集合的概念以及表示讲义教案.docx

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集合的概念以及表示讲义教案

1．1　集合的概念

第1课时　集合的概念

1．元素与集合的相关概念

相关概念

表示方法

元素

把研究对象统称为元素

常用小写拉丁字母a，b，c，…表示

集合

把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集

常用大写拉丁字母A，B，C，…表示

集合

相等

只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的

若集合A与集合B相等，则表示为A＝B

2.集合中元素的特性：

确定性、互异性、无序性．

3．元素与集合的关系

（1）属于

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

（2）不属于

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.

4．常见的数集及记法

数集

非负整

数集（自

然数集）

正整

数集

整数集

有理

数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

1．下列给出的对象中，能组成集合的是（　　）

A．著名的科学家B．很大的数

C．较瘦的人D．小于3的整数

D　解析：

“著名的科学家”和“较瘦的人”无明确的标准，对于某人是否“著名”或“较瘦”无法客观地判断，因此“著名的科学家”和“较瘦的人”不能组成集合；“很大的数”也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整数，能够判定是否小于3，有明确的标准，故D能组成一个集合．

2．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

C　解析：

因为x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．

3．已知集合S中的三个元素a，b，c分别是△ABC的三条边长，则△ABC一定不是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等腰三角形

D　解析：

由集合中元素的互异性知，a，b，c两两不相等，故△ABC一定不是等腰三角形．

4．用符号∈或∉填空：

（其中A表示由所有质数组成的集合）

（1）1____A，2____A，3____A；

（2）____Z，____R，____N.

（1）∉　∈　∈　

（2）∉　∈　∈　

解析：

（1）由2，3为质数，1不是质数，得1∉A，2∈A，3∈A.

（2）由不是整数，是实数，是自然数，得∉Z，∈R，∈N.

5．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a的值为________．

0或1　解析：

因为a∈A且3a∈A，

所以a<6且3a<6，所以a<2.

又因为a是自然数，所以a＝0或1.

【例1】现有以下说法：

①接近于0的数的全体构成一个集合；

②正方体的全体构成一个集合；

③未来世界的高科技产品构成一个集合；

④不大于3的所有自然数构成一个集合．

其中正确的是（　　）

A．①②B．②③

C．③④D．②④

D　解析：

①与③标准不明确，不满足确定性，不能构成集合．②与④中的对象都是确定的，而且都是不同的，能构成集合．故选D.

【例2】2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？

并说明你的理由．

（1）你所在班级中全体同学；

（2）班级中比较高的同学；

（3）班级中身高超过178cm的同学；

（4）班级中比较胖的同学；

（5）班级中体重超过75kg的同学；

（6）学习成绩比较好的同学；

（7）总分前五名的同学．

解：

（1）班级中全体同学是确定的，可以构成一个集合；

（2）因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，不能构成一个集合；

（3）“身高超过178cm”是确定的，可以构成一个集合；

（4）“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，不能构成一个集合；

（5）“体重超过75kg”是确定的，可以构成一个集合；

（6）“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，不能构成一个集合；

（7）“总分前五名”是确定的，可以构成一个集合．

一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an（a1，a2，…，an均不相同）能否构成集合的过程为：

对于以下说法：

①绝对值非常小的全体实数构成一个集合；

②长方体的全体构成一个集合；

③全体无实数根的一元二次方程构成一个集合；

④0，0.5，，组成的集合含有四个元素．

其中正确的是（　　）

A．①②④B．②③

C．③④D．②④

B　解析：

①中的元素不能确定，④中的集合含有3个元素，②③中的元素是确定的，所以②③能构成集合．

【例3】下列所给关系正确的个数是（　　）

①π∈R；

②∉Q；

③0∈Z；

④|－1|∉N*.

A．1B．2

C．3D．4

C　解析：

根据各个数集的含义可知，①②③正确，④不正确．

【例4】我们在初中学习过一元二次方程及其解法．设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合．

（1）0是否是集合A中的元素？

（2）若－5∈A，求实数a的值；

（3）若1∉A，求实数a的取值范围．

解：

（1）将x＝0代入方程有02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素．

（2）若－5∈A，则有（－5）2－（－5）a－5＝0，

解得a＝－4.

（3）若1∉A，则12－a×1－5≠0，

解得a≠－4.

