零的角点上，相应的竖向应力值σz可用下式计算：
（3-15）
式中应力系数at是n=l/b和m=z/b的函数，即：
其值也可由相应的应力系数表查得。
特别提示
注意这里b值不是指基础的宽度，而是指三角形荷载分布方向的基础边长，如图3-11所示。
图3-11矩形面积三角形荷载作用下土中应力计算
（5）均布条形分布荷载下土中应力计算
条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应变问题，对路堤、堤坝以及长宽比l／b≥10的条形基础均可视作平面应变问题进行处理。
如图3-12所示，在土体表面作用分布宽度为b的均布条形荷载p时,土中任一点的竖向应力sz可采用弹性理论中的弗拉曼公式在荷载分布宽度范围内积分得到：
（3-16）
式中应力系数au是n=x/b及m=z/b的函数，即
应力系数au也可由相应的应力系数表查
得。
注意此时坐标轴的原点是在均布荷载的中点处。
图3-12均布条形荷载作用下的土中应力计算
均布条形荷载作用下的土中应力计算也可以采用极坐标形式表示
根据根据材料力学理论还可以求出土中任一点的主应力
土中任一点的主应力
土中任一点的最大、最小主应力σ1和σ3可根据材料力学中有关主应力与正应力及剪应力间的关系导出如下：
式中θ——最大主应力的作用方向与竖直线间的夹角。
将M点的应力表达式代入上式即得到任一点的最大、最小主应力：
式中β1、β2为计算点到荷载宽度边缘的两条连线与垂直方向的夹角。
3.成层地基中附加应力的分布规律
在柔性荷载作用下，将土体视为均质各向同性弹性土体时土中附加应力的计算与土的性质无关。
但是，地基土往往是由软硬不一的多种土层所组成，其变形特性在竖直方向差异较大，应属于双层地基的应力分布问题。
对双层地基的应力分布问题，有两种情况值得研究：
一种是坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩土层即薄压缩层情况；另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的土层即硬壳层情况。
当上层土的压缩性比下层土的压缩性高时（薄压缩层情况），即E1＜E2时，则土中附加应力分布将发生应力集中的现象。
当上层土的压缩性比下层土的压缩性低时（即硬壳层情况），即E1＞E2，则土中附加应力将发生扩散现象，如图3-14所示。
在实际地基中，下卧刚性岩层将引起应力集中的现象，若岩层埋藏越浅，应力集中愈显著。
在坚硬土层下存在软弱下卧层时，土中应力扩散的现象将随上层坚硬土层厚度的增大而更加显著。
因土的泊松比变化不大，其对应力集中和应力扩散现象的影响可忽略。
双层地基中应力集中和扩散的概念有着重要工程意义，特别是在软土地区，表面有一层硬壳层，由于应力扩散作用，可以减少地基的沉降，故在设计中基础应尽量浅埋，并在施工中采取保护措施，以免浅层土的结构遭受破坏。
图3-14双层地基中界面上附加应力的分布规律
（a）应力集中（b）应力扩散
本章主要学习了土的自重应力计算、各种荷载条件下的土中附加应力计算及其分布规律等。
土中应力指土体在自身重力、建筑物和构筑物荷载以及其他因素（如土中水的渗流、地震等）作用下，土中产生的应力。
土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏，甚至使土体发生滑动失去稳定。
此外，土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉降、倾斜以及水需平位移。
要注意的是，土是三相体，具有明显的各向异性和非线性特征。
为简便起见，目前计算土中应力的方法仍采用弹性理论公式，将地基土视作均匀的、连续的、各向同性的半无限体，这种假定同土体的实际情况有差别，不过其计算结果尚能满足实际工程的要求。
土中自重应力的计算可归纳为
，而土中附加应力的计算可归纳为公式
序号
问题
参考解答
1
地基中自重应力的分布有什么特点？
2
为什么自重应力和附加应力的计算方法不同？
3
影响基底反力分布的因素有哪些？
4
目前根据什么假设计算地基中的附加应力？
这些假设是否合理可行？
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