全等三角形复习及提高.docx
《全等三角形复习及提高.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形复习及提高.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全等三角形复习及提高
§13.1全等三角形
教学要点
1、认识全等形和全等三角形,掌握全等三角形性质;
2、会运用5个判定来判断三角形全等;
3、会利用全等来求解关于线段和角的问题。
教学过程
中考版:
一、知识梳理:
从图形及证明的符号语言表达,回顾三角形全等的判定。
二、典型例题:
例1、(2006浙江):
如图,点B在AE上,∠CAB=∠DAB,
要使ΔABC≌ΔABD,可补充的一个条件是.
分析:
根据判定的依据的需要,可以有四种补充的方式。
例2(2006湖南株洲):
如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,请你增加一个条件是.
分析:
可以增加四个条件。
例3(2006湖北十堰):
如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:
①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的条件有()个.
A.4B.3C.2D.1
分析:
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠EAB
=∠2+∠EAB,
即∠BAC=∠EAD
其它的判定方式类似。
例4(2007金华):
如图,A,E,B,D在同一直线上,AB=DE,AC=DF,AC∥DF,
在ΔABC和ΔDEF,
(1)求证:
ΔABC≌ΔDEF;
(1)证明:
∵AC∥DF(已知)∴∠A=∠D(两直线平行,内错角相等)
在ΔABC和ΔDEF中
AB=DE(已知)∠A=∠D(已证)AC=DF(已知)
∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)
例4(2007金华):
如图,A,E,B,D在同一直线上,在ΔABC和ΔDEF中,AB=DE,AC=DF,AC∥DF,
(2)你还可以得到的结论是.(写出一个,不再添加其他线段,不再表注或使用其他字母)
(2)解:
根据”全等三角形的对应边(角)相等”可知:
①BC=EF,
②∠C=∠F,
③∠ABC=∠DEF,
④EF∥BC,
⑤AE=DB等
例5已知:
如图,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,
求证:
∠B=∠D.
证明:
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠DAC
=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE
在ΔABC和ΔADE中
AB=AD(已知)
∠BAC=∠DAE(已证)
AC=AE(已知)
∴ΔABC≌ΔADE(SAS)∴∠B=∠D(全等三角形的对应角相等)
例6(2005年昆明):
如图,已知,AB=CD,CE=DF,AE=BF,则AE∥DF吗?
为什么?
证明:
AE∥DF,理由是:
∵AB=CD(已知)
∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.
在ΔACE和ΔBDF中
AC=BD(已证)
CE=DF(已知)
AE=BF(已知)
∴ΔACE≌ΔBDF(SSS)
∴∠E=∠F(全等三角形的对应角相等)
∴AE∥DF(内错角相等,两直线平行)
例7(2006湖北黄冈):
如图,AC∥DB,AC=2DB,E是AC的中点,求证:
BC=DE
例8(2006年烟台):
如图在ΔABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD交BE于F,若BF=AC,那么∠ABC的大小是()
解:
∵AD⊥BC,BE⊥AC∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°∴∠1=∠2
在ΔACD和ΔBDF中
∠1=∠2(已证)
AC=BF(已知)
∠ADC=∠ADB(已证)
∴ΔACD≌ΔBDF(ASA)
∴AD=BD(全等三角形对应边相等)
∴∠ABC=45°.
三、小结:
1.在证明全等三角形或利用它证明线段或角的相等时,首先要寻找我们已经知道了什么(从已知条件,公共边,公共角,对顶角等隐含条件中找对应相等的边或角),其次要搞清我们还需要什么,而这一步我们就要依照5个判定方法去思考了.
2.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系).
基础版:
一、复习三角形全等的判定:
1、判定1:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
简称“边角边”(SAS)。
2、判定2:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
简称“角边角”(ASA)
3、判定3:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
简称“角角边”(AAS)。
4、判定4:
三边对应相等的两个三角形全等。
简称“边边边”(SSS)
5、判定5:
斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简称“斜边,直角边”(HL)
二、几种常见全等三角形基本图形:
平移
旋转
翻折
三、全等三角形的应用:
1、基础过关
1、判断下列说法正确还是错误
(1)有两边一角对应相等的两个三角形全等.
