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课时达标检测(二十二)用二分法求方程的近似解
一、选择题
1.下列关于函数f(x),x∈[a,b]的命题中,正确的是( )
A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可以用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解
解析:
选A 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,B不正确;f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点,C不正确;用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,D不正确,只有A正确.
2.设f(x)=lgx+x-3,用二分法求方程lgx+x-3=0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,则方程的根落在区间( )
A.(2,2.25) B.(2.25,2.5)
C.(2.5,2.75)D.(2.75,3)
解析:
选C 因为f(2.25)<0,f(2.75)>0,由零点存在性定理知,在区间(2.25,2.75)内必有根,利用二分法得f(2.5)<0,由零点存在性定理知,方程的根在区间(2.5,2.75),选C.
3.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,3)内近似解的过程中,取区间中点x0=2,那么下一个有根区间为( )
A.(1,2)B.(2,3)
C.(1,2)或(2,3)D.不能确定
解析:
选A ∵f
(1)=-2<0,f
(2)=7>0,f(3)=28>0,
∴f(x)在(1,2)内有解,故选A.
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f
(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.40625)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.04)为( )
A.1.5B.1.25
C.1.375D.1.4375
解析:
选D 由参考数据知,f(1.40625)≈-0.054,
f(1.4375)≈0.162,
即f(1.40625)·f(1.4375)<0,
且1.4375-1.40625=0.03125<0.04,
所以方程的一个近似解可取为1.4375,故选D.
5.已知曲线y=
x与y=x的交点的横坐标是x0,则x0的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.(1,2)
解析:
选A 设f(x)=
x-x,
则f(0)=1>0,
f
=
-
=
-
<0,
f
(1)=
-1<0,f
(2)=
2-2<0,
显然有f(0)·f
<0.
二、填空题
6.某方程有一无理根在区间D=(1,3)内,若用二分法求此根的近似值,将D等分________次后,所得近似值可精确到0.1.
解析:
由
<0.1,得2n-1>10,∴n-1≥4,即n≥5.
答案:
5
7.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称________次就可以发现这枚假币.
解析:
将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币.
综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.
答案:
4
8.某同学在借助计算器求“方程lgx=2-x的近似解(精确到0.1)”时,设f(x)=lgx+x-2,算得f
(1)<0,f
(2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:
方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________________________________________________________________________.
解析:
第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.8125).
答案:
1.5,1.75,1.875,1.8125
三、解答题
9.从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现某接点发生故障,需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,一般最多需要检查多少个接点?
解:
先检查中间的1个接点,若正常,则可断定故障在其另一侧的7个接点中;然后检查这一段中间的1个接点,若仍正常,则可断定故障在其另一侧的3个接点中;最后只需检查这3个接点中间的1个,即可找出故障所在.故一般最多只需检查3个接点.
10.证明方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度为0.1).
解:
设函数f(x)=2x+3x-6.
∵f
(1)=-1<0,f
(2)=4>0,
又∵f(x)是R上的增函数,所以函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点,
则方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解.
设该解为x0,则x0∈[1,2],取x1=1.5,
f(1.5)≈1.33>0,f
(1)·f(1.5)<0,
∴x0∈[1,1.5].
取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0,
f
(1)·f(1.25)<0,∴x0∈[1,1.25].
取x3=1.125,f(1.125)≈-0.44<0.
f(1.125)·f(1.25)<0.
∴x0∈[1.125,1.25].
取x4=1.1875,f(1.1875)≈-0.16<0,
f(1.1875)·f(1.25)<0,
∴x0∈[1.1875,1.25].
∵1.25-1.1875=0.0625<0.1,
∴可取x0=1.2,
∴满足要求的方程的实数解为1.2.
11.判断函数f(x)=2x3-1的零点个数,并用二分法求零点的近似值(精确度0.1).
解:
f(0)=-1<0,f
(1)=1>0,即f(0)·f
(1)<0,f(x)在(0,1)内有零点,
又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1).
取区间(0,1)的中点x1=0.5,f(0.5)=-0.75<0,
∴f(0.5)·f
(1)<0,即x0∈(0.5,1).
取区间(0.5,1)的中点x2=0.75,
f(0.75)=-0.15625<0,
∴f(0.75)·f
(1)<0,即x0∈(0.75,1).
取区间(0.75,1)的中点x3=0.875,
f(0.875)≈0.34>0.
∴f(0.75)·f(0.875)<0,即x0∈(0.75,0.875).
取区间(0.75,0.875)的中点x4=0.8125,
f(0.8125)≈0.073>0.
∴f(0.75)·f(0.8125)<0,即x0∈(0.75,0.8125),
而|0.8125-0.75|<0.1.
所以,f(x)的零点的近似值可取为0.75.
