乘法公式与多项式.docx
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乘法公式与多项式
第一章乘法公式與多項式
§1–1乘法公式
一．學習重點：
能了解並運用以下公式：
1.（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd2.和的平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
3.差的平方公式：
（a-b）2=a2-2ab+b24.平方差的公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2
5.立方和的公式：
（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b36.立方差的公式：
（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3
7.和的立方公式：
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b38.差的立方公式：
（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3
9.（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
二．公式的推導：
（以下的推導過程不利用面積的方法進行，只用分配律與變數變換的方法進行，面
積的方法可參考課本的圖形，公式5~9同學們自行倣效推導。
）
A．分配律：
（1）乘法對加法的分配律：
A×（B+C）=A×B+A×C。
（2）加法對乘法的分配律：
（B+C）×A=B×A+C×A。
B．恆等式：
以上所提到的公式均是恆等式，即將a、b、c、d用任何的數字或是其他的文字來
替換，左邊的值（式子）恆等於右邊的值（式子）。
1.（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd
推導：
（a+b）（c+d）=a×（c+d）+b×（c+d）（利用加法對乘法的分配律）
=ac+ad+bc+bd（利用乘法對加法的分配律）
2.（a+b）2=a2+2ab+b2
推導一：
（a+b）2=（a+b）（a+b）=a×（a+b）+b×（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
推導二：
將（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中的c改為a，d改為b，則
（a+b）（a+b）=a×（a）+a×（b）+b×（a）+b×（b）=a2+2ab+b2
3.（a-b）2=a2-2ab+b2
推導一：
（a-b）2=（a-b）（a-b）=a×（a-b）-b×（a-b）=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2（過程中要注意變號）
推導二：
將（a+b）2=a2+2ab+b2中的b改為（-b），則
（a-b）2=a2+2a（-b）+（-b）2=a2-2ab+b2
4.（a+b）（a-b）=a2-b2
推導一：
（a+b）（a-b）=a×（a-b）+b×（a-b）=a2-ab+ba-b2=a2-b2
推導二：
將（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中的c改為a，d改為（-b），則
（a+b）（a-b）=a×（a）+a×（-b）+b×（a）+b×（-b）=a2-b2
三．範例演練：
公式（a+b）2=a2+2ab+b2
1.展開下列各式：
2.試求下列各填空之值：
（1）（a+2b）2
（2）（3x+4y）2（3）（-4a+5）2
（1）（a+1）2=a2+。
（2）若（1991.5）2=19912+P，則P=。
（3）19972+1997×6+32=。
P1
公式（a-b）2=a2-2ab+b2
3.展開下列各式：
4.試求下列各填空之值：
（1）（3a-2b）2
（2）（-3x-4y）2（3）（2a-5）2
（1）6952-2×695×705+7052=。
（2）2992=。
（3）（a–x）2=a2–6a+9，則x=。
公式（a+b）（a-b）=a2-b2
5.展開下列各式：
6.試求下列各填空之值：
（1）（3a+2b）（3a-2b）
（2）（-3x-4）（-3x+4）
（1）503×497=250000–M，則M=。
（2）1002×998=。
（3）
=。
公式（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3公式（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3
7.展開下列各式：
8.展開下列各式：
（1）（2x+3y）（4x2-6xy+9y2）
（2）（x2+3）（x4-3x2+9）
（1）（4x-3）（16x2+12x+9）
（2）（x2-2）（x4+2x2+4）
