版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第十二章第1节.docx
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版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第十二章第1节
第1节 合情推理与演绎推理
最新考纲 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
知识梳理
1.合情推理
类型
定义
特点
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
根据两类事物之间具有某些类似（一致）性,推测一类事物具有另一类事物类似（或相同）的性质的推理
由特殊到特殊
2.演绎推理
（1）定义:
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
（2）“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
[微点提醒]
1.合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性,则需要证明.
2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类比,就会犯机械类比的错误.
3.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.若大前提或小前提错误,尽管推理形式是正确的,但所得结论是错误的.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.（ ）
（2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.（ ）
（3）在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.（ ）
（4）在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.（ ）
解析
（1）类比推理的结论不一定正确.
（3）平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.
（4）演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.
【参考答案】
（1）×
（2）√ （3）× （4）×
2.（选修2－2P84A3改编）对于任意正整数n,2n与n2的大小关系为（ ）
A.当n≥2时,2n≥n2B.当n≥3时,2n≥n2
C.当n≥4时,2n≥n2D.当n≥5时,2n≥n2
解析 当n＝2时,2n＝n2；当n＝3时,2nn2；归纳判断,当n≥4时,2n≥n2.故选C.
【参考答案】C
3.（选修2－2P84A5改编）在等差数列{an}中,若a10＝0,则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19,且n∈N*）成立.类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9＝1,则存在的等式为________.
解析 根据类比推理的特点可知:
等比数列和等差数列类比,在等差数列中是和,在等比数列中是积,故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<17,且n∈N*）.
【参考答案】b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<17,且n∈N*）
4.（2019·淄博一模）有一段“三段论”推理是这样的:
对于可导函数f（x）,若f′（x0）＝0,则x＝x0是函数f（x）的极值点,因为f（x）＝x3在x＝0处的导数值为0,所以x＝0是f（x）＝x3的极值点,以上推理（ ）
A.大前提错误B.小前提错误
C.推理形式错误D.结论正确
解析 大前提是“对于可导函数f（x）,若f′（x0）＝0,则x＝x0是函数f（x）的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f（x）,如果f′（x0）＝0,且满足在x0附近左右两侧导函数值异号,那么x＝x0才是函数f（x）的极值点,所以大前提错误.故选A.
【参考答案】A
5.（2018·大连模拟）数列2,5,11,20,x,…中的x等于________.
解析 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9,推出x－20＝12,故x＝32.
【参考答案】32
6.（2019·西安二模）将正整数1,2,3,4,…按如图所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为________.
解析 由三角形数组可推断出,第n行共有2n－1个数,且最后一个数为n2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.
【参考答案】91
考点一 归纳推理
多维探究
角度1 与图形变化有关的推理
【例1－1】（2018·石家庄模拟）某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为________.
解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知,从第三项起,每一项都等于前两项的和,则第6年为8,第7年为13,第8年为21,第9年为34,第10年为55.
【参考答案】55
角度2 与数字或式子有关的推理
【例1－2】（2019·安阳一模）如图,将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签:
原点处标0,点（1,0）处标1,点（1,－1）处标2,点（0,－1）处标3,点（－1,－1）处标4,点（－1,0）处标5,点（－1,1）处标6,点（0,1）处标7,……,以此类推,则标20192的格点的坐标为（ ）
A.（1010,1009）B.（1009,1008）
C.（2019,2018）D.（2018,2017）
解析 点（1,0）处标1,即12；点（2,1）处标9,即32；点（3,2）处标25,即52；……,由此推断点（n＋1,n）处标（2n＋1）2,当2n＋1＝2019时,n＝1009,故标20192的格点的坐标为（1010,1009）.故选A.
【参考答案】A
规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点,找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性
【训练1】
（1）如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形,其中第1个图形用了3根火柴,第2个图形用了9根火柴,第3个图形用了18根火柴,…,则第2018个图形用的火柴根数为（ ）
A.2014×2017B.2015×2016
C.3024×2018D.3027×2019
（2）对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:
22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19.
