《92 一元一次不等式》教案导学案同步练习.docx

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《92一元一次不等式》教案导学案同步练习

《9．2　一元一次不等式》教案

第1课时　一元一次不等式的解法

【教学目标】

1．理解一元一次不等式的概念；（重点）

2．掌握一元一次不等式的解法．（重点、难点）

【教学过程】

一、情境导入

1．什么叫一元一次方程？

2．解一元一次方程的一般步骤是什么？

要注意什么？

3．如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？

二、合作探究

探究点一：

一元一次不等式的概念

【类型一】一元一次不等式的识别

下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　）

A．5x－2＞0B．－3＜2＋

C．6x－3y≤－2D．y2＋1＞2

解析：

选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两个未知数，选项D中未知数的次数是2，故选项B，C，D都不是一元一次不等式．故选A.

方法总结：

如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：

①含有一个未知数；②未知数的最高次数为1；③不等式的两边都是关于未知数的整式．

【类型二】根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围

已知－

x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值是________．

解析：

由－

x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式得2a－1＝1，则a＝1.故答案为1.

探究点二：

解一元一次不等式

【类型一】解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集

解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：

（1）2x－3＜

；

（2）

－

≤1.

解析：

先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．

解：

（1）去分母，得3（2x－3）＜x＋1，

去括号，得6x－9＜x＋1，

移项，合并同类项，得5x＜10，

系数化为1，得x＜2.

不等式的解集在数轴上表示如下：

（2）去分母，得2（2x－1）－（9x＋2）≤6，

去括号，得4x－2－9x－2≤6，

移项，得4x－9x≤6＋2＋2，

合并同类项，得－5x≤10，

系数化为1，得x≥－2.

不等式的解集在数轴上表示如下：

方法总结：

在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈．

【类型二】根据不等式的解集求待定系数

已知不等式x＋8＞4x＋m（m是常数）的解集是x＜3，求m的值．

解析：

先解不等式x＋8＞4x＋m，再列方程求解．

解：

因为x＋8＞4x＋m，所以x－4x＞m－8，所以－3x＞m－8，所以x＜－

（m－8）．

因为其解集为x＜3，

所以－

（m－8）＝3，解得m＝－1.

方法总结：

已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．

【类型三】求不等式的特殊解

y为何值时，代数式

的值不大于代数式

－

的值？

并求出满足条件的最大整数．

解析：

根据题意列出不等式

≤

－

，再求出解集，然后找出符合条件的最大整数．

解：

依题意，得

≤

－

，

去分母，得4（5y＋4）≤21－8（1－y），

去括号，得20y＋16≤21－8＋8y，

移项，得20y－8y≤21－8－16，

合并同类项，得12y≤－3，

把y的系数化为1，得y≤－

.

y≤－

在数轴上表示如下：

由图可知，满足条件的最大整数是－1.

方法总结：

求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．

【类型四】一元一次不等式与二元一次方程组的综合

已知关于x、y的方程组

的解满足不等式x＋y＜3，求实数a的取值范围．

解析：

先解方程组，求得x、y的值，再根据x＋y＜3解不等式即可．

解：

解方程组得

∵x＋y＜3，∴2a＋1＋2a－2＜3，

∴4a＜4，∴a＜1.

方法总结：

已知方程组，可先求出方程组的解，再把方程组的解代入不等式，求出字母系数的取值范围．

三、板书设计

1．一元一次不等式的概念

2．解一元一次不等式的基本步骤：

去分母

去括号

移项

合并同类项

系数化为1

【教学反思】

本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在两边都除以未知数的系数这一步时有所不同．如果这个系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变．这也是这节课学生容易出错的地方．教学时要大胆放手，不要怕学生出错，要通过学生犯的错误引起学生注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错

第2课时　一元一次不等式的应用

【教学目标】

1．会在实际问题中寻找数量关系；

2．会列一元一次不等式解决实际问题．（重点、难点）

【教学过程】

一、情境导入

如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？

二、合作探究

探究点：

一元一次不等式的应用

【类型一】商品销售问题

某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？

解析：

由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120×20%＝24（元）．若打x折，该商品获得的利润＝该商品的标价×

－进价，即该商品获得的利润＝180×

－120，列出不等式，解得x的值即可．

解：

设可以打x折出售此商品，由题意得

180×

－120≥120×20%，

解得x≥8.

