中考数学专题讲义中点用法类.docx
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中考数学专题讲义中点用法类
中点类
联想融通：
试试看，与中点有关的知识与题目能想起多少？
中点等分线段，是线段的对称中心、是线段中垂线的垂足，进而得到等腰三角形三线合一、垂径定理、中点加平行可出现全等三角形、相似三角形，过中点的中线等分该三角形面积、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、由两条同圆直径共中点得矩形；由圆弧中点可得相等的圆心角、圆周角、角平分线
本单元只对“中线等分三角形面积、等腰三角形底边上中线、直角三角形斜边上中线、见中点造全等、见中点作中位线”五个方面进行研究.
一、中线等分三角形面积
我们知道：
对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法.
解法归一：
遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助中线等分三角形面积来解决.
例3-1-1
（1）你用三种不同的方法把图3-l-l①~图3-l-1③中△ABC的面积四等分．
交流分享：
三角形中线等分三角形面积！
连续使用中线，可把一个三角形的面积n等分.
（2）请你在图3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形ABCD的面积二等分.
交流分享：
（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；
（2）借助一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一.
例3-1-2
（1）如图3-1-2①，过点A画一条平分△ABC面积的直线；
（2）如图3-1-2②，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等的理由；
（3）如图3-1-2③，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线，写出画法．
交流分享：
解决（3）需要把
（1）、
（2）结合起来用.即从图中给定的一点等分图形的面积时，先用中线找出一种分割法，再在此基础上利用“平行线下的同底等高面积相等”进行等积转化，根据定点的不同，可得不同的面积等分线.
体验与感悟03-1
1、定义：
“把一个平面图形的面积分成相等的两部分的直线叫做这个图形的一条面积等分线．”
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是；
（2）平行四边形的一条面积等分线是；
（3）请你尝试用不少于三种方法画出下列图形面积等分线．
分享交流：
当进行多边形的面积问题探究遇到困难时，将它转化为三角形，再去思考，常有奇效.
2、如图3-1-2，已知△ABC的面积为a.延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，延长边AB到点F,使CD=BC，AE=CA，BF=AB,连接DE、DF、FE，得到△DEF，此时我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的倍．扩展了n次后得到的△DEF的面积
是原来△ABC面积的倍．
3、如图3-1-4中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点.
（1）在图3-1-4①中，四边形EBFD的面积与四边形ABCD的面积关系是；
（2）在图3-1-4②中，如果阴影部分的面积为20，则S1+S2+S3+S4=．
图3-1-4②
4、定义：
我们把被三角形一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.如图
3-1-5①，在△ABC中，CD是边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD.
应用：
如图3-1-5②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O.
（1）求证：
△AOB与△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积.
图3-1-5①图3-1-5②探究：
在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A'CD，若△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的1，请直接写出△ABC的面积.
4
提醒：
遇等分多边形面积怎么下手？
二、见直角三角形斜边中点与等腰三角形底边中点作中线
1、连结直角三角形斜边上的中线后，得两个等腰三角形、三条等线段，并且三顶点共圆；
2、特别地，等腰直角三角形斜边上中线把它分为两全等的等腰直角三角形，出现4个45°角、2组等边、2组长度为1：
2的边；
3、逆用可以判定一个三角形是直角三角形.
解法归一：
见直角三角形斜边上的中点和等腰三角形底边的中点，连中线，找边、角、线段的相等关系，或借助三点共圆进行角转化.
例3-2-1如图3-2-1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，MN⊥BD于N点，求证：
BN=DN．
交流分享：
连结MB、MD的一个等腰三角形
例3-2-2如图3-2-2，在Rt△POQ中，OP=OQ=4.把三角尺的直角顶点放在斜边PQ中点M处，以M为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．
（1）求证：
MA=MB；
AOB的周长是否存在最小值.若
（2）连接AB.探究：
在旋转三角尺的过程中，△存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
图3-2-2
交流分享：
（1）连结MO，即见斜边的中点，作斜边上的中线；
（2）见含二次整式的最值，用二次函数性质，或用完全平方公式配方.
例3-2-3如图3-2-3，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD，求证：
BF=CD.
图3-2-3交流分享：
连结OC、OD，即已知等腰三角形底边中点时连中线，问题迎刃而解.
体验与感悟03-2
1、如图3-2-4，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则BC=.
图3-2-4
2、如图3-2-5，在等腰梯形面积是（
3、如图3-2-6，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°
（1）若AB=5，BC=8，则EF的长为；
（2）若∠ABC=52°，则∠FAD=°.
