北京中考数学试题及答案.docx

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北京中考数学试题及答案

2013年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

学校姓名准考证号

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的.

1．在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为

A．39.6⨯102

2．-3的倒数是

4

A．4

3

B．3.96⨯103

B．3

4

C．3.96⨯104

C．-3

4

D．0.396⨯104

D．-4

3

3．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为

A．1

5

B．2

5

C．3

5

D．4

5

4．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40︒，则∠4等于

A．40︒B．50︒

C．70︒D．80︒

5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE=20m，BE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于

A．60mB．40m

C．30mD．20m

6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

c

3

a

21

4b

A

BECD

ABCD

7．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

时间（小时）

5

6

7

8

人数

10

15

20

5

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是

A．6.2小时B．6.4小时P

C．6.5小时D．7小时

8．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，

设弦AP的长为x，△APO

的面积为y，则下列图象中，能表示yAOB

与x的函数关系的图象大致是

yy

11

22

12x

A

y

1

2

12x

B

y

1

2

12x

C

12x

D

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．分解因式：

ab2-4ab+4a=.

10．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解

析式，y=.

AMD

11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，

若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为.

O

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：

y=-x-1，双曲

BC

线y=1，在l上取一点A，过A作x轴的垂线交双曲线于点

x11

y

B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：

过A2

作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点

A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A，…，An，….

记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2=，

a2013=；若要将上述操作无限次地进行下云，则a1不

1B1

A2

O1x

A1l

能取的值是.

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

C

13．已知：

如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE.ED

求证：

BC=AE.

14．计算：

（1-

3）0+|-

2|-2cos45︒+

（1）-1.

4AB

3x>x-2，

15．解不等式组：

16．已知x2-4x-1=0，求代数式（2x-3）2-（x+y）（x-y）-y2的值.

17．列方程或方程组解应用题：

某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积.

18．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在

ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，

使CE=1BC，连接DE，CF.

2

AFD

（1）求证：

四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=4，AD=6，∠B=60︒，求DE的长.

20．如图AB是O的直径，PA，PC与O分别相切于点A，

C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E.

（1）求证：

∠EPD=∠EDO；

（2）若PC=6，tan∠PDA=3，求OE的长.

4

21．第九界中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18

BCE

P

C

B

AOD

E

日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分。

第六届至第九届园博会园区陆地面积和水面面积统计图

第九届园博会植物花园区各花园面积分布统计图

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

3.7

3

2.5

1

1.7

0.5

陆地紫薇园面积樱花园水面

面积

月季园

牡丹园

丁香园

（1）第九界园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，

牡丹园面积为平方千米；

（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；

（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系。

根据小娜的发现，请估计，将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）。

第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表

日均接待游

客量

（万人次）

单日最多接待

游量

（万人次）

停车位

数量

（个）

第

七届

0.8

6

约

3000

第

八届

2.3

8.2

约

4000

第

九届

8（预计）

20（预计）

约

10500

第

十届

1.9（预计）

7.4（预计）

约

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，在边长为a（a>2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45︒时，求正方形

MNPQ的面积。

R

WAQD

H

H

MPF

NC

BGCT

图1图2

小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于

点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）。

请回答：

A

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形

（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为；D

（2）求正方形MNPQ的面积。

R

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，QF

再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边

BEC

△RPQ，若S△EPQ=

则ADr的长为。

图3

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。

（1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；

（3）若该抛物线在-2

y

6

5

4

3

2

1

-4-3-2-1O

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1234x

24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0︒＜α＜60︒），将线段BC绕点B逆时针旋转60︒

得到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150︒，∠ABE=60︒，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在

（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45︒，求α的值。

AA

DD

E

BCBC

图1图2

25．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：

若⊙C上存在两个点A,B，使得∠APB=60︒，则称P为⊙C的关联点。

已知点D⎛1,1⎫，E（0,-2），F（23,0）。

⎝⎭

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D,E,F中，⊙O的关联点是＿＿＿＿＿＿＿；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30︒，若直线l上的点P（m,n）

是⊙O的关联点，求m的取值范围;

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。

y

6

5

4

3

2

1

-4-3-2-1O

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1234x

一、选择题

2013年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷参考答案

1．B2．D3．C4．C5．B6．A7．B8．A

二、填空题

9．a（b-2）2

10．x2+1

11．2012．-3，-1，0，-1

23

三、解答题

13．证明：

∵DE∥AB

∴∠CAB=∠ADE

在△ABC与△DAE中

⎧∠CAB=∠ADE

⎨

⎪AB=DA

⎩

⎪∠B=∠DAE

∴△ADE≌△BAC（ASA）

∴BC=AE

14．解：

原式=1+

=5

2-2⨯

2+4

2

15．解：

由3x>x-2，得

x>-1

由x+1>2x，得

3

x<1

5

∴-1

5

16．代数式化简得：

4x2-12x+9-x2+y2-y2

=3x2-12x+9

=3（x2-4x+3）

∵x2-4x=1代入得

∴原式=12

17．设每人每小时的绿化面积为x平方米.

