金融数学引论答案第二章北京大学出版1.docx

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金融数学引论答案第二章北京大学出版1

金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]

　　　　　　第二章习题答案　　1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。

如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。

计算X。

解：

1000s20|7%?

XX?

50000?

1000s20|7%s10|7%s10|7%?

　　2．价值10,000元的新车。

购买者计划分期付款方式：

每月底还250元，期限4年。

月结算名利率18%。

计算首次付款金额。

解：

设首次付款为X，则有　　1000?

250a48|%　　解得X=　　3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1　　。

试计算该年金的现值。

解：

　　PV?

nan|i?

n1?

v1nY?

XX1n?

（n?

1）n?

n（n?

1）nn2n?

2　　4．解：

a2n?

5．已知：

a7?

解：

an?

（1?

d）n则d?

（）n　　。

计算i。

a11?

a18?

a7?

a11?

v7解得i=%　　?

s10?

6.证明：

证明：

　　11?

v10　　（1?

i）s10?

s10?

10?

11ii?

1010（1?

i）?

11?

vi?

17．已知：

半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：

开始4年每半　　年200元，然后减为每次100元。

解：

　　PV?

100a8p]3%?

100a20]3%?

．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金　　帐号上存入1000元，共计25年。

然　　后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。

设前25年的年利率为8%，　　后15年的年利率7%。

计算每年的退休金。

　　解：

设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日　　1000?

s25]8%￢?

Xa15]7%　　解得X=　　9．已知贴现率为10%，计算a?

8]。

解：

d=10%，则　　i?

11?

198　　?

8]?

（1?

i）a1?

vi10.求证：

n]?

an]?

v；?

sn]?

（1?

i）nn　　并给出两等式的实际解释。

证明：

（1）a¨n]1?

vdn?

vin?

vn1?

所以a¨n]an]?

v（1?

i）?

1dnn　　（1?

i）?

1i1?

in?

（2）s¨n]?

（1?

i）?

1in?

（1?

i）?

1　　n?

所以a¨n]sn]?

（1?

i）n12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利　　率6%，计算：

1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。

解：

　　PV=100a49】%?

100a2]%=AV=100s49]%?

100s2]%￢=　　13.现有价值相等的两种期末年金A和B。

年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y，在第11－20年中没有。

已知：

v10，计算Y。

　　解：

因两种年金价值相等，则有　　a30]i?

a10]iv10?

12　　?

Ya30]i?

Ya1010iv10　　所以Y?

v1?

2v?

2v3030?

　　14.已知年金满足：

2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。

计算i。

解：

题意知，　　2a2n]i?

3an]i?

362an]iv?

6n　　解得i=%15.已知　　a7]a11]?

a3]?

sX]aY]?

sZ]。

求X，Y和Z。

　　解：

题意得　　1?

v1?

v711?

（1?

i）XZ?

v3Y（1?

i）?

v　　解得　　X=4,Y=7,Z=416.化简a15]（1?

v15解：

　　a15]（1?

v15?

v30）。

v30）?

a45]　　17.计算下面年金在年初的现值：

首次在下一年的4月1日，然后每半年一　　次2000元，半年结算名利率9%。

　　解：

年金在4月1日的价值为P=（1+%）/%×2000=，则　　PV?

P（1?

i）2?

23?

　　18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。

解：

设递延时间为t，有　　P?

1ivt解得t?

lniPln（1?

i）　　19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。

从第三十年底开始每年领取一　　定的金额X，直至永远。

计算X。

　　解：

设年实利率为i，两年金的现值相等，有　　?

20]i?

1000aXiv29　　30解得X?

1000（（1?

i）?

（1?

i））　　1020.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：

前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金D一人继承。

如果四人的遗产份额的现值相　　同。

计算（1?

i）n。

　　解：

设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为　　i3an]in，而D得到遗产的现值为vn。

题意得　　n1?

v3?

v所以（1?

i）n?

4　　21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二　　个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。

已知：

C与A的份额之比为，求B与D的份额之比。

解：

题意知　　PVCPVA?

an]v2nan]?

