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1、离散数学第3次解析第3次作业一、单项选择题（本大题共30分，共 10 小题，每小题 3 分）1. 在完全m叉树中，若树叶数为t，分枝点数为i，则有（） 。A. (m-1)it-1C. (m-1)i=t-1D. (m-1)it-12. 一棵有向树，如果恰有一个节点的入度为，其余所有节点的入度都为，则称为_A. 根树B. 普通树C. 树根D. 树节点3. n 个节点的无向完全图Kn的边数为_A. B. C. D. 4. 在集合A=1,2,3,，10,问下面定义的二元运算*关于集合A是不封闭的（ ）。A. x*y=max(x,y) B. x*y=min(x,y)C. x*y=GCD(x,y)D. x

2、*y=x+y5. 下图的最小生成树是（）A. B. C. D. 6. (PQ)R的合取范式为 。A. (PR)(QR)B. (PR)(QR)C. PQRD. PQR7. 函数f：RRR，f()=（x+y）/2是( )函数。A. 入射B. 满射C. 双射D. 以上答案都不对8. 设C(x)：x是国家选手，G(x)：x是健壮的。命题“没有一个国家选手不是健壮的”可符号化为( )A. (x)(C(x)G(x)B. (x)(C(x)G(x)C. (x)(C(x)G(x)D. (x)(C(x)G(x)9. 一阶逻辑公式x(F(x,y)G(y,z) )zF(z,y)是（）A. 前束范式B. 封闭公式C.

3、永真式D. 永假式10. 设有一组权为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31则构造的最优二叉树权值为_A. 495B. 505C. 515D. 520二、判断题（本大题共30分，共 10 小题，每小题 3 分）1. 判断对错：集合2,4,6，2n是无限集（ ）2. 下列句子的说法是否正确。 谓词演算的推理方法，可以看作是命题演算推理方法的扩张。 3. N为自然数集，N上的运算*定义为：x*y=minx,y，其中x,yN，则是独异点。4. 对于图G着色时，需最少颜色数称为着色数。5. 群中，除幺元e外，可能有任何别的等幂元。6. P(Q)是命题公式。7. 蕴含式(PQ)(QR)

4、 PR是正确的。8. 因为PP重言式，所以(PS)(PS)也是重言式。9. 设集合A=1,2,3，I_A是A上的恒等关系，则I_A=,.10. 设A=1,2,8,24,48，则A上的整除关系是A上的偏序，不是一个全序. （ ）三、计算题（本大题共10分，共 2 小题，每小题 5 分）1. 设集合A=1,2,3,4，A上的二元关系R=(x,y)|x,yA,且xy,求R的关系图与关系矩阵2. 试将公式P（PQ）化为析取范式和合取范式：四、简答题（本大题共12分，共 2 小题，每小题 6 分）1. S=QQ，Q为有理数集，为S上的二元运算， a,b,x,yS有a,b* x,y=ax,ay+b问 *

5、运算是否有幺元、零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。2. 构造公式（PQ）Q的真值表，并解释其结果。五、证明题（本大题共18分，共 3 小题，每小题 6 分）1. 证明：(x)A(x)(x)B(x)=(x)(A(x)B(x)2. 符号化下列命题并证明。每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为。所以，一定有些考生是聪明的。3. 设A，B，C为三个任意集合，试证明若AA=BB，则A=B；答案：一、单项选择题（30分，共 10 题，每小题 3 分）1. C 2. A 3. D 4. D 5. D 6. B 7. B 8. C 9. C 10. B

6、二、判断题（30分，共 10 题，每小题 3 分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三、计算题（10分，共 2 题，每小题 5 分）1. 参考答案：R=(x,y)x,yA,且xy=(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3),(4,3),(4,4) R的关系图如图3-1所示。解题方案：评分标准：2. 参考答案：（PQ）（PQ）=(（PQ）（PQ）)(（PQ）（PQ）)(等值律)=(（PQ）（PQ）) (（PQ）（PQ）) (蕴涵律)=（PQ）(PQ) (分配律) 合取范式=(PP) (PQ)(QP)(QQ) (分配律

7、)析取范式解题方案：评分标准：四、简答题（12分，共 2 题，每小题 6 分）1. 参考答案：容易验证1,0为幺元，没有零元。当a0时，a,b的逆元为1/a,b/a解题方案：评分标准：2. 参考答案：真值表 P QPQ （PQ） （PQ）Q0 00 11 0 1 11 0 01 0 00 1 01 0 0可见：（PQ）Q是恒假的。解题方案：评分标准：五、证明题（18分，共 3 题，每小题 6 分）1. 参考答案：证明：间接证法(1)(x)(A(x)B(x)P(附加条件)(2)(x)(A(x)B(x) T(1)E(3)(A(c)B(c) ES(2)(4)(A(c)B(c) T(3)(5)A(c)B(c) T(4)E(6)(x)A(x) EG(5)(7)(x)A(x)(x)B(x) P(8)(x)B(x) T(6),(7)I(9)B(c)US(8)(10)B(c) T(5)I(11)B(c)B(c) T(9),(10) 矛盾解题方案：评分标准：2. 参考答案：解题方案：评分标准：3. 参考答案：设任意aA,则(a,a)AA,因为AA=BB,有(a,a)BB,故aB,因此AB.对任意bB,有(b,b)BB,则(b,b)AA,于是bA,因此BA,所以A=B. 解题方案：在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明。评分标准：