（2），其中h>0。
6、确定下列函数的单调区间：
（1）f（x）=；
（2）f（x）=；
（3）f（x）=；（4）f（x）=。
7、应用函数的单调性证明下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）。
8、以s（x）记由（a，f（a）），（b，f（b）），（x，f（x））三点组成的三角形面积，试对s（x）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。
9、设f为[a，b]上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点使得f（c）>0。
证明至少存在一点，使得。
10、设函数f在（a，b）内可导，且单调。
证明在（a，b）内连续。
11、设p（x）为多项式，为p（x）=0的r重实根。
证明必定是的r–1重实根。
12、证明：
设f为n阶可导函数，若方程f（x）=0有n+1个相异的实根，则方程至少有一个实根。
13、设a，b>0。
证明方程=0不存在正根。
14、证明：
。
15、证明：
若函数f，g在区间[a，b]上可导，且，则在（a，b]内有f（x）>g（x）。
§2柯西中值定理和不定式极限
1、试问函数在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？
2、设函数f在[a，b]上可导。
证明：
存在，使得
。
3、设函数f在点a处具有连续的二阶导数。
证明：
。
4、设。
证明存在，使得
。
5、求下列不定式极限
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）；（10）；
（11）；（12）。
6、设函数f在点a的某个邻域具有二阶导数。
证明：
对充分小的h，存在，使得
。
7、求下列不定式极限：
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）。
8、设f（0）=0，在原点的某邻域内连续，且。
证明：
。
9、证明定理6、6中情形时的洛必达法则。
10、证明：
为有界函数。
§3泰勒公式
1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式：
（1）f（x）=；
（2）f（x）=arctanx到含的项；
（3）f（x）=tanx到含的项。
2、按例4的方法求下列极限：
（1）；
（2）；
（3）。
3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：
（1）f（x）=，在x=1处；
（2）f（x）=，在x=0处。
4、估计下列近似公式的绝对误差：
（1），当|x|≤；
（2）。
5、计算：
（1）数e准确到；
（2）lg11准确到。
§4函数的极值与最大（小）值
1、求下列函数的极值：
（1）f（x）=；
（2）f（x）=；
（3）f（x）=；（4）f（x）=。
2、设
f（x）=
（1）证明：
x=0是极小值点；
（2）说明f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。
3、证明：
若函数f在点处有，则为f的极大（小）值点。
4、求下列函数在给定区间上的最大最小值：
（1）y=；
（2）y=；
（3）y=。
5、设f（x）在区间I上连续，并且在I上仅有唯一的极值点。
证明：
若是f的极大（小）值点，则必是f（x）在I上的最大（小）值点。
6、把长为l的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？
7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？
8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为。
问以怎样的数值x表达所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小。
9、求一正数a，使它与其倒数之和最小。
10、求下列函数的极值：
（1）f（x）=；
（2）f（x）=；
（3）f（x）=。
11、设f（x）=在处都取得极值，试求a与b；并问这时f在与是取得极大值还是极小值？
12、在抛物线哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。
13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=akm的B城，轮船运费的单价是元/km，火车运费的单价是元/km（>），试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省。
§5函数的凸性与拐点
1、确定下列函数的凸性区间与拐点：
（1）y=；
（2）y=；
（3）y=；（4）y=；
（5）y=。
2、问a和b为何值时，点（1，3）为曲线y=的拐点？
3、证明：
（1）若f为凸函数，为非负实数，则f为凸函数；
（2）若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数；
（3）若f为区间I上凸函数，g为Jf（I）上凸增函数，则g·f为I上凸函数。
