《极坐标与参数方程》题型归纳.docx

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《极坐标与参数方程》题型归纳

《极坐标与参数方程》高考高频题型

除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及

（1）有关圆的题型

题型一：

圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较

用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离，算出d，在与半径比较。

题型二：

圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）

思路：

第一步：

利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离

第二步：

判断直线与圆的位置关系

第三步：

相离：

代入公式：

，

相切、相交：

题型三：

直线与圆的弦长问题

弦长公式，d是圆心到直线的距离

延伸：

直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题

（弦长：

直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）

弦长公式,解法参考“直线参数方程的几何意义”

（二）距离的最值：

---用“参数法”

1.曲线上的点到直线距离的最值问题

2.点与点的最值问题

“参数法”：

设点---套公式--三角辅助角

①设点：

设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设

②套公式：

利用点到线的距离公式

③辅助角：

利用三角函数辅助角公式进行化一

例如：

【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标

Ⅰ）的普通方程为，

的直角坐标方程为.

（解说：

C1：

这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边

（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为

（解说：

点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）

因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.

（欧萌说：

利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）

当即当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

（三）直线参数方程的几何意义

1.经过点P（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

（1）t0=t1＋t22；

（2）|PM|=|t0|=t1＋t22；

（3）|AB|=|t2－t1|；

（4）|PA|·|PB|=|t1·t2|

（5）

（注：

记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）

【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：

|t|是直线上任一点M（x，y）到M0（x0，y0）的距离，即|M0M|=|t|.

直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；

2.解题思路

第一步：

曲线化成普通方程，直线化成参数方程

第二步：

将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：

第三步：

韦达定理：

第四步：

选择公式代入计算。

例如：

已知直线l：

x＝5＋\f（\r（3232）t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为（5，3），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

解　

（1）ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①

将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②

（2）将x＝5＋\f（\r（3232）t代入②式，得t2＋53t＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.

（4）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离

思路：

一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。

例如：

（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：

（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．

解：

（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），

∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．

∵曲线C2：

（x﹣1）2+y2=1，

∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，

得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，

化简，得ρ=2cosθ．

（Ⅱ）依题意设A（），B（），

∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，

将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，

解得ρ1=3，

同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．

（5）面积的最值问题

面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题

例题2016•包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．

（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．

解：

（1）由，化简得：

，

消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，

∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．

由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，

即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，

则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；

（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），

∴|AB|==2，

设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），

∴P点到直线l的距离为d==，

∴dmin==2，

则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4．

极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化

一、直角坐标的伸缩

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：

的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换x′＝λ·x，λ>0y′＝μ·y，μ>0）下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．

【强化理解】

1．曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：

x2+y2=1，则曲线C的方程为（　　）

A．B．C．D．4x2+9y2=1

【解答】解：

曲线C经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：

x′2+y′2=1②，

把①代入②得到：

故选：

A

2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：

由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1．

【解答】解：

设变换为φ：

x′＝λx（λ>0），y′＝μy（μ>0），）可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1．

将4x2＋9y2＝36变形为x29＋y24＝1，

比较系数得λ＝13，μ＝12．

所以x′＝\f（1312）y．将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x′2＋y′2＝1．

亦可利用配凑法将4x2＋9y2＝36化为\a\vs4\al\co1（\f（x3））2＋\a\vs4\al\co1（\f（y2））2＝1，与x′2＋y′2＝1对应项比较即可得x′＝\f（x3y2）．

3、（2015春•浮山县校级期中）曲线x2+y2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（　　）

A．25x2+9y2=1B．9x2+25y2=1C．25x+9y=1D．+=1

【解答】解：

由伸缩变换，化为，代入曲线x2+y2=1可得25（x′）2+9（y′）2=1，

故选：

A．

二、极坐标

1.公式：

（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点

直角坐标极坐标

互化公式

已知极坐标化成直角坐标

已知直角坐标化成极坐标

2.极坐标与直角坐标的转化

（1）点：

有关点的极坐标与直角转化的思路

A：

直角坐标化为极坐标的步骤

运用

在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．

B:

:

极坐标化为直角坐标的步骤，运用

（2）直线：

直线的极坐标与直角坐标转化的思路

A：

直角坐标转化成极坐标

思路：

直接利用公式，将式子里面的x和y用转化，最后整理化简即可。

例如：

x+3y-2=0：

用公式将x和y转化，即

B：

极坐标转化成直角坐标

类型①：

直接转化---直接利用公式转化

例如：

ρ（2cosθ＋sinθ）＝1

思路：

第一步：

去括号，ρ2cosθ＋ρsinθ＝1

第二步：

用公式转化，即

类型②：

利用三角函数的两角和差公式，即

思路：

第一步：

利用两角和差公式把sin（θ±α）或cosθ±α）化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简

第二步：

利用公式转化

例如：

直线的极坐标方程是

解：

第一步：

利用两角和差公式把sin（θ±α）或cosθ±α）化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即

第二步：

第二步：

利用公式转化

类型③：

，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为

例如：

思路：

直接代入

（注：

直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：

Ax+By+C=0）

3、曲线极坐标与直角坐标互换

（一）圆的直角与极坐标互换

1.圆的极坐标转化成直角坐标

类型一：

详解：

一般要转化成x、y都需要跟搭配，一对一搭配。

所以两边同时乘以，即

类型二：

没有三角函数时，可以考虑两边同时平方

2.圆的直角坐标转化成极坐标

解题方法一：

拆开--公式代入

解题方法二：

代入-拆-合

【强化理解】

1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．

①将点M的极坐标\a\vs4\al\co1（4，\f（143）π）化成直角坐标；

②将点N的直角坐标（4，－43）化成极坐标（ρ≥0，0≤θ<2π）．

【解答】解：

①∵x＝4cos143π＝4cos2π3＝4×\a\vs4\al\co1（－\f（12））＝－2，y＝4sin143π＝4sin2π3＝23，∴点A的直角坐标是（－2，23）．

②∵ρ＝42＋（－4\r（3））2＝8，tanθ＝3）4＝－3，θ∈[0，2π），又点（4，－43）在第四象限，∴θ＝5π3，∴对应的极坐标为\a\vs4\al\co1（8，\f（5π3））．

2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．

①y2＝4x;②θ＝π3（ρ∈R）；

③ρ2cos2θ＝4;④ρ＝12－cosθ．

【解答】解：

①将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得（ρsinθ）2＝4ρcosθ．化简得ρsin2θ＝4cosθ．

②当x≠0时，由于tanθ＝yx，故tanπ3＝yx＝3，化简得y＝3x（x≠0）；当x＝0时，y＝0．显然（0，0）在y＝3x上，故θ＝π3（ρ∈R）的直角坐标方程为y＝3x．

③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4．

④因为ρ＝12－cosθ，所以2ρ－ρcosθ＝1，因此

2x2＋y2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0．

3．化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（　　）

A．x2+y2=0或y=1B．x=1C．x2+y2=0或x=1D．y=1

【解答】解：

∵ρ2cosθ﹣ρ=0，