通用版高考数学二轮复习第一部分专题一平面向量三角函数与解三角形教学案文.docx

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通用版高考数学二轮复习第一部分专题一平面向量三角函数与解三角形教学案文

专题一平面向量、三角函数与解三角形

[研高考·明考点]

年份

卷别

小题考查

大题考查

2017

卷Ⅰ

T13·向量的垂直、向量的坐标运算

————

T15·同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式

T11·利用正弦定理解三角形

卷Ⅱ

T4·向量的数量积、向量的垂直

————

T3、T13·三角函数的性质

T16·利用正、余弦定理解三角形

卷Ⅲ

T13·向量的数量积、向量的垂直

———

T4·同角三角函数的基本关系、二倍角公式

T6·诱导公式、三角函数的性质

T15·利用正弦定理解三角形

2016

卷Ⅰ

T13·向量的坐标运算、向量垂直的应用

———

T6·三角函数的图象与变换及性质

T14·同角三角函数基本关系式、诱导公式

T4·利用余弦定理解三角形

卷Ⅱ

T13·向量共线的坐标运算公式的应用

———

T3·已知三角函数图象求解析式

T11·二倍角公式、诱导公式及三角函数的最值问题

T15·同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式及利用正弦定理解三角形

卷Ⅲ

T3·向量的夹角问题

———

T14·三角函数的图象与变换

T6·三角恒等变换的求值问题

T9·解三角形、三角形面积公式

2015

卷Ⅰ

T2·平面向量的线性运算

T17·正、余弦定理及三角形面积公式

T8·三角函数的图象与性质

卷Ⅱ

T4·平面向量的数量积运算

T17·正弦定理及三角形内角和定理

[析考情·明重点]

小题考情分析

大题考情分析

常考点

1.平面向量的线性运算（3年3考）

2.平面向量的数量积及应用（3年6考）

3.三角函数的图象与性质及应用（3年7考）

4.三角恒等变换与求值（3年5考）

5.利用正、余弦定理解三角形（3年6考）

常考点

解三角形是此部分在高考解答题中考查时的热点，题型主要有：

1.三角形的基本量的求解问题

2.与三角形面积有关的问题

3.以平面几何为载体的解三角形问题

偶考点

正、余弦定理的实际应用

偶考点

1.三角函数的综合问题

2.平面向量与解三角形、三角函数的综合问题

第一讲小题考法——平面向量

考点

（一）

主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用.

平面向量的线性运算

[典例感悟]

[典例]　

（1）（2017·合肥质检）已知向量a＝（1,3），b＝（－2，k），且（a＋2b）∥（3a－b），则实数k＝（　　）

A．4B．－5C．6D．－6

（2）（2018届高三·湘中名校联考）若点P是△ABC的外心，且＋＋λ＝0，∠ACB＝120°，则实数λ的值为（　　）

A.B．－C．－1D．1

[解析]　

（1）a＋2b＝（－3,3＋2k），3a－b＝（5,9－k），由题意可得－3（9－k）＝5（3＋2k），解得k＝－6.

（2）设AB的中点为D，则＋＝2.因为＋＋λ＝0，所以2＋λ＝0，所以向量，共线．又P是△ABC的外心，所以PA＝PB，所以PD⊥AB，所以CD⊥AB.因为∠ACB＝120°，所以∠APB＝120°，所以四边形APBC是菱形，从而＋＝2＝，所以2＋λ＝＋λ＝0，所以λ＝－1，故选C.

[答案]　

（1）D　

（2）C

[方法技巧]

解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法

（1）充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答．

（2）如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决．

[演练冲关]

1．（2017·南昌调研）设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使＋＝0成立的是（　　）

A．a＝2bB．a∥b

C．a＝－bD．a⊥b

解析：

选C　“＋＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，结合各选项可知选C.

2．（2017·福州模拟）已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

选B　由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为边BC的中点，则＝＝×（＋）＝（＋），所以＋＝3，则m＝3，故选B.

3．（2017·沈阳质检）已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝（　　）

A．－3B．3

C．－4D．4

解析：

选A　建立如图所示的平面直角坐标系xAy，设网格中小正方形的边长为1，则＝（2，－2），＝（1,2），＝（1,0），由题意可知（2，－2）＝λ（1,2）＋μ（1，0），即解得所以λμ＝－3.故选A.

考点

（二）

主要考查数量积的运算、夹角以及模的计算问题或求参数的值.

