最新矩阵可逆的若干判别方法.docx

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最新矩阵可逆的若干判别方法

矩阵可逆的若干判别方法

毕业论文

题目：

矩阵可逆的若干判别方法

学院：

数理学院

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摘要

矩阵是数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象和重要工具，可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,判定矩阵是否可逆对矩阵的运算起着至关重要的作用.为了更便捷地求逆矩阵，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.

关键字：

可逆矩阵；初等变换；秩；特征值.

Abstract

Matrixisaveryimportantconceptinmathematicsandisamainobjectofstudyonlinearalgebraandimportanttool.Invertiblematrixplaysaveryimportantroleinthematrixtheory.Decidingwhetheramatrixreversibleplaysavitalroleinmatrixoperations.Toprovidemoreconvenientmethodstocalculatinginversematrix,thisarticleintroducesseveralmethods,includingdefinitionmethod，determinantmethod,elementarytransformationmethod,eigenvaluediscriminantmethod,rankdiscriminantanalysis,featurevaluedeterminationmethodandect.，accordingtothedifferentcharacteristicsofdifferentmatrixs.Italsobrieflydemonstratestheprincipleandprovidestherelevantexamples.

Keyword:

Invertiblematrix；Elementarytransformation；Rank;Featurevalue.

引言

矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高等代数的始终，在研究中也发挥重要的作用，现今矩阵的发展十分迅速，它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具,广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，矩阵理论逐渐成为数学的一个重要分支.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础，矩阵问题中的求逆贯穿于整个矩阵问题的始终，基于自身的性质特点，为更高层次矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容，所以本文归纳了一些普通矩阵逆的求解判定方法，其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.

在本文的讨论均在数域中讨论，如不特别说明，这里的矩阵均指阶方阵.

第一章矩阵可逆的基本概念和定理

1.1基本概念

定义1.1级方阵称为可逆的，如果有级矩阵,使得

（1）

这里是级单位矩阵.

注可逆矩阵必为方阵,其逆必唯一,且与为同阶方阵,即.

定义1.2如果适合

（1）,那么就称为的逆矩阵,记作.

定义1.3如果阶方阵的行列式不等于0,则称是非奇异的（或非退化的）；否则称是奇异的（或退化的）.

定义1.4设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵

称为的伴随矩阵.

定义1.5矩阵中一切非零子式的最高阶数称为矩阵的秩，记为.

定义1.6设,称矩阵的行向量组的秩为的行秩,矩阵的列向量组的秩为的列秩，矩阵的行秩等于矩阵的列秩,统称为矩阵的秩,记为.

定义1.7由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

定义1.8矩阵的三类初等变换：

（1）对调矩阵的两行（列）；

（2）矩阵的某行（列）乘以非零常数；

（3）矩阵的某行（列）的倍数加到另一行（列）.

第一类初等矩阵表示将单位矩阵的第行与第行对换后得到的矩阵：

.

注也可以由单位矩阵的第列与第列对换后得到的矩阵.

第二类初等矩阵等于将常数乘以单位阵的第行（或列）而得到的矩阵：

.

第三类初等矩阵表示将单位阵的第行（第列）乘以后到第行（第列）上得到的矩阵：

.

定义1.9如果阶矩阵满足（即）,则称为正交矩阵.

定义1.10如果矩阵可以由矩阵经过有限次初等变换得到，则称矩阵与是等价的.

1.2基本定理和推论

定理1.1矩阵可逆的充分必要条件是非退化，而可逆时

证明：

由行列式按一行（列）展开的公式即可得出：

（2）

其中

如果

那么由

（2）得

（3）

当，有（3）可知，可逆，且.

反过来，如果可逆，那么有使.两边取行列式，得,因而，即非退化.

定理1.2设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左侧乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.

定理1.3[克拉默法则]若非齐线性方程组的系数行列式，则方程组有唯一解，其解为

其中是将系数行列式中第列的元素对应地换成方程组右端的常数项，而其余各列保持不变得到的行列式.

若线性方程组的常数项，即，

称为齐次线性方程组.

定理1.4若齐次线性方程组的系数行列式，则方程组只有零解.

证：

因为，由克拉默法则，齐次线性方程组有唯一解，又因，可知行列式中的第列元素全为零（），因为，齐次线性方程组只有零解.

定理1.5任意一个矩阵都与一个形如

的矩阵等价.矩阵称为矩阵的标准型.

证明：

若,则已是标准型（此时）,结论成立.

若,则中至少有一个元素不等于零，不妨设，用乘以第一行加到第行上，再将所得矩阵的第一列乘以加到第列上，并将化为1，于是矩阵化为

，

若，则已为标准型（此时），若，则按上面的方法继续下去，最终有

.

推论1.1对于任意矩阵，存在阶初等矩阵和阶初等矩阵，使得

令,，由于初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，因此,为可逆矩阵，从而有如下推论.

推论1.2对于任意矩阵，存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得

.

