09年成考专升本高等数学模拟试题一.docx

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09年成考专升本高等数学模拟试题一

2009年成考专升本高等数学模拟试题一

　　　　　　　　AAA　　【模拟试题】　　一.选择题：

本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

　　*1.设函数f（x）?

x2?

4x?

4，x?

[2，?

），g（x）是f（x）的反函数，则　　A.g（x）?

　　C.g（x）?

x　　B.g（x）?

x　　x　　D.g（x）?

x　　令y?

f（x）?

x2?

4x?

（x?

2）2　　y?

反函数为y?

2，选x，　　B　　*2.若x0是f（x）的极值点，则　　A.f’（x0）必定存在，且f’（x0）?

0　　B.f’（x0）必定存在，但f’（x0）不一定等于零　　C.f’（x0）可能不存在　　D.f’（x0）必定不存在　　应选C。

例：

x在x?

0处取得极小值，但该函数在　　x?

0处不可导，而f’（0）不存在　　x0y4z?

3*3.设有直线?

，则该直线必定　　A.过原点且垂直于x轴　　B.过原点且平行于x轴　　C.不过原点，但垂直于x轴　　D.不过原点，且不平行于x轴　　?

　　直线显然过点，方向向量为l?

0，4，?

，　　?

，x轴的正向方向向量为v?

1，0，0?

（?

3）?

v，故直线与x轴垂　　?

直，故应选A。

*4.幂级数?

anx在点x?

2处收敛，则级数?

（?

1）nann?

0n?

0　　A.绝对收敛　　B.条件收敛　　C.发散　　D.收敛性与an有关　　?

an?

0nn0nxn在点x?

2处收敛，推得对?

x0?

（?

2，2），　　?

n0?

an?

0x绝对收敛，特别对x0?

1有?

anxn?

an?

0n（?

1）n绝对收敛，故应选A。

x5.对微分方程y’’?

3y’?

2y?

e，利用待定系数法求其特解　　y*时，下面特解设法正确的是　　1　　　　A.y*?

Ae?

x　　B.y*?

（Ax?

B）e?

x　　C.　　y*?

Axe　　D.y*?

Ax2e?

x　　　　二.填空题：

本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。

*6.　　　　limx?

limx?

xx3/23?

_________________.　　x?

xx3/2x23?

（1?

lim1x?

1x3?

1x1/2）?

1　　7.设y?

*8.　　F（n）e1?

x，则y’?

_________________.　　F（n?

2）设（x）?

xx2edtt，则　　（x）?

_________________.　　（n?

1）　　解：

FF（n）（x）?

（F（n?

1）2（n?

2）（x））’?

（?

x2xx2edt）’?

2xextx2?

e　　x（x）?

（F2（x））’?

（2xe?

e）’　　?

2ex?

4x2ex?

ex?

4xe2x2　　*9.　　?

e2?

2edxx2?

ex1　　解　　?

x1?

lnx2edxx1?

lnx?

_________________.?

e2d（1?

lnx）1?

lnx1?

21?

lnxe12　　?

23?

2（3?

1）10.dz（1，1）设z?

12ln（1?

x2?

y）2，则　　?

_________________.　　?

*11.已知a?

1，2，1?

，b?

2，?

1，1?

，则过点　　?

M0（1，1，1）且同时平行于向量a和b的平面的方程为　　_________________.　　?

　　面的法向量为n?

12?

j2?

3i?

5k1　　平面的方程为3（x?

1）?

（y?

1）?

5（z?

1）?

0即3x?

5z?

012.微分方程　　dydx?

3y?

e2n2x的通解是_________________.　　*13.幂级数?

0（x?

1）9n的收敛区间是_________________.　　2　　　　2n2n?

2　　解：

令un（x）?

　　　　limn?

（x?

1）9n，un?

1（x）?

2n?

2（x?

1）92nn?

1　　2un?

1（x）un（x）2?

limn?

（x?

1）9n?

9n（x?

1）?

（x?

1）9　　　　（x?

1）9?

1解得，?

4，于是收敛区间是　　?

14.设a?

2k，则与a同方向的单位向量?

0a?

_________________.　　（?

2，4）　　*15.交换二次积分I?

_________________.　　?

10dx?

xx2f（x，y）dy的次序得　　解：

积分区域如图所示：

D：

是　　I?

1xx2y，0?

1，于　　?

0dx?

f（x，y）dy?

dy?

01yyf（x，y）dx　　　　　　（1,1）　　　　x　　　　1　　　　三.解答题：

本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。

*16.计算?

　　解：

（arctanx）1?

x1?

xx22222dx　　?

（arctanx）dx（arctanx）1?

x22?

x12dx?

dx　　2?

1d（1?

x）1?

x2?

x）nd（arctax）n?

（arcta13（arctax）n?

c　　lim32ln1（?

x）?

1x22*17.设f（x）?

e　　解：

elimh?

0，求h?

0f（1?

h）?