公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3公式（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3
9.展開下列各式：
10.展開下列各式：
（1）（x+2）3
（2）（x2+3）3（3）（2x+3y2）3
（1）（x-4）3
（2）（x2-1）3（3）（2x-3y）3
求值問題
11.試求下列各填空之值：
12.利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca求下列各題
（1）若a+b=8，ab=5，則（a+b）2=
（1）設a+b+c=10，ab+bc+ca=25，求a2+b2+c2之值。
a2+b2=（a-b）2=a-b=。
（2）設a2+b2+c2=13，ab+bc+ca=-2，求a+b+c之值。
（2）設a3-b3=485，a-b=5，則（3）求6782+（-555）2+（-127）2+2×678×（-555）+2×（-555）
a2+ab+b2=ab=。
×（-127）+2×678×（-127）之值。
P2
求值問題
13.試求下列各填空之值：
14.試求下列各填空之值：
（1）若xy=3x-3y-1，則（x+3）（y-3）之值為。
（1）設x2=3，則（x+2）（x-2）（x2+4）之值為。
（2）若xy=x-y+5，則（x+1）2（y-1）2之值為。
（2）設x3=2，則（x+1）（x-1）（x2+x+1）（x2-x+1）=。
（3）若
，
，則
。
（3）3×5×（42+1）（44+1）（48+1）（416+1）=4n-1則n=。
求值問題
15.利用乘法公式求
之值。
16.試求
之值。
四．自我評量：
1.若
x2+4x+9=（mx+3）2，則m=？
（A）
（B）2（C）
（D）4。
2.（-a+b）2=（A）（-a-b）2（B）-（a-b）2（C）（a-b）2（D）（a+b）2。
3.若16x2+□+25是完全平方式，則□=（A）40（B）40x（C）±40（D）±40x。
4.若1022=（100+2）2=1002+（）+22，則（）=（A）200（B）400（C）102（D）50。
5.若298302=90000–a=b，則a–b=（A）89996（B）90000（C）-89992（D）-90000。
6.55562–55552=（A）11110（B）11101（C）11111（D）111111。
7.設a+b+c=10，a2+b2+c2=20，則ab+bc+ca=（A）40（B）20（C）10（D）0。
8.（3x+2y）（）=（3x）3+（2y）3則（）=（A）3x-2y（B）9x2+6xy+4y2（C）9x2-6xy+4y2（D）9x2-12xy+4y2。
9.783–83=70[a2+（788）+82]，則a為（A）70（B）78（C）-70（D）86。
10.x+y=4、xy=-6，則x3+y3之值為（A）32（B）132（C）136（D）256。
11.設（a+b）2=1，（a-b）2=2，則ab=（A）1（B）2（C）
（D）
。
12.設x2=8，則（x-3）（x+3）（x2+3x+9）（x2-3x+9）之值為（A）217（B）-217（C）729（D）-729。
13.
（1）（3a-2）（）=27a3–8。
（2）（x2+3y）（）=x6+27y3。
14.
（1）展開（a-2）（a+2）（a4+4a2+16）=。
（2）展開（x-2）2（x2+2x+4）2=。
15.若xy=x+y+3，則（x-1）（y-1）=。
16.若x2+x-2=0，則（x2+x+1）2+5（x2+x+1）–2之值為。
17.求（10-1）（10+1）（102-10+1）（102+10+1）之值為。
18.
（1）
=。
（2）1987×2013–19972=。
P3
§1–2多項式與其加減運算
一．學習重點：
1.多項式：
由數和文字符號x進行加法和乘法運算所構成的式子，稱為x的多項式。
即型如
anxn+an-1xn-1+…..+a2x2+a1x+a0的式子。
其中，an、an-1…...a2、a1、a0均為實數，n為正整數或0。
例如：
3x2-5x+6、4x6、7x-6、8、-3、0等均是x的多項式。
其中，4x6、8、-3、0為單項式，
7x-6為二項式，3x2-5x+6為三項式。
注意：
、
、
等皆不是多項式。
2.多項式的次數：
在一個多項式中，x的最高次數就是這個多項式的次數。
例如：
5x2-7x+1的次數為2，7x-10x3+2的次數為3。
注意：
因為8、-3可視為8x0、-3x0。
所以，8、-3的次數為0。
但是，因為0可視為0x0、0x2
、0x7……，有無限多個表示法。
所以，0這個多項式無次數可言。
常數多項式
3.多項式的係數：
多項式anxn+an-1xn-1+…..+a2x2+a1x+a0中，an就是xn項的係數，a2就是x2項的
係數，a1就是x項的係數，而a0稱為常數項。
例如：
7x3-5x2+x-2的x3項的係數為7，x2項的係數為-5，x項的係數為1，常數項為-2。
4.同類項：
在多項式中，文字相同、次數也相同的項，稱為同類項。
