有理数的概念数轴绝对值.doc

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有理数概念数轴绝对值

一、正负数，有理数定义，有理数分类

〖知识回顾〗

1、正数与负数

（1）正数：

像3，2，＋0.5这样大于0的数叫做。

（2）负数：

像－3，－2，－155这样在正数前面加上负号“－”的数叫做。

（3）0既不是也不是，0是正数与负数的。

0的意义已不仅是表示“没有”，如0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。

（4）在同一问题中，分别用正数和负数表示的量具有的意义。

（5）对于正数与负数，不能简单理解为带“＋”就是正数，带“－”的就是负数，如－a，当a＝0时，－a＝，当a表示负数时－a是，只有当a是正数时－a才是。

2、有理数的定义

、、统称为整数。

如：

101，0，－10.正分数和负分数统称为，如：

0.3，，－3.1。

整数和分数统称有理数。

有理数也可以分为正数、零、负数，正数又分为、。

3、有理数分类

有理数

正数

负数

有理数

正分数

负分数

〖典型例题〗

例1、判断：

（边读题边判断边讲解）

（1）前面带有“－”的数是负数（）

（2）在有理数中‘0的意义仅仅表示没有（）

（3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数（）

例2、填空：

（将题抄写在黑板上）

-4.5，3.14，-2，+43，，0.618，，0，-0.212，

负数：

个；分数：

个；正分数：

个；负整数：

个；非正整数：

个；非负整数：

个；

例3、

（1）在知识竞赛中，如果用＋10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？

（2）某人转动转盘，如果用＋5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？

（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？

〖随堂练习〗

1、判断

（1）存在既不是正数，也不是负数的数（　　）

（2）a是正数（　　）（3）－a是正数（　　）

（4）a和－a一定有一个表示负数（　　）（5）a和－a表示一对相反数（　　）

2、将下列各数分别填入相应的大括号里：

-3.5，3.14，-2，+43，，0.618，，0，-0.202

正数：

个；整数：

个；负分数：

个；正整数：

个；非正整数：

个；非负整数：

个；

3、

（1）如果节约20千瓦·时记作＋20千瓦·时，那么浪费10千瓦·时电记作什么？

（2）如果－20.50元表示亏本20.50元，那么＋100.57元表示什么？

（3）如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示什么？

二、数轴

〖知识回顾〗

一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：

（1）在直线上取一个点表示0，这个点叫做原点，通常情况下原点的选取是任意的；

（2）通常规定直线上从原点（或向上）为正方向，从原点（或向下）为负方向；

（3）选取适当的长度为，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示－1，－2，－3，…

〖典型例题〗

例1、数轴上的点（2道题共用一条数轴，后面的在前面的基础上变化而来）

（1）在数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB的长度为。

（2）在数轴上，到表示-5的点的距离为6的点所表示的数是。

〖随堂练习〗

1、如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD = 6，点A对应的数为-1，则点B所对应的数为．

2、在数轴上点P表示的数是2，那么在同一数轴上与点P相距5个单位的点表示的数是。

3、点A为数轴上表示-2的动点，当A点沿数轴移动4个单位长度到B点时，点B所表示的实数为。

4、一个点从数轴的原点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到达的终点是表示数____________的点。

三、相反数，绝对值，倒数

〖知识回顾〗

1、相反数

几何定义：

数轴上表示相反数的两个点分布在原点两旁且到原点的，这两个点关于对称。

代数定义：

只有不同的两个数叫做互为相反数。

（1）在任意一个数前面加上“”号，新的数就是原数的相反数。

如－（－3）＝3，－（＋1.6）＝－1.6。

数a的相反数是，0的相反数是。

相反数是它本身的数是。

（2）a,b互为相反数或或

2、绝对值

（a＞0）

（a＝0）

（a＜0）

几何定义：

一般地，数轴上表示数a的点与叫做数a的绝对值，记作

（a≥0）

（a≤0）

代数定义：

∣a∣=或∣a∣=

注：

非负数的绝对值等于它的，负数的绝对值等于它的。

3、倒数

定义：

的两个数互为倒数。

若ab＝1，则a,b互为倒数。

如：

－3与-1∕3互为倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1.