（1）h　　f（1?

h）?

（1）h?

f’

（1）　　?

1x2（2x3）x?

2e?

1　　3　　　　3218.判定函数y?

x3?

x的单调区间　　y21?

tdt?

0所确定的隐函数　　19.求方程yx2?

y（x）的微分dy　　?

0*20.设函数f（x）?

lnx?

　　解：

设A?

分得　　A?

e1f（x）dx，求?

f（x）dx　　1e?

e1f（x）dx，则f（x）?

lnx?

A，两边求定积　　e?

1f（x）dx?

（lnx?

1A）dx　　e1　　?

（xlnx?

Ax）　　解得：

1e?

Ae?

1　　，于是　　1e　　f（x）?

lnx?

（?

1）n?

2n21.判定级数?

1的收敛性，若其收敛，指出是绝n对收敛，还是条件收敛？

22.设z?

x2siny2?

xy3，求　　?

y　　23.求微分方程y’’?

3y’?

2y?

xex的通解　　*24.将函数f（x）?

arctan2x展开为麦克劳林级数　　解：

f’（x）?

（arct2axn）’?

21?

4xx2n2?

（?

4x）　　n?

02n　　?

　　f（x）?

f（0）?

0（?

1）2n2n?

1　　2n?

x0f’（t）dt?

x0[?

（?

1）2n?

0x]dx　　?

（?

1）n?

0n22n?

0x2ndx?

（?

1）n?

0nn22n?

12n?

1x2n?

1　　12?

　　即f（x）?

arctan2x?

25.设　　ddxf（x）?

0（?

1）22n?

12n?

12?

　　1x，求f’（x）　　2226.求函数z?

*27.求曲线y?

　　解：

y在条件y?

12?

0之下的最值。

　　x32（x?

1）y?

的渐近线　　x32limx?

limx?

（x?

1）?

曲线没有水平渐近线　　　　4　　　　3　　　　limx?

1y?

limx?

1x?

，曲线有铅直渐近线　　（x?

1）2x?

1　　limylimx2x?

（x?

1）2?

a　　　　limx?

（y?

ax）?

lim（x3x?

（x?

1）2?

x）　　332　　?

limx?

2x?

xx?

（x?

1）2?

b　　所以曲线有斜渐近线　　y?

2　　*28.设区域为D：

x2?

y2?

2，y?

0，?

dxdy　　D4?

x2?

y2　　解：

积分区域如图所示　　?

dxdy?

2rD4?

x2?

y2014?

r2dr　　?

211?

12（4?

r2）　　4?

r2d　　?

r221?

（3?

2）　　y　　　　x　　O　　　　5　　计算

　　　　　　　　【试题答案】　　一.　　1.令y?

f（x）?

x2?

4x?

（x?

2）2　　?

反函数为y?

2，选x，　　B　　2.应选C。

例：

x在x?

0处取得极小值，但该函数在?

3.直线显然过点，方向向量为l?

0，4，?

，　　?

，x轴的正向方向向量为v?

1，0，0?

（?

3）?

v，故直线与x轴垂x?

0处不可导，而f’（0）不存在　　?

直，故应选A。

4.　　?

an?

0nn0nxn在点x?

2处收敛，推得对?

x0?

（?

2，2），　　?

n0?

an?

0x绝对收敛，特别对x0?

1有?

anxn?

an?

0n（?

1）n绝对收敛，故应选A。

　　5.r2?

3r?

0特征根为r1?

1，r2?

2，此可见?

1是特征根，于是可设　　?

xy*?

xAe?

Axe，应选C。

　　二.6.　　limx?

xxx33/2?

（1?

lim1x2?

1x3?

1x1/2）?

1　　7.y’?

e（1?

x）?

e（1?

x）’（1?

x）（n?

1）2x222?

（1?

2x）e（1?

x）xx2x22?

（x?

1）e（1?

x）x22x22　　8.解：

FF（n）（x）?

（F（n?

1）2（n?

2）（x））’?

（?

x2edt）’?

2xext?

e　　x（x）?

（Fx2（x））’?

（2xex?

e）’　　?

2e?

4xex22x?

4xe29.解　　?

e2?

2edxx2xe1x1?

lnxx1?

yy1?

y（1，1）?

d（1?

lnx）1?

lnx1?

21?

lnxe12　　?

23?

2（3?

1）10.　　　　?

22，　　?

13dx?

13dy　　?

y22?

dz（1，1）　　　　6　　　　11.平面的法向量为n?

12?

j2?

3i?

5k1　　平面的方程为3（x?

1）?

（y?

1）?

5（z?

1）?

0即3x?

5z?

0　　12.解：

p（x）?

3，q（x）?

e2x　　?

p（x）dxp（x）dx　　通解为y?

（?

q（x）e?

dx?

c）?

3dx3dx　　?

（?

e2xe?

dx?

c）　　?

e　　?

15?

3x（?

edx?

c）15x（e?

c）5?

ce?