　　那么　　PVBPVD?

an]v1inv3n?

　　元年利率%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。

计算最后一次还款的数量和时间。

解：

　　100an]%v?

1000100an?

1]%v?

100044解得n=17　　列价值方程　　100a16]%?

Xv1?

10002解得X=　　年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。

如果　　以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。

解：

两年金现值相等，则4?

a36]i题意，（1?

i）n?

18，可知v18?

　　解得n=9　　24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：

每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。

已知月结算名利率为12%，计算k。

解：

题意可得方程　　100a60p1%￢=6000（1+i）?

k解得k=2925.已知a2]i?

，求i。

　　解：

题意得　　1?

解得i=%　　26.某人得到一万元人寿保险赔付。

如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年　　的期末年金为每年1072元。

计算年利率。

解：

　　27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。

已知：

在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K。

解：

题意可得价值方程　　10000?

105Ka2]4%v?

Ka2]4%?

10000v则K?

10000?

10000v3105310105a2]4%v?

a2]4%v?

　　28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。

第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。

计算首次付款金额X的表达式。

解：

选取第一次还款日为比较日，有价值方程　　1P（1?

i）2?

2X所以X?

a4]i?

2Xa5]j（1?

i）1?

4P（1?

i）21?

2a4]i?

2a5]j（1?

i）?

4　　29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：

每两年付款2000元，共计8次。

解：

　　30.计算下面十年年金的现值：

前5年每季度初支付400元，然后增为600元。

已知年利率为12%。

解：

　　PV?

400?

600v?

　　31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。

解：

　　32.给出下面年金的现值：

在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。

解：

　　PV?

1s4]ia24]iv?

3（1?

i）2724?

14（1?

i）[（1?

i）?

1]?

a28]?

a4]s3]?

s1]　　元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。

　　解：

设年实利率为i，则（1+2%）2=1+i。

有题意得　　750i?

750s20]pii?

Ra30]i　　解得R=　　34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。

　　　　　　解：

题意知　　1is3]i?

12591解得i=20%　　35.已知：

1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。

解：

题意得　　20?

1d?

Ra2]ii解得R=　　36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。

试用贴现率表示递延时间。

　　解：

设贴现率为d，则1?

1（1?

d）12　　设递延时间为t，题意得　　?

]10000?

500vat?

解得t?

ln20?

ln（1?

（1?

d））ln（1?

d）?

12　　37.计算：

3an?

2a2n]?

45s1]，计算i。

　　解：

ii?

an]i?

ii2an]i?

45?

ii2s1]i解得：

n12,i?

130　　39.已知：

t11?

sds。

求aˉ的表达式。

n]?

解：

aˉn]?

0en?

0dt?

ln（1?

n）　　40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性　　支　　付一个货币单位，则两种年金的现值相等。

解：

第一种年金的现值为?

0v1tdt?

第二种年金的现值为e?

t，则　　1?

t所以t?

ln?

i41.已知：

δ=。

计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现　　值。

　　1解：

设季度实利率为i。

因a（t）?

80]i?

100（1?

i）PV?

100a1?

vi80?

t，则e4　　?

（1?

i）所以　　?

现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。

同时每年以2400元的固定　　速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？

解：

设年实利率为i，则i?

1设基金可维持t年，两现值相等得　　?

40000?

2400at]i解得t=28　　43.已知某永久期末年金的金额为：

1，3，5，...。

另外，第6次和第7次付款的现值　　相等，计算该永久年金的现值。

解：

题意：

　　11（1?

i）6?

13（1?

i）27?

211nPV?

3v?

（2n?

1）v?

v[1?

PV?

2（v?

）]?

v（1?

PV?

2v1?

v）2　　解得:

PV=66　　44.给出现值表达式Aan|?

B（Da）n|所代表的年金序列。

用这种表达式给出如　　下25年递减年金的现值：

首次100元，然后每次减少3元。

　　解：

年金序列：

A+nB,A+（n?

1）B,...,A+2B,A+B所求为25a25|?