特别提示：

倒数和相反数的区别

（1）符号上不同：

互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的两个数符号相反（零除外）；

（2）和、积不同：

互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1；

（3）零的问题：

零的相反数是零；零没有倒数。

〖典型例题〗

1、－｛＋〖－（＋6.6）〗｝＝。

2、（2009年福州）2010的相反数是。

3、若a－2的相反数是5，则a的值为____．

4、求下列各数的绝对值

（1）－38；

（2）3c（c＞0）；（3）m－2（m＜2）；（4）m-n（m＜n）

5、求下面每个数的倒数

（1）－38；

（2）－0.25；（3）-3.5；（4）0；（5）1，-1；

6、判断

（1）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身（）

（2）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（）

（3）|a|一定是正数（）

7、。

（b≠0）

〖随堂练习〗

1、判断（边读边判断边讲解）

（1）两个有理数，绝对值小的离原点近（）

（2）有理数的绝对值一定是正数（）

（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等（）（4）|a|=－a，则a一定是非正数（）

（5）若|a|＝|b|，则a＝b；（　）（6）；（　　）

2、求下列各数的绝对值（由数到字母再到式子逐个演变去绝对值符号）

（1）0.15

（2）a（a＜0）（3）a－2（a＜2）（4）a-b（a＞b）

3、若，则的值是.

4、（2010巴中）-3∕2的倒数的绝对值 。

5、如果-2∕3的相反数恰好是有理数a的绝对值，那么a的值是。

四、有理数大小比较

〖知识回顾〗

在数轴上表示有理数，它们从左向右的顺序，就是从小到大的顺序，即小于。

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于；

（2）两个负数，绝对值大的。

〖典型例题〗

例1、比较下列每组数的大小：

（1）-2和+6；

（2）0和-1.8；（3）-和-4；

例2、指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数，并用“＜”将它们连接起来。

〖随堂练习〗

1、比较下列每组数的大小：

（1）－10，－7；

（2）3.8，－4.1，－3.9；（3）－，－；（4）－和－；

2、在数轴上把下列各数的相反数表示出来，并比较它们的大小。

7，－，－3.5，0，

五、经典例题

范例1．

（1）最大的负整数是；最小的正整数是；

（2）既不是整数，也不是正数的有理数是；

（3）所有的小数都能化成分数吗？

。

[教师总结知识点]有限小数和循环小数可以化为分数，他们是有理数．

范例2

（1）已知A在数轴上表示－2的点，在数轴上标出与点A的距离是2个长度单位的点，并读出这样的点所表示的数。

（2）已知A在数轴上表示－2的点，在数轴上标出与点A的距离是3个长度单位的点，并读出这样的点所表示的数。

范例3判断下列直线[图4-2

（1）

（2）（3）]是否是数轴？

（1）

-2-1012

（2）0

（3）

12

图4-2

（1）

范例4若的相反数是－8，则的相反数是多少？

范例5若一个数与这个数的相反数的差为2，那么这个数是多少呢?

范例6已知以a<0，计算l+2a+∣1－2a∣的值．

范例7已知|2x＋5|＋|x－y|＝0，试求x,y的值．

范例8如果a≠0,则有可能取什么样的值呢？

[教师总结知识点]一个非零数和它的绝对值的商为1或者－1

范例9把下列各数，按从小到大的次序，用“＜”号连接起来：

＋2，－2，＋3，－3，0，＋，－．

范例10．比较－和－0.28的大小；

分折：

比较两个负数的大小，可先比较这两个负数的绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”下结论．

解　（１）方法一：

∣－∣＝＝，　　∣－0.28∣＝＝＝．

∵＞，　∴－＜－0.28．

方法二：

∣－∣＝＝，　　∣－0.28∣＝＝．

∵＞，　　∴－＜－0.28．

方法三：

∣－∣＝＝0．281…,∣－0.28∣＝0.28．

∵0.281…＞0.28,

∴－＜－0.28．

范例11．已知：

|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，求a+b的值．．

范例12．

（1）已知：

|x|=x，求x的取值范围；

（2）已知，求x的取值范围．

范例13．已知三个有理数、、，是的相反数，是的倒数，比较和的大小？

并简要说明理由．

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