初二数学最新教案八年级数学证明 精品.docx

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初二数学最新教案八年级数学证明精品

第六章证明

（一）

§6.1你能肯定吗

教学目标

1.通过观察、探索，猜测得到的结论不一定正确，让学生初步了解数学中推理的重要性.

2.让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.

教学重点

判定一个结论正确与否需进行推理.

教学难点

理解数学推理的重要性.

教学目标

一、巧设现实情境，引入新课

在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界.在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论.那这样得到的结论都是正确的吗？

如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？

二、讲授新课

我们来动手画一画，然后归纳、总结

如图，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H.度量四边形EFGH的边和角，你会发现什么结论？

如果改变四边形ABCD的形状，你还能得到类似的结论吗？

大家再来动手画一画、量一量.

由此可得：

任意四边形的四条边的中点所围成的四边形都是平行四边形.

在八年级上册我们已经知道：

连接三角形的两边中点的线段是三角形的中位线.由于E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，所以可把这个四边形变为两个三角形.即：

可以连接AC，也可以连接BD.把四边形ABCD变为△ABC与△ADC或△ABD与△BDC.

现在我们来连接AC.如图.

在△ABC中，EF是△ABC的中位线，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得：

EF平行于AC且等于AC的一半.

同样，在△ADC中，GH是△ADC的中位线，则GH平行于AC且等于AC的一半.

由“两直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行”可知：

EF∥GH.又因为：

EF=

AC，GH=

AC，所以得EF=GH.这样由平行四边形的判定：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.可以得到：

四边形EFGH是平行四边形.

即：

连接AC

连接任意四边形四边的中点所组成的图形是平行四边形.

注：

本题连接BD与连接AC的推理过程一样.

通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要用推理过程得证.下面我们来做一做当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n+11的值是质数吗？

你能否得到结论：

对于所有自然数n,n2－n+11的值都是质数？

当n=0时，n2－n+11=11.

当n=1时，n2－n+11=11.

当n=2时，n2－n+11=13.

当n=3时，n2－n+11=17.

当n=4时，n2－n+11=23.

当n=5时，n2－n+11=31.

由此可知：

当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n+11的值都是质数.

得到结论：

对于所有自然数n,n2－n+11的值都是质数.

假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？

能放进一颗红枣吗？

能放进一个拳头吗？

与同伴进行交流.

要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.那大家来想一想、议一议

（1）在数学学习中，你用到过推理吗？

举例说明.

（2）在日常生活中，你用到过推理吗？

举例说明.

下面我们来通过练习熟悉本节课的内容.

三、课堂练习

（一）课本随堂练习.1、2、3.

（二）课本P188读一读：

“费马的失误”.

（三）看课本P186~187，然后小结.

四、课时小结

本节课主要研究了：

要判断一个数学结论是否正确，需要有根有据地进行推理.

五、作业见作业本

§6.2.1定义与命题

（一）

教学目标

1.从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性.

2.从具体实例中，了解命题的概念，并会区分命题.

3.通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系.

教学重点

命题的概念

教学难点

命题的概念的理解

教学过程

一、巧设现实情境，引入新课

随着时代的发展，电脑逐渐走进我们的生活，上过网或懂电脑的同学都知道什么是“黑客”.下面我们来看一段对话（电脑演示）

小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.

小亮说：

……

小刚说：

“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”

小亮说：

“……”小刚说：

“……”

小亮说：

“哈！

，这个黑客终于被逮住了.”

……

坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：

一人说：

“这黑客是个小偷吧？

”

另一人说：

“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”

……

一人说：

“那因特网肯定是一张很大的网.”

另一人说：

“估计可能是英国造的特殊的网.”

……（学生听后，大笑）同学们为什么笑呢？

旁边那两个人的概念不清.

“黑客”“因特网”等都是电脑中的专用名词.

……

由此可知：

人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.

这节课我们就要研究：

定义与命题

二、讲授新课

在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义（definition）.