在多項式的寫法上，
我們往往把同類項合併。
例如：
（1）3x2、-
x2、
x2
（2）常數：
5、-3、
、
、0皆為同類項。
但是，
（3）3x、5x2（4）2x、3y則不為同類項。
5.升冪排列（升次排列）：
把多項式的各項x（文字）的次數由小到大排列。
例如：
-2x-3x2+4的升冪排列為4-2x-3x2。
6.降冪排列（降次排列）：
把多項式的各項x（文字）的次數由大到小排列。
例如：
-2x-3x2+4的降冪排列為-3x2-2x+4。
7.多項式的加減法：
（1）橫式：
將同類項的係數相加或相減。
例如：
（3x2-5x+1）+（7x2+2x-4）=（3+7）x2+[（-5）+2]x+[1+（-4）]=10x2-3x-3
（2）直式：
將同類項對齊，再將係數相加或相減。
例如：
3x2–5x+1
+）7x2+2x–4
10x2–3x–3
（3）分離係數法：
將直式中各項的係數與文字符號分離，只寫出係數作運
算的一種方法。
在寫出係數時，遇到缺項通常都補0。
例如：
（3x2-5x+1）+（7x2+2x-4）3–5+1
=10x2-3x-3+）7+2–4
10–3–3
P4
二．範例演練：
多項式的次數
1.設f（x）=
是多項式，則f（x）是2.多項式f（x）=ax3+bx2+cx+d
次多項式，共有項，x2的係數
（1）當a=0，b≠0時，f（x）為次多項式。
為，常數項為。
（2）當a≠0，b=0時，f（x）為次多項式。
多項式的升羃與降羃
3.有一多項式為–9y2+10y5–6y+8+2y3，則4.有一多項式為–10x2+13x3–2+3x4–4x，則
（1）升羃排列為。
（1）升羃排列為。
（2）降羃排列為。
（2）降羃排列為。
多項式的相等
5.設f（x）=ax2+（a+b）x–1，g（x）=x2+3x+c，若f（x）=g（x）6.若f（x）=（a–3）x2+（b+1）x+c–2為零多項式，
，則a+b+c=。
則a+b+c=。
多項式的相等多項式的求值
7.若5x2–3x+4=a（x–1）2+b（x–1）+c，則a、b、c的大8.f（x）=3x2–kx+1，若f
（2）=7，則k=。
小關係為。
多項式的求值
9.若f（x）=2x3–3x+1，且g（x+2）=f（x–1），則10.若f（x）=3，則f（-2）+f（10）+f
（2）=。
g
（2）=。
多項式的求值
11.設x4–3x2+1=a（x+1）4+b（x+1）3+c（x+1）2+d（x+1）+e，12.設x4–3x2+1=a（x–1）4+b（x–1）3+c（x–1）2+d（x–1）+e，
a、b、c、d、e均為實數，則：
（1）a=a、b、c、d、e均為實數，則a=，
（2）e=（3）a+b+c+d+e=（4）a–b+c–d+e=b=，c=，d=，e=。
（5）a+c+e=（6）b=，c=，d=。
P5
多項式的加法與減法
13.試計算下列各填空之值：
14.試計算下列各填空之值：
（1）（5x2+3）+（2x2+3x–5）=。
（1）（x4+3x3+10x2+8）–（x3–10x2+x–6）=。
（2）g（x）–（2x2–3x–5x）=–4x2+x+1，則g（x）=。
（2）若f（x）–g（x）=-2x2-7x+14，且f（x）+2g（x）=9x2+5x-1
，則f（x）=，g（x）=。
三．自我評量：
1.若多項式ax2+bx+c為一次多項式，則必（A）a≠0（B）a=0，c≠0（C）a=0，b≠0（D）a=0，b=0。
2.若ax2+bx+c為x的單項式，則（A）a≠0（B）b≠0（C）c≠0（D）abc=0。
3.選出有關f（x）=3的錯誤敘述（A）f（x）為零次多項式（B）f（x）為常數多項式（C）f（x）為零多項式
（D）f（x）為單項式。
4.下列敘述何者正確？
（A）f（x）=a為零次多項式（B）f（x）=0為零多項式，其次數為0
（C）零次多項式就是零多項式（D）零多項式與零次多項式均稱為常數多項式。
5.x的多項式–32，其次數為（A）零次（B）一次（C）二次（D）沒有次數。
6.下列敘述何者正確？
（A）零多項式的次數為0（B）3不為x的多項式（C）常數多項式就是
零次多項式（D）0為常數多項式。
7.設a、b、c為實數，a2+b2=0且c≠0，則多項式ax2+bx+c（A）次數為0（B）次數為1
（C）次數為2（D）為零多項式。
8.選出–7x2的同類項（A）–7x（B）x2（C）–7（D）–7x2+2。
9.下列何者不是同類項？
（A）
（B）
（C）
（D）
。
10.多項式5x3–4x2–2（A）為五次多項式（B）常數項是2（C）x2的係數是4（D）x的係數是0。
11.選出x的多項式（A）
（B）
（C）
（D）
。
12.f（x）=–10x2+13x3+3x4–2–4x，下列敘述何者正確？
（A）f（x）為升羃排列（B）f（x）之係數和為0
（C）f（x）為二次多項式（D）f（–1）=0。
13.若f（x）=–2，則f
（1）+f（–1）=（A）0（B）4（C）–4（D）2。
14.設f（x）=（x–1）100–1，則f
（2）=（A）1（B）2（C）0（D）–2。
15.設f（x–1）=2x3–5x+6，則f（–2）=（A）0（B）6（C）9（D）45。