(2)判定两个三角形全等必须至少要有一边相等.
(3)全等三角形对应边上的高线相等.
(4)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
(5)有两组边相等且周长相等的两个三角形全等.
2、下列判断正确的是()
A、等边三角形都全等
B、面积相等的两个三角形全等
C、腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D、直角三角形和钝角三角形不可能全等
3、△ABC≌△DEF,AB=2,AC=4,若△DEF的周长为偶数,则EF的取值为()
A、3B、4
C、5D、3或4或5
4、不能确定两个三角形全等的条件是( )
A、三条边对应相等
B、两条边及其对应夹角相等
C、两角和一条边对应相等
D、两条边和一条边所对的角对应相等
5、如图,A在DE上,F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长为()
A、DCB、BC
C、ABD、AE+EC
2、联系实际:
6、如图所示,甲乙两人同时从O点以相同速度出发,甲沿正东方向前进,乙沿东北方向前进,到某一时刻,他们同时改变方向,甲沿正北方向前进,乙沿东南方向前进,他们的速度均保持不变,问他们相遇时在出发点的什么方向。
3、综合运用:
7、如图,△ABC中,AD是平分线,DE∥AC交AB于点E,EF⊥AD,垂足为G,交BC的延长线于点F。
求证:
∠CAF=∠B.
8、已知:
如图,BE、CF是△ABC的高,分别在射线BE与CF上取点P与Q,
使BP=AC,CQ=AB。
求证:
(1)AQ=AP
(2)AP⊥AQ
9、三角形ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,在AC的延长线上取
一点E,使CE=BD,连结DE交BC于G,
求证:
DG=GE.
提高版:
一、变化中探究全等:
1、如图
(1),已知:
ΔABC和ΔBDE是等边三角形,D在AE的延长线上。
求证:
ΔCBD≌ΔABE
变式1.
如图
(1)已知:
ΔABC和ΔBDE是等边三角形,D在AE延长线上。
求证:
BD+DC=AD
问题:
将ΔBDE绕点B逆时针旋转使E,B,C在一条直线上,
问:
是否还有ΔCBD≌ΔABE
变式2.如图
(2),△ABC和△DEB是等边三角形.,E,B,C在一条直线上,
求证:
ΔCBD≌ΔABE
变式3.如图
(2),△ABC和△DEB等边三角形.E,B,C在一条直线上.
求证:
BG=BH.
2.已知如图:
在△ABC中,∠ABC=45度,H是高AD和BE的点,
1).求证:
BH=AC.
证明线段相等有两种方法:
H
1.当两条线段在不同三角形上,
则证明两个三角形全等.
2.当两条线段在同一个三角形,
则利用等腰三角形的等角对等边.
2).若把∠BAC改为钝角,请你按题设要求在钝角三角形ABC中画出该题的图形?
结论BH=AC还成立吗?
一个图形的某些条件变化后,要能分清变与不变的结果,这是解决这一类问题的基本思路.
3.已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.
(1).求证:
AM=BN.
(2).求∠AFN的度数.
(3).将原题中的正三角形改为正方形,根据上面
(1),
(2)的启示,能说明AM与BN的位置与数量关系吗?
一个图形的某些条件变化后,要能分清变与不变的结果.
(4).现以AB所在的直线为X轴,以△ACN的高线NO所在的直线为Y轴建立坐标系,如图所示.
B,C的坐标分别是(4,0),(2,0).
I)求点M的坐标;
II)写出直线AM的函数解析式;
III)求出△AFB的面积.
二、经典集粹:
思考1、三角形ABC中,AB=AC,顶角为100度,BE为底角的角平分线,求证:
BC=AE+BE。
角平分线构造全等+“SSA”反例
思考2、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE的面积。
构造两次全等
思考3、如图,直角梯形ABCD,AD//BC,AD=2,BC=3,等腰直角三角形CDE,CE为斜边,连结AE,求三角形ADE的面积。
三、小结:
(1)利用全等三角形证明线段相等时,关键要找好背景三角形。
(2)一个图形的某些条件变化后,要能分清变与不变的结果,这是解决这一类问题的基本思路。
(3)求证线段或角相等转化为证明它们所在的三角形全等。
(4)多边形问题转化为三角形解决。