12.现有12个小球,从外观上看完全相同,除了1个小球质量不合标准外,其余的小球质量均相同.用一架天平,限称三次,把这个“坏球”找出来,并说明此球是偏轻还是偏重.如何称?
解:
第一次,天平左右各4球,有两种情况:
(1)若平,则“坏球”在剩下的4球中.第二次,取剩下的4球中的3球为一边,取3个好球为另一边,放在天平上.
①若仍平,则“坏球”为剩下的4球中未取到的那个球,将此球与1个好球放上天平一看,即知“坏球”是偏轻还是偏重;
②若不平,则“坏球”在一边3球之中,且知是轻还是重.任取其中2球放在天平上,无论平还是不平,均可确定“坏球”;
(2)若不平,则“坏球”在天平上的8球中,不妨设右边较重.
从右边4球中取出3球,置于一容器内,然后从左边4球中取3球移入右边,再从外面好球中取3个补入左边.看天平,有三种可能.
①若平,则“坏球”是容器内3球之一且偏重;
②若左边重,“坏球”已从一边换到另一边.因此,“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一,并且偏轻;
③若右边重,据此知“坏球”未变动位置,而未被移动过的球只有两个(左右各一),“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重).
显然对于以上三种情况的任一种,再用一次天平,即可找出“坏球”,且知其是轻还是重.
课时达标检测(二十三)几类不同增长的函数模型
一、选择题
1.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如下图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲比乙先到达终点
解析:
选D 由题图可知,甲到达终点用时短,故选D.
2.已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2D.y2>y3>y1
解析:
选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.
3.有一组实验数据如下表所示:
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A.y=logax(a>1)
B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0)
D.y=logax+b(a>1)
解析:
选C 通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变,故选C.
4.若x∈(0,1),则下列结论正确的是( )
A.2x>x
>lgxB.2x>lgx>x
C.x
>2x>lgxD.lgx>x
>2x
解析:
选A 结合y=2x,y=x
及y=lgx的图象易知,当x∈(0,1)时,2x>x
>lgx.
5.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为( )
解析:
选D 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象,故选D.
二、填空题
6.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中,关于x呈指数函数变化的函数是____________________.
解析:
从表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y1呈指数函数变化,故填y1.
答案:
y1
7.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位:
年)的函数关系如图所示.
以下四种说法:
①前三年产量增长的速度越来越快;
②前三年产量增长的速度越来越慢;
③第三年后这种产品停止生产;
④第三年后产量保持不变.
其中说法正确的序号是________.
解析:
由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y=xα(0<α<1),反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3,8]的图象可知,总产量C没有变化,即第三年后停产,所以②③正确.
答案:
②③
8.表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者;
④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.
其中,正确信息的序号是________.
解析:
看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误.
答案:
①②③
三、解答题
9.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x
的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
解:
由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x
,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.
由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);
当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);
当bg(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
10.截止到1999年底,我国人口约为13亿,若今后能将人口平均增长率控制在1%,经过x年后,我国人口为y(单位:
亿).
(1)求y与x的函数关系式y=f(x);
(2)求函数y=f(x)的定义域;
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数,并指出函数增减的实际意义.
解:
(1)1999年底人口数:
13亿.
经过1年,2000年底人口数:
13+13×1%=13×(1+1%)亿.
经过2年,2001年底人口数:
13×(1+1%)+13×(1+1%)×1%
=13×(1+1%)2亿.
经过3年,2002年底人口数:
13×(1+1%)2+13×(1+1%)2×1%
=13×(1+1%)3亿.
…
∵经过年数与(1+1%)的指数相同,
∴经过x年后人口数为13×(1+1%)x亿.
∴y=f(x)=13×(1+1%)x.
(2)∵此问题以年作为单位时间,
∴x∈N*是此函数的定义域.
(3)y=f(x)=13×(1+1%)x.
∵1+1%>1,13>0,
∴y=f(x)=13×(1+1%)x是增函数,
即只要递增率为正数,随着时间的推移,人口的总数总在增长.
11.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估计以后每个月的产量,以这3个月的产品数量为依据,用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c(a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,试问:
用以上哪个函数作为模拟函数较好?
请说明理由.
解:
设两个函数:
y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0),y2=g(x)=a·bx+c.
依题意,
解得
∴y1=f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,
∴f(4)=1.3(万件).
依题意,得
解得
∴y2=g(x)=-0.8×0.5x+1.4.
∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35(万件).
经比较,g(4)=1.35(万件)比f(4)=1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件.
∴选y2=g(x)=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好.
课时达标检测(二十四)函数模型的应用实例
一、选择题
1.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍,那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A.
B.
C.
-1D.
-1
解析:
选D 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a,则a(1+x)11=ma,所以1+x=
,即x=