B.
（m-1）i>t-1
C.
（m-1）i=t-1
D.
（m-1）i≤t-1
2.一棵有向树，如果恰有一个节点的入度为０，其余所有节点的入度都为１，则称为____________
A.
根树
B.
普通树
C.
树根
D.
树节点
3.
n个节点的无向完全图Kn的边数为_________________
A.
B.
C.
D.
4.在集合A={1,2,3,⋯，10},问下面定义的二元运算*关于集合A是不封闭的（）。
A.
x*y=max（x,y）
B.
x*y=min（x,y）
C.
x*y=GCD（x,y）
D.
x*y=x+y
5.
下图的最小生成树是（）
A.
B.
C.
D.
6.
（P→Q）→R的合取范式为 。
A.
（┐P∨R）∧（Q∨┐R）
B.
（P∨R）∧（┐Q∨R）
C.
P∧Q∧R
D.
P∨Q∨R
7.函数f：
R×R→R，f（）=（x+y）/2是（）函数。
A.
入射
B.
满射
C.
双射
D.
以上答案都不对
8.设C（x）：
x是国家选手，G（x）：
x是健壮的。
命题“没有一个国家选手不是健壮的”可符号化为（）
A.
¬（∀x）（C（x）⋀¬G（x）
B.
¬（∀x）（C（x）→¬G（x）
C.
¬（∃x）（C（x）⋀¬G（x）
D.
¬（∃x）（C（x）→¬G（x）
9.一阶逻辑公式∀x（F（x,y）⋀G（y,z））→∀zF（z,y）是（）
A.
前束范式
B.
封闭公式
C.
永真式
D.
永假式
10.设有一组权为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31则构造的最优二叉树权值为____________
A.
495
B.
505
C.
515
D.
520
二、判断题（本大题共30分，共10小题，每小题3分）
1.判断对错：
集合{2,4,6，•••2n}是无限集（）
2.下列句子的说法是否正确。
谓词演算的推理方法，可以看作是命题演算推理方法的扩张。
3.N为自然数集，N上的运算*定义为：
x*y=min{x,y}，其中x,y∈N，则是独异点。
4.对于图G着色时，需最少颜色数称为着色数。
5.群中，除幺元e外，可能有任何别的等幂元。
6.P→（┐Q）是命题公式。
7.蕴含式（P→Q）∧（Q→R）⇒P→R是正确的。
8.因为P∨┐P重言式，所以（P∧S）∨┐（P∧S）也是重言式。
9.设集合A={1,2,3}，I_A是A上的恒等关系，则I_A={,,}.
10.设A={1,2,8,24,48}，则A上的整除关系是A上的偏序，不是一个全序.（）
三、计算题（本大题共10分，共2小题，每小题5分）
1.
设集合A={1,2,3,4}，A上的二元关系R={（x,y）|x,y∈A,且x≥y},求R的关系图与关系矩阵
2.
试将公式P∧（P→Q）化为析取范式和合取范式：
四、简答题（本大题共12分，共2小题，每小题6分）
1.
S=Q×Q，Q为有理数集，为S上的二元运算，∀〈a,b〉,〈x,y〉∈S有
〈a,b〉*〈x,y〉=〈ax,ay+b〉
问*运算是否有幺元、零元？
如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
2.
构造公式┐（P→Q）∧Q的真值表，并解释其结果。
五、证明题（本大题共18分，共3小题，每小题6分）
1.
证明：
（∃x）A（x）→（∀x）B（x）=>（∀x）（A（x）→B（x））
2.
符号化下列命题并证明。
每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为。
所以，一定有些考生是聪明的。
3.
设A，B，C为三个任意集合，试证明
若A×A=B×B，则A=B；
答案：
一、单项选择题（30分，共10题，每小题3分）
1.C2.A3.D4.D5.D6.B7.B8.C9.C10.B
二、判断题（30分，共10题，每小题3分）
1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.×
三、计算题（10分，共2题，每小题5分）
1.
参考答案：
R={（x,y）│x,y∈A,且x≥y}
={（1,1）,（2,1）,（3,1）,（4,1）,（2,2）,（3,2）,（4,2）,（3,3）,（4,3）,（4,4）
R的关系图如图3-1所示。
解题方案：
评分标准：
2.
参考答案：
┐（P∨Q）↔（P∧Q）
=（﹁（P∨Q）→（P∧Q））∧（（P∧Q）→┐（P∨Q））（等值律）
=（（P∨Q）∨（P∧Q））∧（┐（P∧Q）∨┐（P∨Q）） （蕴涵律）
=（P∨Q）∧（┐P∨┐Q） （分配律）合取范式
=（┐P∨P）∨（┐P∨Q）∨（┐Q∧P）∨（┐Q∧Q） （分配律）析取范式
解题方案：
评分标准：
四、简答题（12分，共2题，每小题6分）
1.
参考答案：
容易验证〈1,0〉为幺元，没有零元。
当a≠0时，〈a,b〉的逆元为〈1/a,b/a〉
解题方案：
评分标准：
2.
参考答案：
真值表
P Q
P→Q ┐（P→Q） ┐（P→Q）∧Q
0 0
0 1
1 0
1 1
1 0 0
1 0 0
0 1 0
1 0 0
可见：
┐（P→Q）∧Q是恒假的。
解题方案：
评分标准：
五、证明题（18分，共3题，每小题6分）
1.
参考答案：
证明：
间接证法
（1）¬（∀x）（A（x）→B（x））P（附加条件）
（2）（∃x）¬（A（x）→B（x）） T
（1）E
（3）¬（A（c）→B（c）） ES
（2）
（4）¬（¬A（c）∨B（c）） T（3）
（5）A（c）∧¬B（c） T（4）E
（6）（∃x）A（x） EG（5）
（7）（∃x）A（x）→（∀x）B（x） P
（8）（∀x）B（x） T（6）,（7）I
（9）B（c）US（8）
（10）¬B（c） T（5）I
（11）B（c）∧¬B（c） T（9）,（10）矛盾
解题方案：
评分标准：
2.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
3.
参考答案：
设任意a∈A,则（a,a）∈A×A,因为A×A=B×B,有（a,a）∈B×B,故a∈B,因此A⊆B.
对任意b∈B,有（b,b）∈B×B,则（b,b）∈A×A,于是b∈A,因此B⊆A,所以A=B.
解题方案：
在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明。
评分标准：
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