数学分析课本华师大三版习题及答案06.docx

1、数学分析课本华师大三版习题及答案06数学分析课本(华师大三版)-习题及答案06第六章 微分中值定理及其应用习题1拉格朗日定理和函数的单调性1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使：（1） （2）f（x）=|x|，-1x1。2、证明：（1）方程（这里c为常数）在区间0，1内不可能有两个不同的实根；（2）方程（n为正整数，p、q为实数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。3、证明定理6、2推论2。4、证明（1）若函数f在a，b上可导，且，则f（b）f（a）+ m（b - a）；（2）若函数f在a，b上可导，且，则|f（b）- f（a）|M（b-a）；（3）对任意实数，都有

2、。5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1），其中0a0。6、确定下列函数的单调区间：（1）f（x）=； （2）f（x）=；（3）f（x）=； （4）f（x）=。7、应用函数的单调性证明下列不等式：（1）；（2）；（3）。8、以s（x）记由（a，f（a），（b，f（b），（x，f（x）三点组成的三角形面积，试对s（x）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。9、设f为a，b上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点使得f（c）0。证明至少存在一点，使得。10、设函数f在（a，b）内可导，且单调。证明在（a，b）内连续。11、设p（x）为多项式，为p（x）=0的r重实根。证明必定是的r

3、 1重实根。12、证明：设f为n阶可导函数，若方程f（x）=0有n+1个相异的实根，则方程至少有一个实根。13、设a，b0。证明方程=0不存在正根。14、证明：。15、证明：若函数f，g在区间a，b上可导，且，则在（a，b内有f（x）g（x）。2柯西中值定理和不定式极限1、试问函数在区间-1，1上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？2、设函数f在a，b上可导。证明：存在，使得 。3、设函数f 在点a处具有连续的二阶导数。证明： 。4、设。证明存在，使得 。5、求下列不定式极限（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）

4、。6、设函数f在点a的某个邻域具有二阶导数。证明：对充分小的h，存在，使得 。7、求下列不定式极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）。8、设f（0）=0，在原点的某邻域内连续，且。证明： 。9、证明定理6、6中情形时的洛必达法则。10、证明：为有界函数。3泰勒公式1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式：（1）f（x）=；（2）f（x）= arctanx到含的项；（3）f（x）= tanx到含的项。2、按例4的方法求下列极限：（1）； （2）；（3）。3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：（1）f（x）=，在x = 1处；（2）f（x）=，在x

5、= 0处。4、估计下列近似公式的绝对误差：（1），当|x|；（2）。5、计算：（1）数e准确到；（2）lg11准确到。4函数的极值与最大（小）值1、求下列函数的极值：（1）f（x）=； （2）f（x）=；（3）f（x）=； （4）f（x）=。2、设f（x）=（1）证明：x = 0是极小值点；（2）说明f的极小值点x = 0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。3、证明：若函数f在点处有，则为f的极大（小）值点。4、求下列函数在给定区间上的最大最小值：（1）y =；（2）y =；（3）y =。5、设f（x）在区间I上连续，并且在I上仅有唯一的极值点。证明：若是f的极大（小）值点，则必是f（

6、x）在I上的最大（小）值点。6、把长为l的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为。问以怎样的数值x表达所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小。9、求一正数a，使它与其倒数之和最小。10、求下列函数的极值：（1）f（x）=；（2）f（x）=；（3）f（x）=。11、设f（x）=在处都取得极值，试求a与b；并问这时f在与是取得极大值还是极小值？12、在抛物线哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。13、要把货物从

7、运河边上A城运往与运河相距为BC= a km的B城，轮船运费的单价是元/km，火车运费的单价是元/km（），试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省。5函数的凸性与拐点1、确定下列函数的凸性区间与拐点：（1）y =； （2）y =；（3）y =； （4）y =；（5）y =。2、问a和b为何值时，点（1，3）为曲线y =的拐点？3、证明：（1）若f为凸函数，为非负实数，则f为凸函数；（2）若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数；（3）若f为区间I上凸函数，g为Jf（I）上凸增函数，则gf为I上凸函数。4、设f为区间I上严格凸函数。证明：若为f的极小值点，则为f在I上唯一的极小值点。5、应

