人教版九年级上知识点试题精选换元法解一元二次方程.docx

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人教版九年级上知识点试题精选换元法解一元二次方程

换元法解一元二次方程

评卷人

得分

一．选择题（共20小题）

1．用换元法解方程

时，设

，则原方程变为（　　）

A．3y2+2y﹣7=0B．3y2+2y﹣5=0C．3y2+2y﹣2=0D．3y2+2y+1=0

2．若实数x满足（x2﹣3x）2+2（x2﹣3x）﹣3=0，则x2﹣3x的值是（　　）

A．1B．﹣3或1C．﹣3D．﹣1或3

3．已知实数x、y满足（x2+y2）2+（x2+y2）﹣2=0，则x2+y2的值是（　　）

A．﹣1，2B．1，﹣2C．1D．﹣2

4．已知a、b、2分别为三角形三边，且a、b为方程（3x2﹣4x﹣1）（3x2﹣4x﹣5）=12的根，则三角形周长只可能为（　　）

A．

B．

C．

D．

5．用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（　　）

A．y2+y﹣6=0B．y2﹣y﹣6=0C．y2﹣y+6=0D．y2+y+6=0

6．若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣1）=0，则x2+y2的值为（　　）

A．1B．﹣2C．﹣2或1D．2或﹣1

7．若（x2+y2﹣2012）（x2+y2+2013）=0，则x2+y2=（　　）

A．2012B．﹣2013C．2012或﹣2013D．﹣2012或2013

8．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+3（x2+3x）﹣18=0，则x2+3x的值为（　　）

A．﹣6B．3C．﹣6或3D．无解

9．若（x2﹣y2）（x2﹣y2+1）=6，则x2﹣y2的值为（　　）

A．2或﹣3B．2C．﹣3D．无数多个值

10．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3=0，则代数式a2+b2的值（　　）

A．﹣1B．3C．﹣1或3D．1或﹣3

11．若（a﹣b）2+2（a﹣b）+1=0，则（a﹣b）2013等于（　　）

A．2013B．﹣1C．0D．1

12．（m2﹣n2）（m2﹣n2﹣2）﹣8=0，则m2﹣n2的值是（　　）

A．4B．﹣2C．4或﹣2D．﹣4或2

13．若实数x，y满足（x2+y2）2+2（x2+y2）=0，则x2+y2的值为（　　）

A．0B．﹣2C．0或﹣2D．0或2

14．若x为实数，（x2+x）2﹣2（x2+x）﹣3=0，则x2+x的值为（　　）

A．3B．﹣1C．3或﹣1D．﹣3或1

15．已知

，则m﹣1=（　　）

A．0或

B．0或﹣2C．﹣2D．

16．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（　　）

A．﹣5或1B．1C．5D．5或﹣1

17．若（x+y）（1﹣x﹣y）+6=0，则x+y的值是（　　）

A．2B．3C．﹣2或3D．2或﹣3

18．已知（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣8=0，则x2+y2的值是（　　）

A．﹣2B．4C．﹣2或4D．2

19．若实数x满足方程（x2﹣2x）2+3（x2﹣2x）﹣4=0，则x2﹣2x的值为（　　）

A．﹣4B．1C．﹣1或4D．1或﹣4

20．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（　　）

A．﹣2B．4C．4或﹣2D．﹣4或2

评卷人

得分

二．填空题（共20小题）

21．若

，则

=　　．

22．用换元法解方程3x2+15x+2

=2，设y=　　，则原方程化为　　．

23．用换元法解方程x2+（

）2+5x+

﹣66=0时，如果设x+

=t，那么原方程可化为　　．

24．若x2﹣3xy﹣4y2=0，则

=　　．

25．已知x2﹣3xy﹣2y2=0（xy≠0），则

=　　．

26．已知实数a，b满足（a2+b2﹣1）（a2+b2+2）=4，则a2+b2的值为　　．

27．用换元法解方程：

（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，如果设x2﹣x=y，那么原方程变为　　．

28．在解方程（x2﹣1）2﹣2x2﹣1=0时，通过换元并整理得方程y2﹣2y﹣3=0，则y=　　．

29．已知4x2﹣4x+1=0，则2x=　　．

30．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b=　　．

31．用换元法解方程（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣2=0时，若设x﹣1=t，则方程（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣2=0可化为　　．

