《极坐标与参数方程》题型归纳.docx

1、极坐标与参数方程题型归纳极坐标与参数方程高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（1）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）-利用圆心到直线的距离与半径比较 用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离，算出d，在与半径比较。题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离 第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：， 相切、相交： 题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式，d是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包

2、括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）弦长公式,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： -用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题“参数法”：设点-套公式-三角辅助角设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设套公式：利用点到线的距离公式辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点在上，点在上，求的最小

3、值及此时的直角坐标）的普通方程为，的直角坐标方程为.（解说：C1：这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（）由题意，可设点的直角坐标为（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. （欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当即当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. （三）直线参数方程的几何意义1.经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0=t1t22；(

4、2)|PM|=|t0|=t1t22；(3)|AB|=|t2t1|；(4)|PA|PB|=|t1t2|（5）（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：第三步：韦达定理：第四步：选择公式代入计算。例如：已知直线l：x5

5、f(r(3232)t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解(1)2cos等价于22cos.将2x2y2，cosx代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将x5f(r(3232)t代入式，得t253t180.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|MB|t1t2|18.（4）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点

6、的极坐标，利用极径相减即可。例如：（2016福建模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中为参数），曲线C2：（x1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（）若射线=（0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|解：（）曲线C1的参数方程为（其中为参数），曲线C1的普通方程为x2+（y2）2=7曲线C2：（x1）2+y2=1，把x=cos，y=sin代入（x1）2+y2=1，得到曲线C2的极坐标方程（cos1）2+（sin）2=1，化简，得=2cos（）依题意设A（），B（），曲线C1的极坐标方程为2

7、4sin3=0，将（0）代入曲线C1的极坐标方程，得223=0，解得1=3，同理，将（0）代入曲线C2的极坐标方程，得，|AB|=|12|=3（5）面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题例题2016包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求PAB面积的最小值解：（1）由，化简得：，消去参数t，得（x+5）2+（y3）2=2，圆C的普通方程为（x+5）2+（y3）2=2

8、由cos（+）=，化简得cossin=，即cossin=2，即xy+2=0，则直线l的直角坐标方程为xy+2=0；（）将A（2，），B（2，）化为直角坐标为A（0，2），B（2，0），|AB|=2，设P点的坐标为（5+cost，3+sint），P点到直线l的距离为d=，dmin=2，则PAB面积的最小值是S=22=4极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换xx， 0 yy， 0

9、 )下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）【强化理解】1曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y2=1，则曲线C的方程为（）A B C D4x2+9y2=1【解答】解：曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y2=1，把代入得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x29y236变成曲线x2y21【解答】解：设变换为：xx（0），yy（0），)可将其代入x2y21，得2x22y21将4x29y236变形为x29y241，比较系数得13，12所以xf(1312)y将椭圆4x29

10、y236上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x2y21亦可利用配凑法将4x29y236化为avs4alco1(f(x3)2avs4alco1(f(y2)21，与x2y21对应项比较即可得xf(x3y2)3、（2015春浮山县校级期中）曲线x2+y2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（）A25x2+9y2=1 B9x2+25y2=1 C25x+9y=1 D+=1【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x2+y2=1可得25（x）2+9（y）2=1，故选：A二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点直角坐标 极坐标互化公式已知极坐标化成直角坐标已知直

11、角坐标化成极坐标2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A：直角坐标化为极坐标的步骤运用在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限B:极坐标化为直角坐标的步骤，运用（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式，将式子里面的x和y用转化，最后整理化简即可。例如：x+3y-2=0：用公式将x和y转化，即B：极坐标转化成直角坐标类型：直接转化-直接利用公式转化例如：(2cossin)1思路：第一步：去括号，2cossin1 第二步：用公式转化，即类型：利用三角函数的两角和差公式，即思路：第一步：利用两角和差公式把sin()或c

12、os)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简 第二步：利用公式转化例如：直线的极坐标方程是解：第一步：利用两角和差公式把sin()或cos)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即 第二步：第二步：利用公式转化 类型：，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为例如：思路：直接代入(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0)3、曲线极坐标与直角坐标互换（一）圆的直角与极坐标互换1.圆的极坐标转化成直角坐标类型一：详解：一般要转化成x、y都需要跟搭配，一对一搭配。所以两边同时乘以，即类型二：没有三角函数时，可以考虑两边同时平方2.圆的直角坐标转化成极坐标解题方法一：拆开

13、-公式代入解题方法二：代入-拆-合【强化理解】1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化将点M的极坐标avs4alco1(4，f(143)化成直角坐标；将点N的直角坐标(4，43)化成极坐标(0，02)【解答】解：x4cos1434cos234avs4alco1(f(12)2，y4sin1434sin2323，点A的直角坐标是(2，23)42（4r(3)）28，tan3)43，0，2)，又点(4，43)在第四象限，53，对应的极坐标为avs4alco1(8，f(53)2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化y24x; 3(R)；2cos24; 12cos【解答】解：将xcos，ysin代入y24x，得(sin)24cos化简得sin24cos当x0时，由于tanyx，故tan3yx3，化简得y3x(x0)；当x0时，y0显然(0，0)在y3x上，故3(R)的直角坐标方程为y3x因为2cos24，所以2cos22sin24，即x2y24因为12cos，所以2cos1，因此2x2y2x1，化简得3x24y22x103化极坐标方程2cos=0为直角坐标方程为（）Ax2+y2=0或y=1 Bx=1 Cx2+y2=0或x=1 Dy=1【解答】解：2cos=0，