如：

“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义.

大家还能举出一些例子吗？

“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.

……

同学们举出了这么多例子.说明定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.

如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.

如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染；

如果C处受到污染，那么__________处便受到污染；

如果E处受到污染，那么__________处便受到污染；

……

如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？

你是怎么想的？

与同伴交流.

如果B处工厂排放污水，那么a、b、c、d处便会受到污染.

如果B处工厂排放污水，那么e、f、g处也会受到污染的.

如果C处受到污染，那么a、b、c处便受到污染.

如果C处受到污染，那么d处也会受到污染的.

如果E处受到污染，那么a、b处便会受到污染.

［如果h处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放.……

在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.

即：

命题是判断一件事情的句子.如：

熊猫没有翅膀.对顶角相等.

大家能举出这样的例子吗？

两直线平行，内错角相等.

无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数.

任意一个三角形都有一个直角.

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

全等三角形的对应角相等.

……

大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：

你喜欢数学吗？

作线段AB=a.平行用符号“∥”表示.

这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.

一般情况下：

疑问句不是命题.图形的作法不是命题.

三、课堂练习

（一）课本随堂练习1、2.

1.你能列举出一些命题吗？

答案：

能.举例略.

2.举出一些不是命题的语句.

答案：

如：

①画线段AB=3cm.

②两条直线相交，有几个交点？

③等于同一个角的两个角相等吗？

④在射线OA上，任取两点B、C.等等.

（二）看课本P190~192，然后小结.

四、课时小结

本节课我们通过具体实例，说明了定义在生活中的重要性.在具体实例中，了解了命题的概念.

命题：

判断一件事情的句子.

五、作业见作业本

六、活动与探究

1.现有正方形纸若干：

假设正方形纸面积为1，你会折满足下列条件的正方形吗？

（1）折面积为

的正方形

（2）折面积为

的正方形

（3）折面积为

的正方形

（4）折面积为

的正方形

（5）折面积为

的正方形

［过程］让学生在折纸过程中，体会数学的快乐、灵活，从而培养他们的动手、动脑能力.

［结果］解：

（1）折面积为

的正方形

方法：

如图①将正方形两次对折，得到各边中点E、F、G、H.

②连HE、EF、FG和GH.

则正方形EFGH即为所求.

图②、③的方法可折得面积为

、

的正方形.

（2）折面积为

的正方形.

方法：

如图④

①将正方形对折，得折痕EF.

②将BC折至BG，使G在EF上，得折痕BH，则以CH为边长的正方形即为所求.

证明：

易知△GBC为正三角形，∠HBC=30°.CH=BCtan30°=

所以S正方形=CH2=

.

（3）折面积为

的正方形.

方法：

如图⑤

①将正方形两次对折，得各边中点E、F、G、H.

②以AF、HC、ED和BG为折痕，交点为O、P、Q、R.

则正方形OPQR即为所求.

证明：

易证：

AF=

.

又△ABF∽△APB.

所以

即

则：

AP=

OP=

故：

S正方形=OP2=

（4）折面积为

的正方形

方法：

如图⑥

①先参照

（2）中折法，折出CE=

②取CE中点F，再折EG=EF.

③取BC中点M，折出MN⊥BG，N为折痕BG与MN的交点，则以BN为边长的正方形即为所求.

证明：

∵EG=EF=FC=

∴CG=

，BG=

由△BNM∽△BCG.得

.

即：

∴BN=

S正方形=BN2=

（5）折面积为

的正方形

方法：

如图⑦.

①将正方形对折，得折痕EF.

②以AC、BE为折痕，交点为P.

③过点P折出平行于AD的折痕MN.

则以AM为边长的正方形即为所求.

证明：

由△PAE∽△PCB.得

所以AM=

S正方形=AM2=

§6.3为什么它们平行

教学目标

1.通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力.

2.理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理.

3.掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式.

4.通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想.

教学重点

平行线的判定定理、公理.