则有：

180-180=3

6x

解得x=2.5

（6+2）x

经检验：

x=2.5是原方程的解答：

每人每小时的绿化面积为2.5平方米

18．

（1）△=4-4（2k-4）=20-8k

∵方程有两个不等的实根

∴△>0

即20-8k>0

∴k<5

2

（2）∵k为整数

∴0

2

x1、2

=-1±

5-2k

∵方程的根为整数，∴5-2k为完全平方数当k=1时，5-2k=3

k=2时，5-2k=1

∴k=2

19．

（1）在ABCD中，AD∥BC

∵F是AD中点.

∴DF=1AD，又∵CE=1BC.

22

∴DF=CE且DF∥CE

∴四边形CEDF为平行四边形

（2）过D作DH⊥BE于H

在ABCD中

∵∠B=60︒

∴∠DCE=60︒

∵AB=4

∴CD=4

∴CH=2，DH=23

在CEDF中，CE=DF=1AD=3

2

∴EH=1

在Rt△DHE中

DE=

（23）2+12=13

20．

（1）∵PA、PC与O分别相切于点A、C

∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO即∠PAO=90︒

∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90︒

∴∠APO=∠EDO

即∠EPD=∠EDO

（2）连结OC

∴PA=PC=6

∵tan∠PDA=3

4

∴在Rt△PAD中AD=8，PD=10

∴CD=4

∵tan∠PDA=3

4

∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5

∵∠EPD=∠EDO

∴△OED∽△DEP

∴PD=DE=10=2

ODOE51

在Rt△OED中OE2+DE2=52

∴OE=5

21．

（1）0.03

（2）陆地面积3.6水面面积1.5图略

（3）3700

22．

（1）a

（2）四个等腰直角三角形面积和为a2

正方形ABCD的面积为a2

∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF

=4S△ARE

=4⨯1⨯12

2

=2

（3）2

3

23．解：

（1）当x=0时，y=-2.

∴A（0，-2）

抛物线对称轴为x=--2m=1

2m

∴B（1，0）

（2）易得A点关于对称轴的对称点为A（2，-2）

则直线l经过A、B.

没直线的解析式为y=kx+b

⎧2k+b=-2

⎨

⎩k+b=0

，解得⎧k=-2

⎩b=2

∴直线的解析式为y=-2x+2

（3）∵抛物线对称轴为x=1

抛物体在2

在-1

∴抛物线与直线l的交点横坐标为-1；

当x=-1时，y=-2x（-1）+2=+4

则抛物线过点（-1，4）

当x=-1时，m+2m-2=4，m=2

∴抛物线解析为y=2x2-4x-2.

24．解：

（1）30︒-1α

2

（2）△ABE为等边三角形证明连接AD、CD、ED

∵线段BC绕点B逆时针旋转60︒得到线段BD

则BC=BD，∠DBC=60︒

又∵∠ABE=60︒

∴∠ABD=60︒-∠DBE=∠EBC=30︒-1α

2

且△BCD为等边三角形.

在△ABD与△ACO中

⎧AB=AC

⎨

⎪AD=AD

⎩

⎪BD=CD

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠BAD=∠CAD=1∠BAC=1α

22

∵∠BCE=150︒

∴∠BEC=180︒-（30︒-1α）-150︒=1α

22

在△ABD与△EBC中

A

⎧∠BEC=∠BAD

⎪∠EBC=∠ABD

⎪BC=BDD

∴△ABD≌△EBC（AAS）E

∴AB=BE

BC

∴△ABE为等边三角形

（3）∵∠BCD=60︒，∠BCE=150︒

∴∠DCE=150︒-60︒=90︒

又∵∠DEC=45︒

∴△DCE为等腰直角三角形

∴DC=CE=BC

∵∠BCE=150︒

∴∠EBC=（180︒-150︒）=15︒

2

而∠EBC=30︒-1α=15︒

2

∴α=30︒

25.解：

（1）①D、E；

②由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点；

需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹的角度为60︒；由图1可知∠APB=60︒，则∠CPB=30︒，

连接BC，则PC=

BC

sin∠CPB

=2BC=2r；

∴若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；

由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图2；P

点P到原点的距离OP=2⨯1=2；

过O作x轴的垂线OH，垂足为H；

tan∠OGF=OF=23=3；AB

OG2

∴∠OGF=60︒；C

∴OH=OG⋅sin60︒=3；

∴sin∠OPH=OH=3；

OP2

∴∠OPH=60︒；

易得点P1与点G重合，过P2作P2M⊥x轴于点M；易得∠P2OM=30︒；

∴OM=OP2⋅cos30︒=3；

图1

y

G（P1）H

OMFx

图2

从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段P1P2上；

∴0≤m≤3；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，

则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如图3；

即恰好E、F点为圆K的关联时，则KF=2KN=1EF=2；

2

∴此时r=1；y

故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，F

这个圆的半径r的取值范围为r≥1.x

K

NE

图3