4、设f为区间I上严格凸函数。
证明：
若为f的极小值点，则为f在I上唯一的极小值点。
5、应用凸函数概念证明如下不等式：
（1）对任意实数a，b，有；
（2）对任何非负实数a，b，有。
6、证明：
若f，g均为区间I上凸函数，则F（x）=max{f（x），g（x）}也是I上凸函数。
7、证明：
（1）f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点，恒有
；
（2）f为严格凸函数的充要条件是Δ>0。
8、应用詹森不等式证明：
（1）设，有
；
（2）设，有
，
其中。
§6函数图象的讨论
按函数作图步骤，作下列函数图象：
（1）y=；
（2）y=；
（3）y=x–2arctanx；（4）y=；
（5）y=；（6）y=；
（7）y=；（8）y=。
总练习题
1、证明：
若f（x）在有限开区间（a，b）内可导，且，则至少存在一点，使。
2、证明：
若x>0，则
（1），其中；
（2）。
3、设函数f在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且a·b>0。
证明存在，使得
。
4、设f在[a，b]上三阶可导，证明存在，使得
。
5、对f（x）=ln（1+x）应用拉格朗日中值定理，试证：
对x≥0有
。
6、设为n个正数，且
f（x）=。
证明：
（1）；
（2）。
7、求下列极限：
（1）；
（2）；
（3）。
8、设h>0，函数f在内具有n+2阶连续导数，且，f在内的泰勒公式为
。
证明：
。
9、设k>0，试问k为何值时，方程arctanx–kx=0存在正实根。
10、证明：
对任一多项式p（x），一定存在与，使p（x）在（-∞，）与（，+∞）分别严格单调。
11、讨论函数
（1）在x=0点是否可导？
（2）是否存在x=0的一个邻域，使f在该邻域内单调？
12、设函数f在[a，b]上二阶可导，。
证明存在一点，使得
。
13、设函数f在[0，a]上具有二阶导数，且，f在（0，a）内取得最大值。
试证
。
14、设f在[0，+∞）上可微，且。
证明：
在[0，+∞）上f（x）≡0。
15、设f（x）满足，其中g（x）为任一函数。
证明：
若，则f在[，]上恒等于0。
16、证明：
定圆内接正n边形面积将随n的增加而增加。
17、证明：
f为I上凸函数的充要条件是对任何，，函数
为[0，1]上的凸函数。
18、证明：
（1）设f在（a，+∞）上可导，若都存在，则
。
（2）设f在（a，+∞）上n阶可导，若和都存在，则
。
19、设f为上的二阶可导函数。
若f在上有界，则存在，使。
习题答案
§2柯西中值定理和不定式极限
5、
（1）1；
（2）；（3）1；（4）2；（5）1；（6）；（7）1；（8）；
（9）1；（10）0；（11）；（12）；
7、
（1）；
（2）0；（3）1；（4）；（5）；（6）0；（7）；（8）。
§3泰勒公式
1、
（1）f（x）=；
（2）f（x）=；
（3）f（x）=。
2、
（1）；
（2）；（3）。
3、
（1）f（x）=；
（2）f（x）=，。
4、
（1）；
（2）。
5、
（1）取；
（2）。
§4函数的极值与最大（小）值
1、
（1）极大值；
（2）极小值f（-1）=-1，极大值f
（1）=1；
（3）极小值f
（1）=0，极大值；
（4）极大值f
（1）=。
5、
（1）最小值f（-1）=-10，最大值f
（1）=2；
（2）最小值，无最大值；
（3）最小值。
6、边长为。
7、半径与高之比为1：
1。
8、取。
9、取a=1。
10、
（1）极小值，极大值；
（2）极小值f（-1）=-2，极大值f
（1）=2；
（3）极小值f
（1）=0，极大值。
11、极小值点，极大值点。
12、。
13、。
§5函数的凸性与拐点
1、
（1）凹区间，凸区间，拐点；
（2）凹区间，凸区间；
（3）凹区间，凸区间，拐点；
（4）凹区间，凸区间，拐点；
（5）凹区间，凸区间，拐点。
2、。
§6函数图象的讨论
（1）
x
-5
-2
1
+
0
—
—
—
0
+
—
—
—
0
+
+
+
y
增凹
↗
极大值
减凹
↘
拐点
减凸
↘
极小值
增凸
↗
（2）
x
-3
0
+
0
—
+
0
+
—
—
—
—
0
+
y
增凹
↗
极大值
减凹
↘
增凹
↗
拐点
增凸
↗
渐近线；
（3）
x
-1
0
1
+
0
—
—
—
0
+
—
—
—
0
+
+
+
y
增凹
↗
极大值
减凹
↘
拐点
减凸
↘
极小值
增凸
↗
渐近线y=x–π，y=x+π；
（4）
x
1
2
+
0
—
—
—
—
—
—
0
+
y
增凹
↗
极大值
减凹
↘
拐点
减凸
↘
渐近线y=0；
（5）奇函数
x
0
1
0
—
—
—
0
+
0
—
0
+
+
+
y
拐点
减凹
↘
拐点
减凸
↘
极大值
增凸
↗
（6）偶函数
x
0
0
—
—
—
—
—
0
+
y
极大值
f（0）=1
减凹
↘
拐点
减凸
↘
渐近线y=0；
（7）
x
0
+
+
+
不存在
—
0
+
—
0
+
不存在
+
+
+
y
增凹
↗
拐点
增凸
↗
极大值
0
减凸
↘
极小值
增凸
↗
（8）设，
x
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