平面向量的数量积及应用

[典例感悟]

[典例]　

（1）（2018届高三·广西三市联考）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·（2a－b）＝（　　）

A．2B．－1C．－6D．－18

（2）（2017·全国卷Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·（＋）的最小值是（　　）

A．－2B．－

C．－D．－1

（3）（2018届高三·湖北七市（州）联考）平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.

[解析]　

（1）∵|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin＝－，∴a·b＝－3，则b·（2a－b）＝2a·b－b2＝－18.

（2）如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，），B（－1,0），C（1,0），设P（x，y），则＝（－x,－y），＝（－1－x，－y），＝（1－x，－y），所以·（＋）＝（－x，－y）·（－2x，－2y）＝2x2＋22－，故当x＝0，y＝时，·（＋）取得最小值，为－.

（3）∵平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，∴它们两两所成的角为120°，∴|a＋b＋c|2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|·cos120°＋2|b||c|cos120°＋2|a||c|cos120°＝22＋22＋12＋2×2×2×＋2×2×1×＋2×2×1×＝1，故|a＋b＋c|＝1.

[答案]　

（1）D　

（2）B　（3）1

[方法技巧]

解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法

（1）选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．

（2）若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．

[演练冲关]

1．（2017·云南调研）平面向量a与b的夹角为45°，a＝（1,1），|b|＝2，则|3a＋b|＝（　　）

A．13＋6B．2

C.D.

解析：

选D　依题意得|a|＝，a·b＝×2×cos45°＝2，则|3a＋b|＝＝＝＝，故选D.

2．（2018届高三·湖南五市十校联考）△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则向量a，b的夹角为（　　）

A．30°B．60°

C．120°D．150°

解析：

选C　＝－＝2a＋b－2a＝b，则向量a，b的夹角即为向量与的夹角，故向量a，b的夹角为120°.

3．（2017·天津高考）在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－（λ∈R），且·＝－4，则λ的值为________．

解析：

法一：

＝＋＝＋

＝＋（－）＝＋.

又·＝3×2×＝3，

所以·＝·（－＋λ）

＝－2＋·＋λ2

＝－3＋3＋λ×4＝λ－5＝－4，

解得λ＝.

法二：

以点A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（图略），不妨假设点C在第一象限，

则A（0,0），B（3,0），C（1，）．

由＝2，得D，

由＝λ－，得E（λ－3，λ），

则·＝·（λ－3，λ）＝（λ－3）＋×λ＝λ－5＝－4，解得λ＝.

答案：

[必备知能·自主补缺]

（一）主干知识要记牢

1．平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

（1）a∥b⇔a＝λb（b≠0）⇔x1y2－x2y1＝0.

（2）a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

2．平面向量的性质

（1）若a＝（x，y），则|a|＝＝.

（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则||＝.

（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.

（4）|a·b|≤|a|·|b|.

（二）二级结论要用好

1．三点共线的判定

（1）A，B，C三点共线⇔，共线．

（2）向量，，中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.

[针对练1]　在▱ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n（m，n∈R），则＝________.

解析：

如图，＝2，＝m＋n，∴＝＋＝m＋（2n＋1），

∵F，E，B三点共线，∴m＋2n＋1＝1，∴＝－2.

答案：

－2

2．中点坐标和三角形的重心坐标

（1）设P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段P1P2的中点P的坐标为，.

（2）三角形的重心坐标公式：

设△ABC的三个顶点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心坐标是G.

3．三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则

（1）O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.

（2）O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.

（3）O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.

（4）O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.

（三）易错易混要明了

1．要特别注意零向量带来的问题：

0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0（λ∈R），而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．

2．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，即消去律不成立；（a·b）·c与a·（b·c）不一定相等，（a·b）·c与c平行，而a·（b·c）与a平行．

3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．

[针对练2]　已知向量a＝（－2，－1），b＝（λ，1），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．

解析：

依题意，当a与b的夹角为钝角时，a·b＝－2λ－1<0，解得λ>－.而当a与b共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a＝－b，a与b反向共线，此时a与b的夹角为π，不是钝角，因此，当a与b的夹角为钝角时，λ的取值范围是∪（2，＋∞）．

答案：

∪（2，＋∞）

[课时跟踪检测]

A组——12＋4提速练

一、选择题

1．（2017·沈阳质检）已知平面向量a＝（3,4），b＝，若a∥b，则实数x为（　　）

A．－B.

C.D．－

解析：

选C　∵a∥b，∴3×＝4x，解得x＝，故选C.