32．若（4x+y）2+3（4x+y）﹣4=0，则4x+y的值为　　．

变式1：

（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，则a2+b2=　　．

变式2：

若（x+y）（2﹣x﹣y）+3=0，则x+y的值为　　．

变式3：

若x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，则x+y的值为　　．

33．若9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1=0，则x﹣2=　　．

34．若（x2+y2）（x2+y2﹣2）=8，则x2+y2=　　．

35．方程x4﹣3x2﹣4=0的根是　　．

36．用换元法解方程

，设

，那么原方程可化为　　．

37．已知实数m满足（m2﹣m）2﹣4（m2﹣m）﹣21=0，则代数式m2﹣m的值为　　．

38．若（m2+n2+2）（m2+n2﹣3）=0，则m2+n2=　　．

39．若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为　　．

40．已知（x2+y2﹣1）（x2+y2+3）=0，则x2+y2的值为　　．

评卷人

得分

三．解答题（共10小题）

41．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，

解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：

x1=2，x2=5．则利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．

42．解方程：

x2（x﹣1）（x+1）=20．

43．用适当的方法解方程

（1）3x2+7x﹣10=0

（2）（x+1）（x+3）=15

（3）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2=0

44．解下列方程：

（1）x2+4x﹣5=0

（2）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6

（3）

45．阅读材料：

x4﹣6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：

设x2=y，那么x4=y2，于是方程变为y2﹣6y+5=0①，解这个方程，得y1=1，y2=5，当y1=1时，x2=1，x=±1，当y=5时，x2=5，x=±

，所以原方程有四个根x1=1，x2=﹣1，x3=

，x4=

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　　法达到降次的目的，体现了　　的教学思想．

（2）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．

46．解方程：

（1）x2﹣2x=2x+1；

（2）（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0．

47．解方程：

（

+1）x+（

﹣1）x=6．

48．阅读理解：

请阅读下列方程x4﹣2x2﹣3=0的过程．

解：

设x2=y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3=0．

解，得y=3或y=﹣1

当y=3时，x2=3，∴x=±

当y=﹣1时，x2=﹣1，此方程无实数解．

∴原方程的解为x1=

，x2=﹣

．

上述解方程的方法叫做换元法，请尝试用换元法解下面这个方程：

（x2+1）2﹣（x2+1）﹣2=0

49．请同学们认真阅读下面材料，然后解答问题．

解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0

解：

设y=x2﹣1

则原方程化为：

y2﹣5y+4=0①∴y1=1y2=4

当y=1时，有x2﹣1=1，即x2=2∴x=±

当y=4时，有x2﹣1=4，即x2=5∴x=±

∴原方程的解为：

x1=﹣

x2=

x3=﹣

x4=

解答问题：

（1）填空：

在由原方程得到①的过程中，利用　　法达到了降次的目的，体现了　　的数学思想．

（2）解方程（x2﹣3）2﹣3（x2﹣3）=0．

50．阅读材料：

为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，

设x2﹣1=y…①，

那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4，

当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴

；

当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴

，

故原方程的解为

，

，

，

．

以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：

（1）x4﹣x2﹣6=0．

（2）（x2+x）2+（x2+x）=6．

换元法解一元二次方程

参考答案与试题解析

一．选择题（共20小题）

1．用换元法解方程

时，设

，则原方程变为（　　）

A．3y2+2y﹣7=0B．3y2+2y﹣5=0C．3y2+2y﹣2=0D．3y2+2y+1=0