答：

最多可以打8折出售此商品．

方法总结：

商品销售问题的基本关系是：

售价－进价＝利润．读懂题意列出不等关系式求解是解题关键．

【类型二】竞赛积分问题

某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分．小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？

解析：

设小明答对x道题，则答错或不答的题数为（25－x）道，根据得分要超过80分，列出不等关系式求解即可．

解：

设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为（25－x）道．根据他的得分要超过80分，得

4x－2（25－x）＞80，

解得x＞21

.

因为x应是整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题．

答：

小明至少要答对22道题．

方法总结：

竞赛积分问题的基本关系是：

得分－扣分＝最后得分．本题涉及不等式的整数解，取整数解时要注意关键词：

“至多”“至少”等．

【类型三】安全问题

在一次爆破中，用一条1m长的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s，引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600m以外（包括600m）的安全区域？

解析：

本题首先依题意可得出不等关系即引爆员所跑路程大于等于600米，然后列出不等式为

x≥600，解出不等式即可．

解：

设以每秒xm的速度能跑到600m以外（包括600m）的安全区域.0.5cm/s＝0.005m/s，

依题意可得

x≥600，

解得x≥3.

答：

引爆员点着导火索后，至少以每秒3m的速度才能跑到600m以外（包括600m）的安全区域．

方法总结：

题中的“至少”是建立不等式的关键词，也是列不等式的依据．

【类型四】分段计费问题

小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：

若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元．小明家每月用水量至少是多少？

解析：

当每月用水5立方米时，花费5×1.8＝9（元），则可知小明家每月用水超过5立方米．设每月用水x立方米，则超出（x－5）立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可．

解：

设小明家每月用水x立方米．

∵5×1.8＝9＜15，

∴小明家每月用水超过5立方米．

则超出（x－5）立方米，按每立方米2元收费，

列出不等式为5×1.8＋（x－5）×2≥15，

解得x≥8.

答：

小明家每月用水量至少是8立方米．

方法总结：

分段计费问题中的费用一般包括两个部分：

基本部分的费用和超出部分的费用，根据费用之间的关系建立不等式求解即可．

【类型五】调配问题

有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？

解析：

设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为（10－x）人．则种甲种蔬菜3x亩，乙种蔬菜2（10－x）亩．再列出不等式求解即可．

解：

设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为（10－x）人．

根据题意得0.5×3x＋0.8×2（10－x）≥15.6，

解得x≤4.

答：

最多只能安排4人种甲种蔬菜．

方法总结：

调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数．

【类型六】方案决策问题

为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．

A型

B型

价格（万元/台）

12

10

处理污水量（吨/月）

240

200

年消耗费（万元/台）

1

1

（1）该企业有几种购买方案？

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

解析：

（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10－x）台，列出不等式求解即可，x的值取整数；

（2）根据题表信息列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．

解：

（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10－x）台．由题意得

12x＋10（10－x）≤105，解得x≤2.5.

∵x取非负整数，∴x可取0，1，2.

有三种购买方案：

购A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台；

（2）由题意得240x＋200（10－x）≥2040，解得x≥1，

所以x为1或2.

当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102（万元）；

当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104（万元）．

为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．

方法总结：

此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较，找出最大或最小．

三、板书设计

应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：

―→

―→

【教学反思】

本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的应用题来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系

《9.2一元一次不等式》导学案

第1课时一元一次不等式的解法

【学习目标】：

1.了解一元一次不等式的概念，会解简单的一元一次不等式，提高运算能力.

2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，经历用数轴表示不等式解集的过程，体会数形结合思想.

3.激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣.

【重点】：

解一元一次不等式的步骤，把解集表示在数轴上.

【难点】：

正确运用不等式的性质3解一元一次不等式.

【自主学习】

一、知识链接

1.不等式的概念是什么？

2.不等式的性质有哪些？

3.解一元一次方程的步骤是怎样的？

二、新知预习

1.什么是一元一次不等式？

2.解不等式的理论依据是什么？

3.解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤有什么不同？

三、自学自测

1.不等式5-2x>0的解集是（）

A.x<

B.x>

C.x<

D.x<

【课堂探究】

要点探究

探究点1：

一元一次不等式的概念

请同学们观察下列不等式：

x-2<3；

1-3（x+1）>5；④x+1≤2x.