教学难点

推理过程的规范化表达.

教学过程

一、巧设现实情境，引入新课

前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：

两条直线在什么情况下互相平行呢？

在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线.

两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行.

同位角相等，两直线平行.

内错角相等，两直线平行.

同旁内角互补，两直线平行.

这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.

上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实.

“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢？

这节课我们就来探讨第三节：

为什么它们平行.

二、讲授新课

看命题：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：

a∥b.

那如何证明这个题呢？

我们来分析分析.

要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：

∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行.

因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：

∠3=180°－∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：

∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：

∠1=∠3.

下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：

符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）

证明：

∵∠1与∠2互补（已知）

∴∠1+∠2=180°（互补的定义）

∵∠1+∠2=180°

∴∠1=180°－∠2（等式的性质）

∵∠3+∠2=180°（1平角=180°）

∴∠3=180°－∠2（等式的性质）

∵∠1=180°－∠2，∠3=180°－∠2

∴∠1=∠3（等量代换）

∵∠1=∠3

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）

这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：

直线平行的判定定理.

这一定理可简单地写成：

同旁内角互补，两直线平行.

注意：

（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.

（2）方括号内的“∵∠1+∠2=180°”等，就是上面刚刚得到的“∴∠1+∠2=180°”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略.

（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.

小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？

为什么？

我认为他的作法对.他的作法可用右图来表示：

∠CFE=45°,∠BEF=45°.因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°.而∠CFE与∠FEA是同旁内角.且这两个角的和为180°，因此可知：

CD∥AB.

从图中可知：

∠CFE与∠FEB是内错角.因此可知：

“内错角相等，两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.

已知，如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.

求证：

a∥b

证明：

∵∠1=∠2（已知）

∠1+∠3=180°（1平角=180°）

∴∠2+∠3=180°（等量代换）

∴∠2与∠3互补（互补的定义）

∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.

这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

这一定理可以简单说成：

内错角相等，两直线平行.

刚才我们是应用判定定理“同旁内角互补，两直线平行”来证明这一定理的.下面大家来想一想

借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？

已知，如图，直线a⊥c,b⊥c.

求证：

a∥b.

证明：

∵a⊥c,b⊥c（已知）

∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）

∴∠1=∠2（等量代换）

∴b∥a（同位角相等，两直线平行）

由此可以得到：

“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.

同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.

三、课堂练习

（一）课本随堂练习

1.蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α=109°28′,∠β=70°32′,试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由.

解：

这三个四边形的形状是平行四边形.

理由是：

∵∠α=109°28′∠β=70°32′∴∠α+∠β=180°（等式的性质）

∴AB∥CD，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）

四、课时小结

这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下完成下表

由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角.

注意：

1.证明语言的规范化.

2.推理过程要有依据.

3.“两条直线都和第三条直线平行，这两条直线互相平行”这个真命题以后证.

五、作业课本P203习题6.41、2

六、活动与探究

1.你能用圆规和直尺作出两条平行线吗？

能证明你的作法吗？

［过程］通过这个活动，一来复习用尺规作图，二来熟悉掌握证明的步骤.

［结果］如图所示.

用圆规和直尺能作出两条平行线.

因为在作图中，作∠β=∠α.而∠α与∠β是同位角.由“同位角相等，两直线平行”可知：

a∥b.

还可以作内错角，即：

作一个角等于已知角α，使所作的角与∠α是内错角即可.

§6.4如果两条直线平行

教学目标

1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力.

2.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤.

3.通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性.

教学重点

证明的步骤和格式.

教学难点

理解命题、分清其条件和结论.正确对照命题画出图形.写出已知、求证.

教学过程

一、巧设现实情境，引入新课

上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？

这节课我们就来研究“如果两条直线平行”.

二、讲授新课

在前一节课中，我们知道：

“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：

两直线平行，同位角相等.

议一议：

利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？

利用“两条直线平行，同位角相等”可以证明：

两条直线平行，内错角相等.