根据上述分解规律,则52＝1＋3＋5＋7＋9,若m3（m∈N*）的分解中最小的数是73,则m的值为________.
解析
（1）由题意,第1个图形需要火柴的根数为3×1；
第2个图形需要火柴的根数为3×（1＋2）；
第3个图形需要火柴的根数为3×（1＋2＋3）；
…
由此,可以推出第n个图形需要火柴的根数为3×（1＋2＋3＋…＋n）.
所以第2018个图形所需火柴的根数为3×（1＋2＋3＋…＋2018）＝3×
＝3027×2019.
（2）根据23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,从23起,m3的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和,23为前两项和,33为接下来三项和,故m3的首个数为m2－m＋1.因为m3（m∈N*）的分解中最小的数是73,所以m2－m＋1＝73,解得m＝9.
【参考答案】
（1）D
（2）9
考点二 类比推理
【例2】
（1）我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在
中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程
＝x确定出来x＝2,类似地不难得到1＋
＝（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）若点P0（x0,y0）在椭圆
＋
＝1（a>b>0）外,过点P0作该椭圆的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为
＋
＝1.那么对于双曲线
－
＝1（a>0,b>0）,类似地,可以得到一个正确的切点弦方程为________.
解析
（1）令1＋
＝x（x>0）,即1＋
＝x,即x2－x－1＝0,解得x＝
（x＝
舍）,故1＋
＝
故选C.
（2）若点P0（x0,y0）在双曲线
－
＝1（a>0,b>0）外,过点P0作该双曲线的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为
－
＝1.
【参考答案】
（1）C
（2）
－
＝1
规律方法 1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.
2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.
【训练2】
（1）（2018·孝感模拟）二维空间中,圆的一维测度（周长）l＝2πr,二维测度（面积）S＝πr2,三维空间中,球的二维测度（表面积）S＝4πr2,三维测度（体积）V＝
πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V＝8πr3,则其四维测度W＝（ ）
A.2πr4B.3πr4C.4πr4D.6πr4
（2）在平面上,设ha,hb,hc是△ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论:
＋
＋
＝1.把它类比到空间,则三棱锥中的类似结论为______________________________________.
解析
（1）二维空间中,圆的一维测度（周长）l＝2πr,二维测度（面积）S＝πr2,（πr2）′＝2πr,三维空间中,球的二维测度（表面积）S＝4πr2,三维测度（体积）V＝
πr3,
′＝4πr2,四维空间中,“超球”的三维测度V＝8πr3,
∵（2πr4）′＝8πr3,
∴“超球”的四维测度W＝2πr4,故选A.
（2）设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高,P为三棱锥A－BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd,于是可以得出结论:
＋
＋
＋
＝1.
【参考答案】
（1）A
（2）
＋
＋
＋
＝1
考点三 演绎推理
多维探究
角度1 与逻辑推理有关的问题
【例3－1】
（1）（2018·石家庄一模）甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委大,甲与体委的年龄不同,体委比乙的年龄小.据此推断班长是________.
（2）2019年夏季大美青海又迎来了旅游热,甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖,海北百里油菜花海,茶卡天空之境三个地方时,
甲说:
我去过的地方比乙多,但没去过海北百里油菜花海；
乙说:
我没去过茶卡天空之境；
丙说:
我们三人去过同一个地方.
由此可判断乙去过的地方为________.
解析
（1）根据“甲与体委的年龄不同,体委比乙的年龄小”可得丙是体委；
根据“丙的年龄比学委大,体委比乙的年龄小”可得乙的年龄>丙的年龄>学习委员的年龄,由此可得,乙不是学习委员,那么乙是班长.
（2）由乙说:
我没去过茶卡天空之境,可知乙可能去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海两个地方,
但甲说:
我去过的地方比乙多,但没去过海北百里油菜花海,则甲去过陆心之海青海湖和茶卡天空之境两个地方,乙只去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海中的一个地方,
再由丙说:
我们三人去过同一地方,
可推知乙去过的地方为陆心之海青海湖.