【分析】先把原方程变形为3（x2+5x+1）+2

﹣5=0，然后将y值代入即可．

【解答】解：

由已知方程，得

3（x2+5x+1）+2

﹣5=0，

∵

，

∴3y2+2y﹣5=0．

故选B．

【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

2．若实数x满足（x2﹣3x）2+2（x2﹣3x）﹣3=0，则x2﹣3x的值是（　　）

A．1B．﹣3或1C．﹣3D．﹣1或3

【分析】设x2﹣3x=y．将y代入原方程解关于y的一元二次方程y2+2y﹣3=0即可．

【解答】解：

x2﹣3x=y．则

y2+2y﹣3=0，即（y﹣1）（y+3）=0，

∴y﹣1=0，或y+3=0，

解得，y=1或y=﹣3．

当y=1时，x2﹣3x=1，

△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=9+4=13＞0，

有两个不相等的实数根，

当y=﹣3时，x2﹣3x=﹣3，

△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×3=9=12＜0，

无解．

故y=1，即x2﹣3x=1．

故选A．

【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．实际上，换元法解方程就是降元后再来解方程．

3．已知实数x、y满足（x2+y2）2+（x2+y2）﹣2=0，则x2+y2的值是（　　）

A．﹣1，2B．1，﹣2C．1D．﹣2

【分析】先设x2+y2=t（t≥0），则方程即可变形为关于t的一元二次方程t2+t﹣2=0，解方程即可求得t即x2+y2的值．

【解答】解：

设x2+y2=t（t≥0），则原方程可化为：

t2+t﹣2=0，

∴（t+2）（t﹣1）=0，

解得，t=﹣2（不合题意，舍去），或t=1．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

4．已知a、b、2分别为三角形三边，且a、b为方程（3x2﹣4x﹣1）（3x2﹣4x﹣5）=12的根，则三角形周长只可能为（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】设3x2﹣4x=y，则由原方程得到（y﹣1）（y﹣5）=12，由此求得y的值；再由根与系数的关系和三角形三边关系确定（a+b）的值．

【解答】解：

设3x2﹣4x=y，则由原方程得到（y﹣1）（y﹣5）=12，

所以（y﹣7）（y+1）=0，

解得，y1=7，y2=﹣1．

当y1=7时，3x2﹣4x+7=0，

解得，x=

或x=﹣1（舍去）．

当y2=﹣1时，3x2﹣4x+1=0，

解得，x=1或x=

．

∵a、b、2分别为三角形三边，

∴a﹣b＜2＜a+b．

当a=

时，b=1（或a=1，b=

），此时a+b+2=

，即三角形周长是

；

当a=b=

时，此时a+b+2=

，即三角形周长是

．

综上所述，三角形周长是

或

．

故选：

D．

【点评】本题考查了三角形的三边关系，换元法解一元二次方程．换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

5．用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（　　）

A．y2+y﹣6=0B．y2﹣y﹣6=0C．y2﹣y+6=0D．y2+y+6=0

【分析】方程中的x2+x用y进行替换，就可以得到y2+y=6，移项即可得解．

【解答】解：

把x2+x整体代换为y，

y2+y=6，

即y2+y﹣6=0．

故选A．

【点评】本题运用了整体代换法，需要注意，移项时要变号．

6．若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣1）=0，则x2+y2的值为（　　）

A．1B．﹣2C．﹣2或1D．2或﹣1

【分析】设x2+y2=m，化简方程后求得m的值即可．

【解答】解：

设x2+y2=m，方程化为（m+2）（m﹣1）=0，

∴m1=﹣2，m2=1，

∵x2+y2≥0，

∴m1=﹣2舍去，即x2+y2=1．

故选A．

【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．注意x2+y2是非负数．

7．若（x2+y2﹣2012）（x2+y2+2013）=0，则x2+y2=（　　）

A．2012B．﹣2013C．2012或﹣2013D．﹣2012或2013

【分析】把x2+y2看做未知数，整理为关于x2+y2的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可求出x2+y2的值．

【解答】解：

（x2+y2﹣2012）（x2+y2+2013）=0，

整理得：

（x2+y2）2+（x2+y2）﹣2012×2013=0，

分解因式得：

（x2+y2+2013）（x2+y2﹣2012）=0，

可得：

x2+y2+2013=0或x2+y2﹣2012=0，

解得：

x2+y2=﹣2013（舍去），x2+y2=2012，

则x2+y2=2012．

故选A

【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，以及因式分解法解一元二次方程，学生做题时注意舍去不合题意的解．