还可以证明：

两条直线平行，同旁内角互补.

（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？

（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？

（3）你能说说证明的思路吗？

根据上述命题的文字叙述，可以作出相关的图形.如图

因为“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”这个命题的条件是：

两条平行线被第三条直线所截.它的结论是：

内错角相等.所以我根据所作的图形.如图，把这个文字命题改写为符号语言.即：

已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.求证：

∠1=∠2.

.哪位同学上黑板来书写呢？

（学生举手，请一位同学来）

证明：

∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）

∵∠1=∠3（对顶角相等）

∴∠1=∠2（等量代换）

同学们写得很好.通过证明证实了这个命题是真命题，我们可以把它称为定理.即平行线的性质定理.这样就可把它作为今后证明的依据.

注意：

（1）在课本中曾指出：

随堂练习和习题中用黑体字给出的结论也可以作为今后证明的依据.所以像“对顶角相等”就可以直接应用.

（2）这个性质定理的条件是：

直线平行.结论是：

角的关系.在应用时一定要注意.

接下来我们来做一做由判定公理可以证明的另一命题

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

来请一位同学上黑板来给大家板演，其他同学写在练习本上.

已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.

求证：

∠1+∠2=180°.

证明：

∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）

∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）

∴∠1+∠2=180°（等量代换）

直线平行的性质定理.（证明如下）

证明：

∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）

∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）

∴∠1+∠2=180°（等量代换）

到现在为止，我们通过推理得证了两个判定定理和两个性质定理，那么你能说说证明的一般步骤吗？

大家分组讨论、归纳.

证明的一般步骤：

第一步：

根据题意，画出图形.

先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达.

第二步：

根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.

把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.

第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了.

三、课堂练习

（一）补充练习

1.证明邻补角的平分线互相垂直.

已知：

如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.

求证：

OE⊥OF.

证明：

∵OE平分∠AOB.

OF平分∠BOC（已知）

∴∠EOB=

∠AOB

∠BOF=

∠BOC（角平分线定义）

∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）

∴∠EOB+∠BOF=

（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性质）即∠EOF=90°

∴OE⊥OF（垂直的定义）

（二）看课本P204~205，然后小结

四、课时小结

这节课我们主要研究了平行线的性质定理的证明，总结归纳了证明的一般步骤.

1.平行线的性质：

公理：

两直线平行，同位角相等

定理：

两直线平行，内错角相等

定理：

两直线平行，同旁内角互补

2.证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形.

（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

五、作业习题6.51、2、3

六、活动与探究

1.已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：

AD∥BC.

［分析］让学生在证明这个题时，可从多方面考虑，从而拓展了他们的思维，要证：

AD∥BC，可根据平行线的五种判定方法，结合图形，可证同旁内角互补，内错角相等，同位角相等.

证法一：

∵AB∥DC（已知）

∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠B=∠D（已知）

∴∠D+∠C=180°（等量代换）

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

证法二：

如图，延长BA（构造一组同位角）

∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）

∵∠B=∠D（已知）

∴∠1=∠B（等量代换）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

证法三：

如图，连接BD（构造一组内错角）

∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）

∵∠B=∠D（已知）

∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）

∴∠2=∠3

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.

求证：

∠1=∠2

证明：

∵a∥b（）∴∠3=∠2（）

∵∠1=∠3（）∴∠1=∠2（）

2.定理：

两直线平行，同旁内角互补.

已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.求证：

∠1+∠2=180°

§6.5三角形内角和定理的证明

教学目标

（一）知识认知要求

三角形的内角和定理的证明.

（二）能力训练要求

掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.

（三）情感与价值观要求

通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.

教学重点

三角形内角和定理的证明.

教学难点

三角形内角和定理的证明方法.

教学过程

一、巧设现实情境，引入新课

大家来看一机器零件（投影）

为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？

二、讲授新课

为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验）

用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：

△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？

当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近18