判断元素和集合关系的两种方法

（1）直接法

①使用前提：

集合中的元素是直接给出的．

②判断方法：

首先明确集合是由哪些元素构成的，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．

（2）推理法

①使用前提：

对于某些不便直接表示的集合．

②判断方法：

首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．

提醒：

对常见数集的记忆要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，记忆准确，并且书写要规范．

已知集合A是由形如m＋n（其中m，n∈Z）的数组成的，判断是不是集合A中的元素．

解：

因为＝2＋，此时m＝2，n＝1，满足集合A中数的构成形式，所以是集合A中的元素.

探究题1　已知集合A由元素a－3，2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．

解：

因为－3∈A，A＝{a－3，2a－1，a2－4}，

所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.

若a－3＝－3，则a＝0，

此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．

若2a－1＝－3，则a＝－1，

此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．

若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1（舍去），

当a＝1时，集合A＝{－2，1，－3}，符合题意．

综上可知，a＝0或a＝1.

探究题2　设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1且1∉A.

（1）若2∈A，则集合A中至少还有几个元素？

求出这几个元素．

（2）集合A中能否只含有一个元素？

请说明理由．

（3）若a∈A，证明：

1－∈A.

（1）解：

因为2∈A，

所以＝＝－1∈A；

所以＝＝∈A；

所以＝＝2∈A.

因此，集合A中至少还有两个元素－1和.

（2）解：

不能．如果集合A中只含有一个元素，则a＝，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，集合A中不可能只含有一个元素．

（3）证明：

a∈A⇒∈A⇒∈A.

即＝∈A，故1－∈A.

利用集合元素互异性求参数的策略及注意点

（1）策略：

根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性进行检验．

（2）注意点：

利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．

提醒：

解答此类问题易出现忽视互异性而产生增根的情形．

1．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的值可以是（　　）

A．1B．－2

C．6D．2

C　解析：

A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等．将选项A中1代入得1，1，4知不符合要求；将B中－2代入得4，4，4知不符合要求；将C中6代入得36，－4，4知满足集合中元素的互异性；将D中2代入得4，0，4知不符合要求．

2．由实数t，|t|，t2，－t，t3所构成的集合M中最多含有________个元素．

4　解析：

由实数t，|t|，t2，－t，t3所构成的集合M中，由于|t|至少与t和－t中的一个相等，

故集合M中至多有4个元素．

第2课时　集合的表示

1．列举法表示集合

（1）定义：

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．

（2）形式：

A＝{a1，a2，a3，…，an}．

2．描述法表示集合

（1）定义：

设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．

（2）形式：

1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是（　　）

A．0∈AB．1.5∉A

C．－1∉AD．6∈A

D　解析：

由题意知A＝{0，1，2，3，4，5}，故选D.

2．下列各组集合中，表示同一集合的是（　　）

A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}

B．M＝{3，2}，N＝{2，3}

C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}

D．M＝{3，2}，N＝{（3，2）}

B　解析：

由集合元素的无序性可知{3，2}＝{2，3}．

3．下列集合中，不同于另外三个集合的是（　　）

A．{0}

B．{y|y2＝0}

C．{x|x＝0}

D．{x＝0}

D　解析：

A是列举法；C是描述法；对于B要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同；而D表示该集合含有一个元素，即方程“x＝0”．

4．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为____________，用描述法表示为____________．

{0，1，2，3，4}　{x∈N|－1

解析：

大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x代表元素，其满足的条件是－1

5．集合A＝{（x，y）|x＋y＝6，x，y∈N}，用列举法表示为____________．

{（0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}

解析：

由题意得x＝0时y＝6，x＝1时y＝5，x＝2时y＝4，x＝3时y＝3，x＝4时y＝2，x＝5时y＝1，x＝6时y＝0.

所以A＝{（0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}．

【例1】用列举法表示下列集合：

（1）方程x2－1＝0的解组成的集合；

（2）单词“see”中的字母组成的集合；

（3）所有正整数组成的集合；

（4）直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．

解：

（1）方程x2－1＝0的解为x＝－1或x＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}．

（2）单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}．

（3）正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}．

（4）方程组的解是所求集合用列举法表示为{（1，1）}．

【例2】

（1）已知3∈{1，a，a－2}，则实数a的值为（　　）

A．3B．5

C．3或5D．无解

（2）二次函数y＝x2－1的图象上纵坐标为3的点的集合为__________________．

（1）B　

（2）{（－2，3），（2，3）}　解析：

（1）因为3∈{1，a，a－2}，所以a＝3或a－2＝3.

当a＝3时，a－2＝1，违背集合元素的互异性，不满足题意；

当a－2＝3即a＝5时，集合{