16.x2–[5x3–3+2x2+x–（4x3–2x–3x2–5）]=ax3+bx2+cx+d，則a、b、c、d中（A）a（B）b（C）c（D）d最小。
17.設f（x）+g（x）=x3+3，f（x）–g（x）=3x，則f（3）–g
（2）=（A）17（B）22（C）34（D）39。
18.（-3x+2+2x2）+（-1+8x3-6x+12x2）=（按降羃排列）。
19.f（x）–（3x2–2x+6）=–5x2+x+7，則f（x）=。
20.g（x）與4x3+3x2–2的和為5x4+6x–5，則g（x）=。
P6
§1–3多項式的乘除運算
一．學習重點：
1.多項式的乘法：
利用分配律展開，例如：
展開（2x+3）（4x-1）。
（1）橫式：
（2x+3）（4x–1）=8x2-2x+12x-3=8x2+10x-3
（2）直式：
2x+3（3）分離係數法：
2+3
×）4x–1×）4–1
8x2+12x8+12
–2x–3–2–3
8x2+10x–38+10–38x2+10x–3
2.多項式的除法：
將除式與被除式皆按降羃排列，以被除式的最高次項除以除式的最高次項，
所得的值為商的最高次項。
依序為之，直到餘式的次數小於除式的次數或餘
式為0。
例如：
（2x2+3x+4）（x+2）
（1）長除法（直式）：
2x–1
（2）分離係數法：
2–1
x+2）2x2+3x+41+2）2+3+4
2x2+4x（x+2）‧2x2+4
–x+4–1+4
–x–2（x+2）‧（–1）–1–2
66
注意：
被除式與除式有缺項時，若用長除法（直式）作計算，應將缺項空位；若用分離係數法
作計算，則應將缺項補0。
3.被除式＝除式×商＋餘式，當被除式的次數≧除式的次數時，則
（1）被除式的次數＝除式的次數＋商的次數。
（2）餘式＝0或是餘式的次數＜除式的次數。
注意：
當被除式的次數＜除式的次數時，商＝0，餘式＝被除式。
例如：
a.已知f（x）、g（x）分別為三次式及二次式，且f（x）g（x）＝q（x）……r（x）。
則商q（x）為一次式，而餘式r（x）可能為一次式、零次式（即不為0的數字）或0。
b.已知f（x）、g（x）分別為三次式及一次式，且f（x）g（x）＝q（x）……r（x）。
則商q（x）為二次式，而餘式r（x）為一常數（0或非零的數字）。
4.被除式＝除式商＋餘式
（1）
＝商＋
（2）
＝商（3）
＝除式。
二．範例演練：
多項式的乘法
1.展開下列各式（請利用橫式方式）：
2.展開下列各式（請利用直式方式）：
（1）（-3x2）（7+2x-8x2）
（2）（6x2-1）（2x+5x2-4x3）
（1）（2x2+3x-5）（x+2）
（2）（x3+4x-3）（3x-2）
P7
多項式的乘法
3.展開下列各式（請利用分離係數法）：
4.展開下列各式：
（1）（x2-3x-6）（3x-2）
（2）（2x3+2x-3）（-x+3）
（1）（2x-1）（x-3）（3x+2）
（2）（2x+3）2（x-4）
多項式的乘法
5.
（1）若（3x2-4x+a）（2x2+x-1）的乘積中x2之係數為6.在（1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5）2的展開式中，x6項
-19，則a之值為。
的係數為。
（2）在（1+x+x2+x3+x4+x5）（x+3x2+5x3+7x4+9x5）的展
開式中，x6項的係數為。
多項式的除法
7.請利用長除法求下列各題之商與餘式：
8.請利用分離係數法求下列各題之商與餘式：
（1）（3x2-5x+8）÷（x+2）
（2）（-x3+6x-2）÷（2x-1）
（1）（x3-27）÷（x+3）
（2）（x3+5x2+9x+7）÷（x2+3x+2）
多項式的除法
9.設f（x）為多項式，
10.設一多項式被3x2-2x+9除之，得商為–x2-x+7
則f（x）=。
、餘式為4x-23，則此多項式為。
多項式的除法
11.若x4+3x3-2x2+ax+b能被x2+x-2整除，求a、b12.若x4-3x3+4x2+mx+n以x2-x-2除之，得餘式為
之值。
2x+5，求m、n之值。
P8
餘式定理的應用
13.設f（x）為一次多項式，若f（x）被x+2除，餘式14.設f（x）為多項式，若f（x）被x-2除之餘1;以
為1；被x-1除，餘式為7，則：
x+2除之餘3。
若以（x-2）（x+2）除之，則餘式
（1）f（x）=。
為。
（2）f（x）除以x-3的餘式=。
四．自我評量：
1.設x的多項式A、B均為五次式，則（A）A+B為十次式（B）A+B為五次式（C）AB為十次式
（D）A–B為零次式。
2.設f（x）、g（x）皆為x的二次多項式，則下列何者的次數可以推知？
（A）f（x）+g（x）（B）f（x）g（x）
（C）f（x）–g（x）（D）f（x）g（x）。
3.多項式A、B，其次數分別為5次、3次，則下列敘述何者正確？
（A）A+B的次數為8次
（B）A-B的次數為2次（C）AB的次數為15次（D）AB的次數為8次。
4.將（x3+x+3）（x2-2x+2）展開為x5+ax4+bx3+c
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