3（Da）25|　　45.某期末年金为：

800,750,700,...,350。

已知半年结算名利率　　为16％。

若记：

a10|8%，试用A表示这个年金的现值。

　　解：

考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：

　　300a10|8%?

500（Da）10|8%?

300A?

（10?

A）i?

6250?

325A　　47.已知永久年金的方式为：

第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。

证明其现值为:

　　100v4i?

vd　　解：

把年金分解成：

从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久　　年金...。

从而　　PV?

v4100i11a2|ii?

100v4112i1?

100v4i?

vd　　48.十年期年金：

每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。

（Ia?

）证明其现值为：

1600a元10|1|证：

首先把一年四次的付款折到年初：

4,n?

1,R?

100m2?

1600　　?

）元从而每年初当年的年金现值：

1600（I?

a1|?

（I再贴现到开始时：

1600a10|4?

）a1|?

元　　49.从现在开始的永久年金：

首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利　　率8％，计算现值。

解：

半年的实利率：

　　PV?

j）?

1j?

8%?

“12　　（1?

j）?

（1?

某人为其子女提供如下的大学费用：

每年的前9个月每月初500元，共计4年。

证明当前的准备金为：

6000a证：

首先把9个月的支付贴现到年初：

m=12,n=9/12,R=500m=4|9/12|（12）6000从而　　每年初当年的年金现值：

6000a贴现到当前：

6000a4|9/12|9/12|（12）?

12?

51.现有如下的永久年金：

第一个k年每年底还；第二个k年每年底还2R；第　　三　　个k年每年底还3R；依此类推。

给出现值表达式。

　　解：

把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金（n=0,1,2,···）:

每个年金的值为　　Ra?

在分散在每个k年的区段里：

　　R（a?

|）ak|Ra?

|ak|2　　再按标准永久年金求现值：

v　　表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款　　从第三年底开始的永久年金：

1,2,3,···的现值。

计算贴现率。

解：

题意：

11i1?

i111?

　　20X?

（?

2）2ii（1?

i）解得：

i=即：

i1?

　　53.四年一次的永久年金：

首次1元，每次增加5元，v4=，计算现值。

与原答案有出入解：

（期初年金）　　?

PV?

6v?

11v?

49?

1（5n?

4）v（4n?

4）?

5（1?

v）42?

41?

v4?

64　　V（期末年金）P¨?

6v?

11v?

PV?

　　54.永久连续年金的年金函数为:

（1+k）t，年利率i，如果：

0　　该年　　金现值。

与原答案有出入　　解：

于0　　PV?

0（1?

k）e?

tdt?

0（?

k1?

i）dt?

t1ln（1?

i）?

ln（1?

k）　　59.计算m+n年的标准期末年金的终值。

已知：

前m年年利率7%，后n年年利率11%，sm|7%?

34,sn|11%?

128。

　　n解：

sn|的表达式有：

（1?

）?

|11%?

1　　nAV?

sm|7%?

（1?

）?

sn|11%?

sm|7%?

（|11%?

1）?

sn|11%?

　　60.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。

A股票每年底每股分得红利元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所　　有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。

B股票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。

为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。

解：

设X为买价，有价值方程：

　　|6%?

10|6%?

X（1?

）?

（n?

10）从而有：

（|6%￢?

10|6%）（1?

）（n?

10）　　解得：

X=?

　　n=15n=20　　61.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半年结算名利率8%结算利息。

另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。

（从1991年的7月开始？

）每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。

计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。

解：

题意：

　　AV?

100000?

4%?

20?

5000s20|4%s2|4%?

12000?

4%?

s20|4%s2|4%?

　　62.已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i。

如果将还贷款次数减少　　一半，记每次的还款为K1，试比较K1与2K的大小。

解：

题意：

　　K1am|i?

Ka2m|i?

K1?

K[1?

1（1?

i）m]?

2K　　63.已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i。

如果将每次的还款额增加一倍，比较新的还款次数与N/2的大小。

解：

题意：

　　2KaM|i?

KaN|i?

vM?

v2N?

vN2即：

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