【参考答案】
（1）乙
（2）陆心之海青海湖
角度2 与证明有关的问题
【例3－2】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1＝1,an＋1＝
Sn（n∈N*）.证明:
（1）数列
是等比数列；
（2）Sn＋1＝4an.
证明
（1）∵an＋1＝Sn＋1－Sn,an＋1＝
Sn,
∴（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn）,即nSn＋1＝2（n＋1）Sn.
∴
＝2·
又
＝1≠0,（小前提）
故
是以1为首项,2为公比的等比数列.（结论）
（大前提是等比数列的定义,这里省略了）
（2）由
（1）可知
＝4·
（n≥2）,
∴Sn＋1＝4（n＋1）·
＝4·
·Sn－1＝4an（n≥2）,（小前提）
又a2＝3S1＝3,S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1,（小前提）
∴对于任意正整数n,都有Sn＋1＝4an.（结论）
（第
（2）问的大前提是第
（1）问的结论以及题中的已知条件）
规律方法 解决逻辑推理问题的两种方法:
（1）假设反证法:
先假设题中给出的某种情况是正确的,并以此为起点进行推理.如果推理导致矛盾,则证明此假设是错误的,再重新提出一个假设继续推理,直到得到符合要求的结论为止.
（2）枚举筛选法:
即不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举,然后对各种情况逐个检验,排除一些不可能的情况,逐步归纳梳理,找到正确答案.
【训练3】
（1）（2017·全国Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则（ ）
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
（2）学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在结果揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品的获奖情况预测如下:
甲说:
“C或D作品获得一等奖”；
乙说:
“B作品获得一等奖”；
丙说:
“A,D两项作品均未获得一等奖”；
丁说:
“C作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是________.
解析
（1）由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩,可推出乙和丙一优一良,又因为乙看过丙的成绩,所以乙可以推测出自己的成绩.因为已经推出乙和丙一优一良,所以甲和丁也是一优一良,并且条件已给出丁看过甲的成绩,所以丁也可以推出自己的成绩,故选D.
（2）若A获得一等奖,则甲,乙,丙,丁的说法均错误,故不满足题意；
若B获得一等奖,则乙,丙的说法正确,甲,丁的说法错误,故满足题意；
若C获得一等奖,则甲,丙,丁的说法均正确,故不满足题意；
若D获得一等奖,则只有甲的说法正确,故不满足题意.
故若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是B.
【参考答案】
（1）D
（2）B
[思维升华]
1.合情推理的过程概括为
―→
―→
―→
2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.
[易错防范]
1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.
2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.
3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.
基础巩固题组
（建议用时:
35分钟）
一、选择题
1.已知数列{an}中,a1＝1,n≥2时,an＝an－1＋2n－1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是（ ）
A.an＝3n－1B.an＝4n－3
C.an＝n2D.an＝3n－1
解析 a1＝1,a2＝4,a3＝9,a4＝16,猜想an＝n2.
【参考答案】C
2.观察（x2）′＝2x,（x4）′＝4x3,（cosx）′＝－sinx,由归纳推理得:
若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x）,记g（x）为f（x）的导函数,则g（－x）＝（ ）
A.f（x）B.－f（x）C.g（x）D.－g（x）
解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数,故g（－x）＝－g（x）.
【参考答案】D
3.按照图①～图③的规律,第10个图中圆点的个数为（ ）
A.36B.40C.44D.52
解析 因为根据图形,第一个图有4个点,第二个图有8个点,第三个图有12个点,…,所以第10个图有10×4＝40个点.故选B.
【参考答案】B
4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论（ ）
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
A.①②B.②③C.③④D.①④
解析 ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行,正确；②垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能是相交直线、异面直线,故不正确；③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能是相交平面,如墙角,故不正确；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行,正确.故选D.