2．已知向量a＝（1,2），b＝（2，－3）．若向量c满足c⊥（a＋b），且b∥（a－c），则c＝（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　设c＝（x，y），由题可得a＋b＝（3，－1），a－c＝（1－x,2－y）．因为c⊥（a＋b），b∥（a－c），所以解得故c＝.

3．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝（1,2），b＝（m,3m－2），且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb（λ，μ为实数），则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，2）B．（2，＋∞）

C．（－∞，＋∞）D．（－∞，2）∪（2，＋∞）

解析：

选D　由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.

4．（2017·西安模拟）已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝（　　）

A．5B．4

C．3D．1

解析：

选B　因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，即9＋2×3×|b|cos120°＋|b|2＝13，得|b|＝4.

5．（2018届高三·西安八校联考）已知点A（－1,1），B（1,2），C（－2，－1），D（3,4），则向量在方向上的投影是（　　）

A.B．－

C．3D．－3

解析：

选C　依题意得，＝（2,1），＝（5,5），·＝（2,1）·（5,5）＝15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝3.

6．已知A，B，C三点不共线，且点O满足＋＋＝0，则下列结论正确的是（　　）

A．＝＋B．＝＋

C．＝－D．＝－－

解析：

选D　∵＋＋＝0，∴O为△ABC的重心，∴＝－×（＋）＝－（＋）＝－（＋＋）＝－－，故选D.

7．已知向量a＝（，1），b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝（　　）

A.B.

C.D．（1,0）

解析：

选B　设b＝（cosα，sinα）（α∈（0，π）∪（π，2π）），则a·b＝（，1）·（cosα，sinα）＝cosα＋sinα＝2sin＋α＝，得α＝，故b＝.

8．（2018届高三·广东五校联考）已知向量a＝（λ，1），b＝（λ＋2,1），若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为（　　）

A．－1B．2

C．1D．－2

解析：

选A　由|a＋b|＝|a－b|可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，即a·b＝（λ，1）·（λ＋2,1）＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.

9．（2017·惠州调研）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（－）·（＋－2）＝0，则△ABC的形状为（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．正三角形D．等腰直角三角形

解析：

选A　（－）·（＋－2）＝0，即·（＋）＝0，∵－＝，∴（－）·（＋）＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形，故选A.

10．（2017·日照模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，则·＝（　　）

A．0B．4

C．8D．－4

解析：

选B　因为AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，所以AD＝4sin30°＝2，所以·＝·（＋）＝·＋·＝·＝2×4×cos60°＝4，故选B.

11．（2017·全国卷Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为（　　）

A．3B．2

C.D．2

解析：

选A　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（0,0），B（1,0），C（1,2），D（0,2），可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：

（x－1）2＋（y－2）2＝.

因为P在圆C上，所以P.

又＝（1,0），＝（0,2），＝λ＋μ＝（λ，2μ），

所以

则λ＋μ＝2＋cosθ＋sinθ＝2＋sin（θ＋φ）≤3（其中tanφ＝2），当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.

12．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝，BC＝3，则·的值为（　　）

A.B.

C．2D．3

解析：

选A　取BC的中点为D，连接AD，OD，则OD⊥BC，＝（＋），＝－，所以·＝（＋）·＝·＋·＝·＝（＋）·（－）＝（2－2）＝×（）2－22＝.故选A.

二、填空题

13．（2017·山东高考）已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

解析：

因为e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，所以cos60°＝＝＝，

解得λ＝.

答案：

14．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，且m，n夹角的余弦值为，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为________．

解析：

∵n⊥（tm＋n），∴n·（tm＋n）＝0，即tm·n＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.

答案：

－4

15．（2017·石家庄质检）已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ（λ，μ∈R），且·＝0，则的值为________．

解析：

根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0,0），B（0,2），C（1,0），所以＝（0,2），＝（1,0），＝（1，－2）．设M（x，y），则＝（x，y），所以·＝（x，y）·（1，－2）＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即（x，y）＝λ（0,2）＋μ（1,0）＝（μ，2λ），所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.

答案：

16．（2017·北京高考）已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为（－2,0），O为原点，则·的最大值为________．

解析：

法一：

由题意知，＝（2,0），令P（cosα，sinα），则＝（cosα＋2，sinα），·＝（2,0）·（cosα＋2，sinα）＝2cosα＋4≤6，当且仅当cosα＝1，即α＝0，P（1,0）时等号成立，故·的最大值为6.