问题1：

上述不等式中各含有几个未知数？

未知数的次数都是几次？

问题2：

不等号两边的式子有什么特点？

问题3：

像这样的不等式叫一元一次不等式，你能依据一元一次方程的概念说出什么叫一元一次不等式吗？

典例精析

例1.已知

是关于x的一元一次不等式，则a的值是________．

探究点2：

解一元一次不等式

问题1：

解一元一次方程的步骤是什么？

问题2：

一元一次方程的解是唯一的吗？

一元一次不等式呢？

问题3：

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法有什么异同？

典例精析

例2.解下列一元一次不等式：

（1）2-5x<8-6x；

（2）

例3.解不等式12-6x≥2（1-2x），并把它的解集在数轴上表示出来.

例4.已知方程ax+12=0的解是x=3，求关于x不等式（a+2）x＞－6的解集，并在数轴上表示出来，其中正整数解有哪些？

方法总结：

求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．

针对训练

已知不等式x＋8＞4x＋m（m是常数）的解集是x＜3，求m.

方法总结：

已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．

二、课堂小结

一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的步骤：

一元一次不等式的解集及特殊解问题

【当堂检测】

1.解下列不等式：

（1）-5x≤10；

（2）4x-3<10x+7.

2.解下列不等式：

（1）3x-1>2（2-5x）；

（2）

3.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：

（1）4x-3<2x+7；

（2）

4.a≥1的最小正整数解是m,b≤8的最大正整数解是n,求关于x的不等式（m+n）x＞18的解集．

5.当x取什么值时，代数式

x+2的值大于或等于0？

并求出所有满足条件的正整数.

第2课时一元一次不等式的应用

【学习目标】：

1.会用一元一次不等式解决简单的实际问题，提高解决实际问题的能力.

2.通过独立思考及小组合作，感知方程与不等式的内在联系和方程都是刻画现实世界数量关系的重要模型.

3.激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣.

【重点】：

一元一次不等式在实际问题中的应用.

【难点】：

在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系.

【自主学习】

一、知识链接

1.一元一次不等式是怎样定义的？

2.简述一元一次不等式的解法（步骤）.

3.利用一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？

二、新知预习

1.“至少”的意思是什么？

用不等号怎样表示？

“至多”呢？

“不多于”“不少于”“超过”呢？

2.利用一元一次不等式解决实际问题时，题目中一般会出现什么样的字眼？

3.利用一元一次不等式解决实际问题的步骤是怎样的？

【课堂探究】

要点探究

探究点1：

一元一次不等式的应用

问题1：

小华打算在星期天与同学去登山，计划上午7点出发，到达山顶后休息2h，下午4点以前必须回到出发点.如果他们去时的平均速度是3km/h，回来时的平均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶（图中数字表示出发点到山顶的路程）？

问题中涉及的数量关系是.

问题2：

根据不等关系列出的不等式的解集一定是该实际问题的的解吗？

典例精析

例1.某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%.如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？

本题涉及的数量关系是.

例2.当一个人坐下时，不宜提举超过4.5kg的重物，以免受伤.小明坐在书桌前，桌上有两本各重1.2kg的画册和一批每本重0.4kg的记事本.如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本.问他最多只应搬动多少本记事本？

例3.小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：

若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？

例4.甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且给出了不同的优惠方案：

在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，顾客到哪家超市购物花费少？

二、课堂小结

一元一次不等式的应用

步骤：

实际问题→

根据题意列不等式→

解一元一次不等式→

根据实际问题找出符合条件的解集或整数解→

得出解决问题的答案

【课堂探究】

1.小明家的客厅长5m，宽4m．现在想购买边长为60cm的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？

2.一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分.在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？

3.某市打市内电话的收费标准是：

每次3min以内（含3min）0.22元，以后每分钟0.11元（不足1min部分按1min计）．小琴一天在家里给同学打了一次市内电话，所用电话费没超过0.5元．她最多打了几分钟的电话？

4.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．

（1）符合公司要求的购买方案有哪几种？

请说明理由.

