人教A版高中数学必修2空间立体几何知识点归纳.docx
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人教A版高中数学必修2空间立体几何知识点归纳
第一章空间几何体知识点归纳
1、空间几何体的结构:
空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体
⑴常见的多面体有:
棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:
圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式:
—几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。
⑵棱柱:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图
投影:
中心投影平行投影
(1)定义:
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
(2)三视图中反应的长、宽、高的特点:
“长对正”,“高平齐”,“宽相等”
2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图).观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤:
1建立适当直角坐标系xOy(尽可能使更多的点在坐标轴上)
②建立斜坐标系xOy,使xOy=45°(或135°),注意它们确定的平面表示水平平面;
③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X’轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于丫‘轴,且长度变为原来的一半;
一般地,原图的面积是其直观图面积的2.2倍,即S原图=2、2S直观
4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积;S侧面2rI⑵圆锥侧面积:
S侧面rI
⑶圆台侧面积:
S侧面(rR)l
⑷体积公式:
⑸球的表面积和体积:
S球4R2,V球-R3.一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。
3
第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理1:
如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
公理1的作用:
判断直线是否在平面内
2、公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论1:
过直线的直线外一点有且只有一个平面
推论2:
过两条相交直线有且只有一个平面
推论3:
过两条平行直线有且只有一个平面
公理2及其推论的作用:
确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用:
(1)判定两个平面是否相交的依据;
(2)证明点共线、线共点等。
4、公理4:
也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行
5、定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
作用:
该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。
6、线线位置关系:
平行、相交、异面。
(1)没有任何公共点的两条直线平行
(2)有一个公共点的两条直线相交
(3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
7、线面位置关系:
直线在平面内、平行、相交
8、面面位置关系:
平行、相交。
9、线面平行:
(即直线与平面无任何公共点)
⑴判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
(只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)
a
b
a//b
证明两直线平行的主要方法是:
①三角形中位线定理:
三角形中位线平行并等于底边的一半;
2平行四边形的性质:
平行四边形两组对边分别平行;
3线面平行的性质:
如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线
⑤面面平行的性质:
如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;
⑵直线与平面平行的性质:
如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直
线和它们的交线平行;(上面的③)
10、面面平行:
(即两平面无任何公共点)
(1)判定定理:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
a,balbAaP,bP
(2)两平面平行的性质:
那么它们的交线平行;
apb
性质H:
平行于同一平面的两平面平行;
性质山:
夹在两平行平面间的平行线段相等;
性质W:
两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;
aP或
aP
a
a
11、线面垂直:
⑴定义:
如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。
m,n
12、面面垂直:
⑵判定:
一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
(只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)
⑶性质:
两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
证明两直线垂直和主要方法:
1利用勾股定理证明两相交直线垂直;
2利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直;
3利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直)
Im
I
I
Im
空间角及空间距离的计算
通常在两异
1.异面直线所成角:
使异面直线平移后相交形成的夹角
面直线中的一条上取一点,过该点作另一条直线平行线,
如图:
直线a与b异面,b//b,直线a与直线b的夹角为两异面直线a与b所成的角,异面直线所成角取值范围是(0,90]
2.斜线与平面成成的角:
斜线与它在平面上的射影成的角。
如图:
PA是平面的一条斜线,A为斜足,0为垂足,0A叫斜线PA在平面上射影,
PAO为线面角
3.
二面角:
从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角I
,二面角的大小指的
是二面角的平面角的大小。
二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直
如图:
在二面角-I-中,0棱上一点,0A,0B
且OAI,OBI,则AOB为二面角-I-的平面角
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:
①明确构成二面角两个半平面和棱;②明确二面角的平面角是哪个?
而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
(求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”)
5.点到平面的距离:
指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。
如图:
0为P在平面上的射影,
线段OP的长度为点P到平面的距离求法通常有:
定义法和等体积法
等体积法:
就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。
如图在三棱锥VABC
中有:
VsABC
VaSBCVbSACVcSAB