8、用凸函数概念证明如下不等式：（1）对任意实数a，b，有；（2）对任何非负实数a，b，有。6、证明：若f，g均为区间I上凸函数，则F（x）= maxf（x），g（x）也是I上凸函数。7、证明：（1）f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点，恒有 ；（2）f为严格凸函数的充要条件是0。8、应用詹森不等式证明：（1）设，有 ；（2）设，有 ，其中。6函数图象的讨论按函数作图步骤，作下列函数图象：（1）y =； （2）y =；（3）y = x 2arctanx； （4）y =；（5）y =； （6）y =；（7）y =； （8）y =。总练习题1、证明：若f（x）在有限开区间（a，b）内可导，且，

9、则至少存在一点，使。2、证明：若x0，则（1），其中；（2）。3、设函数f在a，b上连续，在（a，b）内可导，且ab0。证明存在，使得 。4、设f在a，b上三阶可导，证明存在，使得 。5、对f（x）=ln（1+x）应用拉格朗日中值定理，试证：对x0有 。6、设为n个正数，且 f（x）=。证明：（1）；（2）。7、求下列极限：（1）； （2）；（3）。8、设h0，函数f在内具有n+2阶连续导数，且，f在内的泰勒公式为 。证明：。9、设k0，试问k为何值时，方程arctanx kx = 0存在正实根。10、证明：对任一多项式p（x），一定存在与，使p（x）在（-，）与（，+）分别严格单调。11、讨

10、论函数 （1）在x=0点是否可导？（2）是否存在x=0的一个邻域，使f在该邻域内单调？12、设函数f在a，b上二阶可导，。证明存在一点，使得 。13、设函数f在0，a上具有二阶导数，且，f在（0，a）内取得最大值。试证 。14、设f在0，+）上可微，且。证明：在0，+）上f（x）0。15、设f（x）满足，其中g（x）为任一函数。证明：若，则f在，上恒等于0。16、证明：定圆内接正n边形面积将随n的增加而增加。17、证明：f为I上凸函数的充要条件是对任何，函数 为0，1上的凸函数。18、证明：（1）设f在（a，+）上可导，若都存在，则 。 （2）设f在（a，+）上n阶可导，若和都存在，则 。19

11、、设f为上的二阶可导函数。若f在上有界，则存在，使。习题答案2柯西中值定理和不定式极限5、（1）1；（2）；（3）1；（4）2；（5）1；（6）；（7）1；（8）；（9）1；（10）0；（11）；（12）；7、（1）；（2）0；（3）1；（4）；（5）；（6）0；（7）；（8）。3泰勒公式1、（1）f（x）=；（2）f（x）=；（3）f（x）=。2、（1）；（2）；（3）。3、（1）f（x）=；（2）f（x）=，。4、（1）； （2）。5、（1）取； （2）。4函数的极值与最大（小）值1、（1）极大值；（2）极小值f（-1）= -1，极大值f（1）=1；（3）极小值f（1）= 0，极大值；（4

12、）极大值f（1）=。5、（1）最小值f（-1）= -10，最大值f（1）=2；（2）最小值，无最大值；（3）最小值。6、边长为。7、半径与高之比为1：1。8、取。9、取a=1。10、（1）极小值，极大值；（2）极小值f（- 1）= - 2，极大值f（1）=2；（3）极小值f（1）=0，极大值。11、极小值点，极大值点。12、。13、。5函数的凸性与拐点1、（1）凹区间，凸区间，拐点；（2）凹区间，凸区间；（3）凹区间，凸区间，拐点；（4）凹区间，凸区间，拐点；（5）凹区间，凸区间，拐点。2、。6函数图象的讨论（1）x- 5- 21+00+0+y增凹极大值减凹拐点减凸极小值增凸（2）x- 30+0+0+0+y增凹极大值减凹增凹拐点增凸渐近线；（3）x- 101+00+0+y增凹极大值减凹拐点减凸极小值增凸渐近线y = x ，y = x +；（4）x12+00+y增凹极大值减凹拐点减凸渐近线y = 0；（5）奇函数x0100+00+y拐点减凹拐点减凸极大值增凸（6）偶函数x000+y极大值f（0）=1减凹拐点减凸渐近线y = 0；（7）x0+不存在0+0+不存在+y增凹拐点增凸极大值0减凸极小值增凸（8）设，x