4、如图3-2-7，有两个互相垂直的滑槽，一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动（滑槽及木棒的宽度忽略不计），当点A从上向下至O的滑动过程中，木棒中点P走过的轨迹是.
5、如图3-2-8，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=
6、如图3-2-9，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF.若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为.
图3-2-9
7、
（1）问题探究如图1，M为△ABC的BC边中点，且2MA=BC，求证：
∠BAC=90°.
同学们经过思考、讨论、交流得到以下证明思路：
思路一直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理⋯
思路二延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识⋯思路三以BC为直径作圆，利用圆的知识⋯思路四⋯
请选择一种方法写出完整的证明过程；
（2）结论应用要求直接运用
（1）中命题的结论完成以下两道题：
①如图2，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：
直线BD是⊙0的切线；②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值．
8、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点.
（1）如图3-2-11①，当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x（x>0），求y与x的函数关系式；
（2）如图3-2-11②在
（1）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．
9、如图3-2-12，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：
CF=AB+AF．
图3-2-12
交流分享：
几何证明与计算、方程、函数相结合，是今后命制几何探究题的一种趋势.
10、
（1）如图3-2-13①，△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD，请你先猜想线段BF、线段CD的数量关系，再证明你的结论；
（2）如图3-2-13②，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中
BF
点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出CBFD的值（用含α的式子表示）
（2）将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，这时重叠部分（△DGH）的面积等于.
1
12、设∠α=1∠MAN.如图3-2-15，将∠MAN放置在每个小正方形的边长都为
3
1cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB=2.5cm.现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明做法（不要求证明）.
提醒：
请回味与感悟一下遇直角三角形斜边上中点与等腰三角形底边上中点时怎样作辅助线.
三、见中点，“9”变“8”，作全等
名词解释：
什么是“9”变“8”？
由如图1到如图2，是否像数字“9”变成了“8”？
此名是我的2011届学生所取，往届学生有叫它“小旗”变“哑铃（沙漏）”的.它的本质是根据中点是线段对称中心，构造“8”型全等三角形.
解法归一：
见中点，找“9”，然后把“9”变“8”.如图1：
C是线段AB的中点，线段AB的端点B与中点C处有一个△BCD，则ACBD为“9”，于是过另一端点A作BD的平行线，与DC的延长线相交，得到一对“8”型中心对称的全等三角形.
例3-3-1
（1）如图3-3-1①，在△ABC中，已知AB=5,AC=3,则中线AD
长度的范围是.
（2）如图3-3-1②，在梯形ABCD中，∠D=90°，M是AB的中点，若CM=6.5,BC+CD+DA=17,则梯形ABCD的面积等于.
（3）如图3-3-1③，已知E、F、G、H是正方形ABCD四边的中点，四边形MNPQ的面积等于6，则正方形ABCD的面积等于.
图3-3-1③
交流分享：
（1）延长AD，再过B作AC的平行线实现“9”变“8”；
（2）延长DA、CM交于点N实现“9”变“8”，再借助“勾股定理”求出CD与DN；（3）过A作BM的平行线交CE的延长线于K，通过“9”变“8”把△BME进行转化.
体验与感悟03-3
1、如图3-3-2，AB∥CD,E、F分别为AC、BD的中点，若AB=5,CD=3,则EF=（）
A.4B.3C.2D.1
2、如图3-3-3，梯形ABCD的面积是4cm2,M为腰CD的中点，连结AM、BM,则△ABM的面积为.
3、如图3-3-4，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4,∠ABC=600,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F，则△DEF的面积是.
5、已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点.
（1）如图1，当点P、Q重合时，AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系是；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时
（2）中的结论是否成立？
请画出图形并给予证明．
6、
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A<45°，点O为AB的中点，将直角∠DOE的顶点与O点重合，边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M.求证：
MC2=AM2+BC2；
（2）如图2，将∠DOE绕点O旋转，若OD与射线CA相交于点M，OE与射线BC相交于点N，连接MN，那么MC2=AM2+BC2成立吗？
说明理由.
7、
（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图1所示.请将其分割后拼接成
一个平行四边形.
要求：
在图1中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
（2）如图2，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、
CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图2中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）.
图2
图1
提示：
找中点，“9”变“8”
8、在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°.
（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：
AC=BD，AC⊥BD；
3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求BD的值.AC提示：
把AOBD当“9”或把BOAC当“9”作平行.