法二：

由题意知，＝（2,0），令P（x，y），－1≤x≤1，则·＝（2,0）·（x＋2，y）＝2x＋4≤6，当且仅当x＝1，P（1,0）时等号成立，故·的最大值为6.

答案：

6

B组——能力小题保分练

1．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为（　　）

A．－B.

C.D.

解析：

选B　如图所示，＝＋.

又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，

所以＝＋.

又＝－，

则·＝·（－）

＝·－2＋2－·

＝2－2－·＝||2－||2－×||×||×cos∠BAC.

又||＝||＝1，∠BAC＝60°，

故·＝－－×1×1×＝.故选B.

2．（2017·长春质检）已知a，b是单位向量，且a·b＝－.若平面向量p满足p·a＝p·b＝，则|p|＝（　　）

A.B．1C.D．2

解析：

选B　由题意，不妨设a＝（1,0），b＝，p＝（x，y），∵p·a＝p·b＝，∴

解得∴|p|＝＝1，故选B.

3．（2017·浙江高考）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则（　　）

A．I1

B．I1

C．I3

D．I2

解析：

选C　如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO

||cos∠AOB<0，∴I1

同理得，I2>I3，作AG⊥BD于点G，又AB＝AD，

∴OB

∴||·||<||·||，

而cos∠AOB＝cos∠COD<0，

∴·>·，即I1>I3，

∴I3

4．（2018届高三·湖北八校联考）如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M为BC边的中点，则·的值为（　　）

A．2B．12

C．6D．5

解析：

选D　如图，分别取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，可知OD⊥AB，OE⊥AC，∵M是BC边的中点，∴＝（＋），∴·＝（＋）·＝·＋·＝·＋·.由数量积的定义可得·AO―→＝||||·cos〈，〉，而||cos〈，〉＝||，故·＝||2＝4，同理可得·＝||2＝1，故·＋·＝5，即·＝5，故选D.

5．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若＝x＋（1－x），则x的取值范围是________．

解析：

依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ.又＝x＋（1－x），且，不共线，于是有x＝1－λ，由λ∈知，x∈，即x的取值范围是.

答案：

6．（2017·江苏高考）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n（m，n∈R），则m＋n＝________.

解析：

法一：

如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（1，0），

由tanα＝7，α∈，

得sinα＝，cosα＝，

设C（xC，yC），B（xB，yB），

则xC＝||cosα＝×＝，

yC＝||sinα＝×＝，即C.

又cos（α＋45°）＝×－×＝－，

sin（α＋45°）＝×＋×＝，

则xB＝||cos（α＋45°）＝－，

yB＝||sin（α＋45°）＝，

即B.

由＝m＋n，可得

解得所以m＋n＝＋＝3.

法二：

由tanα＝7，α∈，

得sinα＝，cosα＝，

则cos（α＋45°）＝×－×＝－，

所以·＝1××＝1，

·＝1××＝，

·＝1×1×＝－，

由＝m＋n，

得·＝m2＋n·，即＝m－n.①

同理可得·＝m·＋n2，

即1＝－m＋n.②

①＋②得m＋n＝，

即m＋n＝3.

答案：

3

第二讲小题考法——三角函数的图象与性质

考点

（一）

主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式或参数.

三角函数的图象及应用

[典例感悟]

[典例]　

（1）（2017·合肥质检）要想得到函数y＝sin2x＋1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（　　）

A．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

（2）（2017·贵阳检测）函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则（　　）

A．ω＝2，φ＝B．ω＝2，φ＝

C．ω＝4，φ＝D．ω＝2，φ＝－

（3）（2017·沈阳模拟）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0,0<φ<π）的部分图象如图所示，则f的值为________．

[解析]　

（1）先将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y＝sin2x＋1的图象，故选B.

（2）依题意得，T＝＝π，ω＝2，则f（x）＝sin（2x＋φ），其图象向左平移个单位长度得到函数f＝sin的图象关于y轴对称，于是有＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.

又|φ|<，因此φ＝－，故选D.

（3）由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝时，函数f（x）取得最大值，∴2×＋φ＝＋2kπ（k∈Z），∴φ＝＋2kπ（k∈Z），∵0<φ<π，∴φ＝，∴f（x）＝2sin，则f＝2sin＝2cos＝.

[答案]　

（1）B　

（2）D　（3）

[方法技巧]

1．函数表达式y＝Asin（ωx＋φ）＋B的确定方法