北京市初三数学一模试题分类阅读材料.docx

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北京市初三数学一模试题分类阅读材料

类型一：

添加辅助线，构造全等或相似推理证明

1.（朝阳一模26）阅读下面材料：

小昊遇到这样一个问题：

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，

BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：

BD=1：

2，AD与BE

相交于点P，求

的值．

小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和

计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：

的值为　．

图3

图1

图2

参考小昊思考问题的方法，解决问题：

如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：

BC：

AC=1：

2：

3．

（1）求

的值；

（2）若CD=2，则BP=．

2.（门头沟毕业考试26）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．

小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．

图1图2

请回答：

（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△≌△；

（2）BC和AC、AD之间的数量关系是．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．

求AB的长．

图3

3.（燕山毕业考试26）阅读下面材料：

小军遇到这样一个问题：

如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

图3

小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：

如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：

AD的取值范围是．

参考小军思考问题的方法，解决问题：

如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：

PA•CD＝PC•BD．

4.（怀柔一模26）阅读下面材料：

小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：

如图1，在△ABC中，

∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6

求BC的长.

小聪思考：

因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE.

这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）.

请回答：

（1）△BDE是_________三角形.

（2）BC的长为__________.

参考小聪思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知△ABC中，AB=AC,∠A=20°，

BD平分∠ABC,BD=,BC=2.

求AD的长.

类型二：

添加辅助线，构造特殊四边形，利用解直等方法推理证明.

5.（海淀一模26）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

图1图2图3

请回答：

BC+DE的值为_______．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．

类型三：

一般四边形的解法，添加辅助线，构造直角三角形进行解直.

6.（石景山一模26）阅读下面材料：

小红遇到这样一个问题：

如图1，在四边形中，，，，，求的长．

图1图2

小红发现，延长与相交于点，通过构造Rt△，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：

的长为．

参考小红思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形中，，，

，，求和的长．

图3

类型四：

利用全等三角形的判定方法画图，构造全等三角形，对SSA是否全等推理验证.

7.（平谷一模26）阅读下面材料：

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

小聪将命题用符号语言表示为：

在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．

小聪想：

要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．

∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

第一种情况：

当∠B是直角时，如图1，

在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，

∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道

Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：

当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E<90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；

A．全等B．不全等C．不一定全等

第三种情况：

当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，

∠B=∠E>90°，求证：

△ABC≌△DEF．

类型五：

利用圆周角的性质画圆，根据圆内接四边形的性质及三角形外角性质进行推理证明.

8.（房山一模26）阅读材料

小明遇到这样一个问题：

如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：

∠AFE=∠ACB.

小明是这样思考问题的：

如图2，以BC为直径做半⊙O，则点F、E在⊙O上，

∠BFE+∠BCE=180°，所以∠AFE=∠ACB.

请回答：

若∠ABC=，则∠AEF的度数是.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：

∠BDF=∠CDE.

类型六：

利用特殊四边形的性质，构造全等或相似推理证明.

9.（东城一模26）阅读材料

在四边形中，对角线与交于点，是上任意一点，于点，交于点．

（1）如图1,若四边形是正方形,判断与的数量关系;

明明发现，与分别在和中，可以通过证明和全等,得到与的数量关系;

请回答：

与的数量关系是.

（2）如图2,若四边形是菱形,,请参考明明思考问题的方法，求的值.

图1图2

类型七：

利用等边三角形性质，构造全等，利用割补法求一般图形的面积.

10.（延庆毕业考试26）阅读下面资料：

问题情境：

（1）如图1，等边△ABC，∠CAB和∠CBA的平分线交于点O，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与点O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△OAB的面积是．

探究：

（2）在

（1）的条件下，将纸片绕O点旋转至如图2所示位置，纸片两边分别与AB，AC交于点E，F，求图2中重叠部分的面积．

（3）如图3，若∠ABC=α（0°＜α＜90°），点O在∠ABC的角平分线上，且BO=2，以O为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠ABC的两边AB，AC分别交于点E、F，∠EOF=180°﹣α，直接写出重叠部分的面积．（用含α的式子表示）

图3

图2

图1

类型八：

利用网格，构造直角三角形，进行解直.

11.（西城一模26）阅读下面的材料：

小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：

如果α，β都为锐角，且，，求的度数．

小敏是这样解决问题的：

如图1，把，放在正方形网格中，使得，

，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得=∠ABC=°.

请参考小敏思考问题的方法解决问题：

如果，都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=，由此可得=______°.

类型九：

利用特殊四边形及相似的性质求解.

12.（通州一模26）阅读材料

（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并填空．

如图①，△中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，∠PAM=∠A．

操作：

（1）延长BC．

（2）将∠PAM绕点A逆时针方向旋转60°后，射线AM交BC的延长线于点D．

（3）过点D作DQ//AB．

（4）∠PAM旋转后，射线AP交DQ于点G．

（5）连结BG．

结论：

=．

（2）如图②，△中，AB=AC=1，∠BAC=36°，进行如下操作：

将△绕点A按逆时针方向旋转

度角，并使各边长变为原来的n倍（n>1），得到△.当点B、C、在同一条直线上，且四边形为平行四边形时（如图③），求

和n的值．

类型十：

通过拼图，利用等面积法推理证明勾股定理公式.

13.（丰台一模26）阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍

的一种拼图证明勾股定理的方法.

先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b，

斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形.

图1

由图1可以得到，

整理，得．

所以．

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请

你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：

图2

由图2可以得到，

整理，得，

所以.