8．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+3（x2+3x）﹣18=0，则x2+3x的值为（　　）

A．﹣6B．3C．﹣6或3D．无解

【分析】已知方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出所求式子的值即可．

【解答】解：

已知方程分解因式得：

（x2+3x﹣3）（x2+3x+6）=0，

可得x2+3x﹣3=0或x2+3x+6=0（无解），

则x2+3x=3或x2﹣x=﹣1（舍去）．

故选B．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．

9．若（x2﹣y2）（x2﹣y2+1）=6，则x2﹣y2的值为（　　）

A．2或﹣3B．2C．﹣3D．无数多个值

【分析】设x2﹣y2=m，把原方程变形，求得m，即可得出x2﹣y2的值．

【解答】解：

设x2﹣y2=m，则原方程为

m（m+1）=6

整理得m2+m﹣6=0，

（m+3）（m﹣2）=0

解得m1=﹣3，m2=2；

∴x2﹣y2=﹣3，

∴x2﹣y2=2．

故选A．

【点评】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

10．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3=0，则代数式a2+b2的值（　　）

A．﹣1B．3C．﹣1或3D．1或﹣3

【分析】设a2+b2=x，将原方程变形，解一元二次方程即可．

【解答】解：

设a2+b2=x，

原方程变形为，x2﹣2x﹣3=0，

解得x=3或﹣1，

∵a2+b2≥0，

∴a2+b2=3，

故选B．

【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是找出要变形的整体．

11．若（a﹣b）2+2（a﹣b）+1=0，则（a﹣b）2013等于（　　）

A．2013B．﹣1C．0D．1

【分析】设t=a﹣b，则由原方程转化为关于t的方程t2+2t+1=0，利用因式分解法解方程即可．

【解答】解：

设t=a﹣b，则由原方程转化为关于t的方程t2+2t+1=0，

整理，得

（t+1）2=0，

解得t=﹣1，

即a﹣b=﹣1，

所以（a﹣b）2013=（﹣1）2013=﹣1．

故选：

B．

【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．

12．（m2﹣n2）（m2﹣n2﹣2）﹣8=0，则m2﹣n2的值是（　　）

A．4B．﹣2C．4或﹣2D．﹣4或2

【分析】本题可设x=m2﹣n2，则原式可化为x（x﹣2）﹣8=0，对方程去括号得x2﹣2x﹣8=0，解方程即可求得x的值，即m2﹣n2的值．

【解答】解：

设x=m2﹣n2，则原方程可化为：

x（x﹣2）﹣8=0即x2﹣2x﹣8=0

解得：

x=4或﹣2．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

13．若实数x，y满足（x2+y2）2+2（x2+y2）=0，则x2+y2的值为（　　）

A．0B．﹣2C．0或﹣2D．0或2

【分析】根据解方程的方法可以求得x2+y2的值，本题得以解决．

【解答】解：

∵（x2+y2）2+2（x2+y2）=0，

设x2+y2=t，

则t2+2t=0，

∴t（t+2）=0，

解得，t1=0，t2=﹣2，

即x2+y2=0或x2+y2=﹣2（舍去），

故选A．

【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是明确用换元法解方程的方法．

14．若x为实数，（x2+x）2﹣2（x2+x）﹣3=0，则x2+x的值为（　　）

A．3B．﹣1C．3或﹣1D．﹣3或1

【分析】首先设x2+x=t，则原方程可化为：

t2﹣2t﹣3=0，即可求得t的值，又由x为实数，根据根与系数的关系，可排除x2+x=﹣1，则可求得答案．

【解答】解：

设x2+x=t，则原方程可化为：

t2﹣2t﹣3=0，

即（t+1）（t﹣3）=0，

解得：

t1=﹣1，t2=3，

∴若t=﹣1，则x2+x=﹣1，

即x2+x+1=0，

∵△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，

∴无实数根；

∴x2+x=3．

故选A．

【点评】此题考查了换元法解一元二次方程．注意x为实数，需要验根．

15．已知

，则m﹣1=（　　）

A．0或

B．0或﹣2C．﹣2D．

【分析】设t=

，将原方程转化为关于t的一元二次方程t+2t2=0，通过因式分解法求得t的值即可．

【解答】解：