【参考答案】D
5.下面四个推理,不属于演绎推理的是（ ）
A.因为函数y＝sinx（x∈R）的值域为[－1,1],2x－1∈R,所以y＝sin（2x－1）（x∈R）的值域也为[－1,1]
B.昆虫都有6条腿,竹节虫是昆虫,所以竹节虫有6条腿
C.在平面中,对于三条不同的直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c,将此结论放到空间中也是如此
D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行,那么,墙上字迹离地面的高度大约是他的身高,凶手在墙上写字的位置与他的视线平行,福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多,于是,他得出了凶手身高六尺多的结论
解析 C中的推理属于合情推理中的类比推理,A,B,D中的推理都是演绎推理.
【参考答案】C
6.（2019·长春质量监测）中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算的,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位数用横式表示,以此类推.例如3266用算筹表示就是
则8771用算筹可表示为（ ）
解析 由题意知8771用算筹可表示为
故选A.
【参考答案】A
7.观察下列各式:
a＋b＝1,a2＋b2＝3,a3＋b3＝4,a4＋b4＝7,a5＋b5＝11,…,则a10＋b10等于（ ）
A.28B.76C.123D.199
解析 观察规律,归纳推理.
从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a10＋b10＝123.
【参考答案】C
8.（2019·武汉一模）某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演,《茶馆》不能在周一和周三上演,《天籁》不能在周三和周四上演,《马蹄声碎》不能在周一和周四上演,那么下列说法正确的是（ ）
A.《雷雨》只能在周二上演
B.《茶馆》可能在周二或周四上演
C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》
D.四部话剧都有可能在周二上演
解析 由题目可知,周一上演《天籁》,周四上演《茶馆》,周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》,故选C.
【参考答案】C
二、填空题
9.仔细观察下面○和●的排列规律:
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…,若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前120个○和●中,●的个数是________.
解析 进行分组
○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…,
则前n组两种圈的总数是f（n）＝2＋3＋4＋…＋（n＋1）＝
易知f（14）＝119,f（15）＝135,故n＝14.
【参考答案】14
10.（2018·重庆模拟）在等差数列{an}中,若公差为d,且a1＝d,那么有am＋an＝am＋n,类比上述性质,写出在等比数列{an}中类似的性质:
________________
____________________________________.
解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积,故在等比数列中,类似的性质是“在等比数列{an}中,若公比为q,且a1＝q,则am·an＝am＋n.”
【参考答案】在等比数列{an}中,若公比为q,且a1＝q,则am·an＝am＋n
11.观察下列等式:
13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102,…,根据上述规律,第n个等式为________.
解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝
＝
.
【参考答案】13＋23＋…＋n3＝
12.（2019·呼和浩特模拟）某煤气站对外输送煤气时,用1～5号5个阀门控制,且必须遵守以下操作规则:
（1）若开启2号,则必须同时开启3号并且关闭1号；
（2）若开启1号或3号,则关闭5号；
（3）禁止同时关闭4号和5号.
现要开启2号,则同时开启的另外2个阀门是________.
解析 由题意,若开启2号,则关闭1号,开启3号,开启4号,关闭5号.故答案为3号和4号.
【参考答案】3号和4号
能力提升题组
（建议用时:
15分钟）
13.（2019·广东六校第三次联考）自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联盟,“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高中学校学生自主招生报考的情况,得到如下结果:
①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟；②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟；③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟；④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟.
根据上述调查结果,下列结论错误的是（ ）
A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生
B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多
C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟
D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟
解析 设该校报考“北约”联盟,“华约”联盟,“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A,B,C,D,报考自主招生的总学生为U,则由题意,知A∩B＝∅,B⊆C,D∩C＝∅,∁UD＝B,∴A⊆D,B＝C,B∩D＝∅.选项A,B∩D＝∅,正确；选项B,B＝C,正确；选项C,A⊆D,正确,故选D.
【参考答案】D
14.如果函数f（x）在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有
≤f
.若y＝sinx在区间（0,π）上是凸函数,那么在△ABC中,sinA＋sinB＋sinC的最大值是________.
解析 由题意知,凸函数满足
≤f
又y＝sinx在区间（0,π）上是凸函数,
则sinA＋sinB＋sinC≤3sin
＝3sin
＝
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