3x5x?

3xe2x　　2n13.解：

令un（x）?

　　　　limn?

（x?

1）9n，un?

1（x）?

2n?

2（x?

1）92n?

2n?

1　　2un?

1（x）un（x）2?

limn?

（x?

1）9n?

9n2n（x?

1）?

（x?

1）9　　　　（x?

1）9?

1解得，?

4，于是收敛区间是　　（?

2，4）　　14.　　?

2222?

6，　　?

a1?

0a?

k　　a66615.解：

积分区域如图所示：

D：

于是　　I?

1xx2y，0?

1，　　?

0dx?

f（x，y）dy?

dy?

01yyf（x，y）dx　　　　　　（1,1）　　　　x　　　　1　　三.　　16.解：

（arctanx）1?

xx222dx　　2?

xdx?

（arctanx）1?

x2dx　　7　　　　2　　?

2121d（1?

x）1?

x2?

x）nd（arctax）n?

（arcta1（arctax）n?

c　　?

f’

（1）　　32ln1（?

x）?

217.解：

1xlimh?

03f（1?

h）?

（1）h2（2x）3x?

2e?

1　　3218.解：

y’?

3x（3?

x）?

x（3?

x）’（3?

x）x（9?

x）（3?

x）22222222　　　　当?

3时，函数单调增加；当x?

3或x?

3y’?

0，　　时，y’?

0，函数单调减少，故函数的单调递减区间为（?

，?

3）?

（3，?

），单调递增区间为（?

3，3）　　19.解：

方程两边对x求导：

　　y’x2?

2xy?

　　解得y’?

y’?

0　　22xy1?

y2?

x2　　dx　　?

dy?

y’dx?

20.解：

设A?

积分得　　A?

e2xy1?

y2?

x2?

e1f（x）dx，则f（x）?

lnx?

A，两边求定　　e?

1f（x）dx?

（lnx?

1A）dx　　e1　　?

（xlnx?

Ax）　　解得：

1e?

Ae?

1　　，于是　　1e　　f（x）?

lnx?

21.解：

先判别级数?

1（?

1）2n?

11n?

n2的收　　敛性　　令un?

1n?

11（n?

1）2?

1n?

vn　　?

vn?

1发散　　n?

un?

11n?

n2发散　　于所给级数是交错级数且　　　　8　　　　un?

1n?

n2?

1（n?

1）?

（n?

1）2?

un?

1　　limun?

0n?

　　莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。

z2322.解：

2xsiny?

y　　?

x　　　　?

y2?

x（?

z）?

y（2xsiny?

y）　　23　　?

4xycosy2?

3y2　　23.先求方程y’’?

3y’?

2y?

0的通解：

　　特征方程为r2?

3r?

0，特征根为r1?

1，r2?

2，于是齐次方程通解为　　y?

c1e?

c2e?

2x……　　方程中的f（x）?

xex?

xe?

x，其中?

1不是特征根，可令　　y*?

（ax?

b）ex　　则y*’?

（ax?

b）ex，y*’’?

（ax?

2a?

b）ex　　代入原方程并整理得　　（6ax?

5a?

6b）ex?

xex?

6a?

1，　　5a?

6b?

　　y*?

（16x?

536x16，b?

536　　）e……　　?

x　　所求通解为y?

y*?

c1e24.解：

f’（x）?

（arctan2x）’?

c2e?

2x?

（?

16x?

5362）e　　nx21?

4x2n2?

（?

4x）　　n?

0　　?

　　f（x）?

f（0）?

0（?

1）2n2n?

1x　　2n?

x0f’（t）dt?

（?

1）0n?

0x22n?

1x]dx　　?

（?

1）n?

0n22n?

0x2ndx?

（?

1）n?

0nn22n?

12n?

1x2n?

1　　12?

　　即f（x）?

arctan2x?

25.解：

因　　f’（x）?

0（?

1）222n?

12n?

1d?

212?

1x　　ddx12xf（x）?

f’（x）?

2x　　2dxf（x）?

得　　2，从而f’（x）?

12x　　26.解：

把条件极值问题转化为一元函数的最值　　9　　　　z（x）?

214?

34?

x　　322　　当x?

0时，函数取到最大值　　当x?

32　　时，函数取到最小值0　　limx?

27.解：

limx?

x32（x?

1）?

曲线没有水平渐近线　　　　x?

1　　limx?

1y?

limx?

1x32（x?

1）x22?

，曲线有铅直渐近线　　　　limx?

limx?

yx?

limx?

（x?

1）（2?

x）　　（y?

ax）?

33limx?

x32（x?

1）　　?

limx?

2x?

x（x?

1）2?

b　　所以曲线有斜渐近线　　y?

2　　28.解：

积分区域如图所示　　?

2dxdyr　　?

dr　　222014?

y4?

rD　　?

21?

122114?

r22d（4?

r）　　2）　　2　　?

（3?

　　y　　　　x　　O　　10

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