设t=

，则由原方程，得

t+2t2=0，

整理，得

t（t+2）=0，

解得t=0（舍去）或t=﹣2，

所以m﹣1=﹣2．

故选：

C．

【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

16．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（　　）

A．﹣5或1B．1C．5D．5或﹣1

【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单．

【解答】解：

原方程变形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）﹣5=0，

（x2+y2+5）（x2+y2﹣1）=0，

又∵x2+y2的值是非负数，

∴x2+y2的值为只能是1．

故选：

B．

【点评】任何数的平方都是非负数，解这类问题要特别注意这一点．

17．若（x+y）（1﹣x﹣y）+6=0，则x+y的值是（　　）

A．2B．3C．﹣2或3D．2或﹣3

【分析】先设x+y=t，则方程即可变形为t2﹣t﹣6=0，解方程即可求得t即x+y的值．

【解答】解：

设t=x+y，则原方程可化为：

t（1﹣t）+6=0

即﹣t2+t+6=0

t2﹣t﹣6=0

∴t=﹣2或3，即x+y=﹣2或3

故选C

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

18．已知（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣8=0，则x2+y2的值是（　　）

A．﹣2B．4C．﹣2或4D．2

【分析】根据换元法可以求得x2+y2的值，注意x2+y2的值不小于零．

【解答】解：

∵（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣8=0，

设x2+y2=t，

∴t（t﹣2）﹣8=0，

∴t2﹣2t﹣8=0，

∴（t﹣4）（t+2）=0，

∴t1=4，t2=﹣2，

又∵x2+y2=t≥0，

∴x2+y2=t=4，

故选B．

【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解答本题的关键是明确换元法解一元二次方程的方法．

19．若实数x满足方程（x2﹣2x）2+3（x2﹣2x）﹣4=0，则x2﹣2x的值为（　　）

A．﹣4B．1C．﹣1或4D．1或﹣4

【分析】设x2﹣2x=t，则原方程转化为关于t的一元二次方程t2+3t﹣4=0，由因式分解法解该方程即可．

【解答】解：

设x2﹣2x=t，则原方程转化为t2+3t﹣4=0，

整理，得

（t+4）（t﹣1）=0．

解得t=﹣4或t=1．

若x2﹣2x=﹣4即x2﹣2x+4=0时，x没有实数解，

故x2﹣2x的值为1．

故选：

B．

【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．

20．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（　　）

A．﹣2B．4C．4或﹣2D．﹣4或2

【分析】设y=a2﹣b2，原式化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为a2﹣b2的值．

【解答】解：

设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，

可得y﹣4=0或y+2=0，

解得：

y1=4，y2=﹣2，

∴a2﹣b2=4或﹣2．

故选C．

【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，学生做题时注意a2﹣b2的值为正数．

二．填空题（共20小题）

21．若

，则

=　1　．

【分析】设

，则原方程变形为A2﹣2A=﹣1，再用因式分解法求解即可．

【解答】解：

设设

，则原方程变形为：

A2﹣2A=﹣1，

∴A2﹣2A+1=0，

解得：

A1=A2=1．

∴

=1．

故答案为：

1．

【点评】本题考查了换元法解一元二次方程的运用，因式分解法解一元一次方程的运用，解答时选择合适的方法求解是关键．

22．用换元法解方程3x2+15x+2

=2，设y=　

　，则原方程化为　3y2+2y﹣5=0　．

【分析】先把原方程化为3（x2+5x+1）+2

﹣5=0，根据方程的特点可设y=

，然后将y代入原方程即可．

【解答】解：

由原方程，得

3（x2+5x+1）+2

﹣5=0，

设y=

，则原方程化为3y2+2y﹣5=0．

故答案是：

，3y2+2y﹣5=0．

【点评