提醒：
请回味与感悟一下什么是“9”变“8”？
何时找“9”？
如何变“8”？
四、见中点（或等分点）作平行用相似解法归一：
（1）从中点（或等分点）做平行是最常见的辅助线作法，作平行后得中位线或相似；
（2）题目中有线段比、或线段积、或线段平方时，常借助平行得相似来解决；（3）题目中相关线段所在三角形一看就不全等时，通常借助相似找关系.
例3-4-1如图3-4-1，已知OA=OB,OA⊥OB，点C为OB中点，点D在OAAD1AP
AO3
上且AD=1,连结AC,BD交于点P.求AP的值.
例3-4-2已知，在△ABC中，BC>AC,点D在△ABC所在的平面上，且AD=BC，连结DC.作过AB、DC的中点E、F的直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N.
如图3-4-2①，当点D在BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE（不需要证明）.
当点D在图3-4-2②或3-4-2③中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？
请分别写出猜想，并任选一种情况证明.
图3-4-2①图3-4-2②图3-4-2③
交流分享：
辅助线的作法其实在图3-4-2①中已给出，照着做即可提醒：
请回味与感悟一下有中点时辅助线的作法与技巧吧.
体验与感悟03-4
1、如图3-4-3，在四边形ABCD中，E、
F分别是AB、AD的中点.若EF=2，BC=5，
CD=3，则tanC=（）
3
A.
4
2、如图3-4-4，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC,∠PEF=180，则∠PFE的度数是.
3、如图3-4-5，E、F、G、H分别是四边形四条边的中点.则：
①四边形EFGH
②若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应满足.
4、如图3-4-6，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、FAH
分别是边AD、AB的中点，EF交AC于点H，则AH的值为.
HC
图3-4-6
5、如图3-4-7，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差事6，两腰和是12，则△EFG的周长是（）
A.8B.9C.10D.12
6、如图3-4-8，在△ABC中，延长BC到D，使CD=BC.取AB的中点F，连结FD交AC于点E.若AB=a，FB=EC，求AC的长.
7、
（1）如图3-4-9①，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE（见例3-4-2的图3-4-2②，不需证明）.
（2）如图3-4-9②，在△ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=600，连结GD，判断△AGD的形状，并证明你的结论.
8、如图3-4-10，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，AD=BC=2，AB=CE=4，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.当点P从A点运动到B点时，求线段DQ的中点F所经过的路径（线段）长.
9、已知：
在△AOB与△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°.
（1）如图3-4-11①，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是，位置
关系是；
（2）如图3-4-11②，将图3-4-11①中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°<α<90°）.连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM.请你判断
（1）中的两个结论是否仍然成立.若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
提醒：
请回味与感悟一下有中点时辅助线的作法与技巧吧
五、第03单元提高题友情提示：
做下列题目时，想想它们分别是上面讲到的哪种题型，用到哪个知识点，哪种方法.
1、请你用一条直线或折线等分四边形的面积，要求不少于三种方法，画在图3-5-1①～3-5-1③中.
3-5-1①
2
2、如图3-5-2，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC,E3
为BD的中点.若EF⊥AC,BC=6，则四边形DBCF的面积为.
3、如图3-5-3，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC,AD∥BC,点E是AB的中点，且AD+BC=DC.下列结论中：
①△ADE∽△BEC；②DE2=DA·DC；③若设AD=a，CD=b，BC=c，则关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若设AD=a，AB=b，BC=c，则关于x的方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根.期中正确的结论有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
DE交于点P.连结CP并延长交AB于点Q，）
B.△ABF为等腰三角形
D.CQ将梯形ABCD分为面积相等的两部
4、如图3-5-4，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC.∠BCD=900，BC=CD=2AD,E、F
分别是BC、CD边的中点.连结BF、连结AF，则下列结论不正确的是（
A.CP平分∠BCD
C.四边形ABED为平行四边形分
5、直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下
图所示：
请你用上图所示的方法，解答下列问题
设计一种方案，对任意三角形（如图3-5-5①）和任意四边形（如图3-5-5②），先将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的矩形.
6.已知，线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点.连结AC，与BD交于点P.
AD1
1）如图3-5-6①，当OA=OB，且AADO41时，tan∠BPC的值为
2）如图3-5-6②，当AD︰AO︰OB=1︰n︰2n时，直接写出tan∠BPC的值.
7、已知等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形CEF具有公共的顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME.
（1）如图3-5-7①，当CB与CE在同一直线上时，请猜想MB、ME的关系，并证明你的猜想；
（2）如图3-5-7②，当∠BCE=45°时，请猜想MB、ME的关系，并证明你的猜想.
图3-5-7①图3-5-7②
8、在图3-5-8所示直角坐标系中，函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点.过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点.
（1）
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