（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？

5.【拓展题】某学校计划购买若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：

第一台按原报价收款，其余每台优惠25％；乙商场的优惠条件是：

每台优惠20％．学校经核算选择甲商场比较合算，你知道学校至少要买多少台电脑吗？

第九章不等式与不等式组《9.2一元一次不等式》同步练习

一、单选题（共15题；共30分）

1、下列各式中，是一元一次不等式的是（  ）

A、5+4＞8

B、2x－1

C、2x≤5

D、

－3x≥0

2、不等式23>7+5x的正整数解的个数是（ ）

A、1个

B、无数个

C、3个

D、4个

3、某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）

A、6折

B、7折

C、8折

D、9折

4、点（-7,-2m+1）在第三象限，则m的取值范围是（  ）

A、

B、

C、

D、

5、不等式2x-5＜0的解集是（  ）

A、x＜

B、x≤

C、x＞

D、x≥

6、不等式

＜x的解集是 （  ）

A、x＜-2

B、x＜-1

C、x＜0

D、x＞2

7、足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分，负一场得0分，某足球队最后的积分是17分，他获胜的场次最多是（　　）

A、3场

B、4场

C、5场

D、6场

8、若代数式4x-

的值不大于3x+5的值，则x的最大整数值是（  ）

A、4

B、6

C、7

D、8

9、不等式

的自然数解的个数为 （   ）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

10、不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是（  ）

A、

B、

C、

D、

11、当x＝3时，下列不等式成立的是（  ）

A、x＋3＞5

B、x＋3＞6

C、x＋3＞7

D、x＋3＞8

12、不等式2x﹣6＞0的解集是（　　）

A、x＞1

B、x＜﹣3

C、x＞3

D、x＜3

13、若不等式组

恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　）

A、﹣1≤m＜0

B、﹣1＜m≤0

C、﹣1≤m≤0

D、﹣1＜m＜0

14、不等式2x+1≤5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）

A、

B、

C、

D、

15、“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ）

A、2x﹣3≤8

B、2x﹣3≥8

C、2x﹣3＜8

D、2x﹣3＞8

二、填空题（共5题；共5分）

16、不等式

的最小整数解是________．

17、不等式

的解集是________．

18、不等式4x－3＜2x+1的解集为 ________.

19、不等式

的解集是________ ．

20、不等式13﹣3x＞0的正整数解是________．

三、计算题（共2题；共10分）

21、解不等式：

3x﹣5≤2（x+2）

22、解方程组、不等式（组）

（1）

（2）

（3）

（4）

（在数轴上表示解集并写出符合的整数解）

四、解答题（共2题；共15分）

23、已知

和

都是关于x、y的方程y=kx+b的解．

（1）求k、b的值

（2）若不等式3+2x＞m+3x的最大整数解是k，求m的取值范围．

24、铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：

2，则该行李箱的长的最大值为多少厘米？

五、综合题（共1题；共10分）

25、解方程组和不等式

（1）解方程组

（2）解不等式5x+15＞4x+13并在数轴上表示它的解集．

答案解析部分

一、单选题

1、

、【答案】C

【考点】一元一次不等式的定义

【解析】【分析】根据一元一次不等式的定义进行选择即可。

【解答】A、不含有未知数，错误；

B、不是不等式，错误；

C、符合一元一次不等式的定义，正确；

D、分母含有未知数，不是一元一次不等式，错误。

故选C。

【点评】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：

①不等式的两边都是整式；

②只含1个未知数；

③未知数的最高次数为1次。

2、

、【答案】C

【考点】一元一次不等式的整数解

【解析】先求出不等式的解集，再根据解集确定其整数解。

【解答】解不等式21-5x＞4的解集为x＜3.4

因而正整数解是1，2，3共3个。

故选C．

3、

【答案】B

【考点】一元一次不等式的应用

【解析】【解答】设可打x折，则有1200×

-800≥800×5%，

解得x≥7．

即最多打7折．

故选：

B．

【分析】本题可设打x折，根据保持利润率不低于5%，可列出不等式：

1200×x10-800≥800×5%，解出x的值即可得出打的折数．本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．

4、

【答案】D

【考点】一元一次不等式的应用，坐标确定位置

【解析】【分析】点在第三象限的条件是：

横坐标是负数，纵坐标是负数，可得-2m+1＜0，求不等式的解即可．

【解答】∵点在第三象限，

∴点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即-2m+1＜0，解得

．故选D．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

5、

【答案】A

【考点】解一元一次不等式

【解析】【分析】先移项，再把x的系数化为1即可．

【解