当为阶可逆矩阵时，由可逆的充分必要条件，.又由推论1.2，存在阶可逆矩阵,,使得，从而

于是只有，所以由如下推论.

推论1.3阶矩阵可逆的充分必要条件是的等价标准型为.

推论1.4阶矩阵可逆的充分必要条件是可表示为有限个初等矩阵的乘积.

证明：

由推论1.1和推论1.3可知，可逆的充分必要条件是存在阶初等矩阵和，使得

而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，从而有

.

第二章矩阵可逆的性质

性质2.1若是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一.

证明：

若都是的逆矩阵，则与均满足式，即

从而有

即的逆矩阵是唯一的.

性质2.2若可逆，则可逆，且

证明：

由

可得可逆且

性质2.3若可逆，则也可逆，且

证明：

因为

所以可逆，且

性质2.4若,都是阶可逆矩阵，则可逆且

证明：

若,可逆，则，存在且

所以可逆且

若均为同阶可逆方阵，则它们的乘积也可逆且

性质2.5若均为可逆方阵，那么

也可逆且

性质2.6若可逆，，则可逆且

证明：

若可逆，则，又，可得,所以可逆，再由

得

性质2.7若可逆，则.

证明：

若可逆，则存在，使得,。

由方阵的行列式性质有

由以上得

即有

且

性质2.8矩阵与它的具有相同的可逆性，即可逆，可逆,且

性质2.9对于初等矩阵有

，，

第三章矩阵可逆的充分必要条件

以下各条件，对于矩阵可逆来说是等价的：

3.1矩阵的行列式不等于0可逆；

3.2矩阵可表示成一系列初等矩阵的乘积可逆；

证明：

可以表示成初等矩阵的乘积,由于初等矩阵都可逆,则一定可逆；反过来，可逆,则一定可以写成初等矩阵的乘积,如果不能写成初等矩阵的乘积,则矩阵一定不可逆,矛盾.所以矩阵可逆.

3.3矩阵的特征值都不为0可逆；

证明：

的特征值不为零,则行列式不为零,所以可逆；反过来，可逆,则行列式不为零,所以特征值都不为0.

3.4矩阵等价于阶单位矩阵可逆；

3.5矩阵的列（行）向量组线性无关；

证明：

的行（列）向量线性无关,则由行列式的性质知道的行列式不为零，则可逆；当然如果可逆,则的行列式一定不为零,如果其行（列）线性相关，则行列式为零,与已知条件矛盾.

3.6齐次线性方程组仅有零解可逆；

证明：

齐次线性方程组仅有零解,由克拉默法则知的行列式不为零,所以矩阵可逆；矩阵可逆,则一定有解唯一,即只有零解.

3.7非齐次线性方程组有唯一解可逆；

证明：

有唯一解,则的行列式不为零，故可逆；反过来，可逆，则行列式不为零,由克拉默法则知有唯一解.

3.8存在可逆矩阵,使得可逆，其中；

证明：

同推论1.2.

3.9的秩等于，即可逆.

证明：

，矩阵满秩,即行向量、列向量均线性无关,所以矩阵行列式不为零,矩阵可逆；反过来，矩阵可逆,所以行列式不为零,由行列式的性质知行向量（列向量）一定线性无关,所以.

第四章矩阵可逆的基本判别方法

4.1定义法

由定义1.1可有定义法，级方阵称为可逆的，如果有级矩阵，使得

，

这里是级单位矩阵.

注：

利用定义法，当条件中有矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出的形式，从而可得，这一方法一般也适用于抽象矩阵求逆.

例1设，讨论的可逆性并求.

解：

当，所以可逆.设

，

由定义知，则

由矩阵乘法得

解得

所以

当时，不可逆.

例2设为非零矩阵，且,证明：

与都可逆.

解：

由

根据可逆矩阵的定义得可逆，且

又由

根据可逆矩阵的定义得可逆，且

注：

定义法一般适用于求二级，三级可逆方阵的逆矩阵，或是适用于抽象矩阵，级数高的可逆矩阵不采取这种方法.因为矩阵的级数越大，方程组所含的方程越多，计算量一般非常大，解方程就很困难.

4.2公式法或伴随矩阵法

由定理1.1可得到公式法，当级方阵可逆时.

注：

求逆矩阵的公式，同时可以判定一个矩阵的可逆性，但它的计算量一般非常大.

例3求的逆矩阵.

解：

的伴随矩阵

又

所以由公式

得

.

注：

1.由于计算需计算个阶行列式，同时还要计算，计算量较大，且容易出错，因此用公式法求矩阵的逆矩阵一般适用于低阶矩阵或较简单的高阶矩阵，或用于证明中；

2.此法不适用于分块矩阵.

4.3初等变换求逆法

（1）初等行变换法

矩阵是阶可逆矩阵，可通过一系列的初等行变换将化为单位矩阵，即

则

而可逆，且是一系列初等矩阵的乘积.

具体方法如下：

（2）初等列变换法

方法如下：

注：

具体数字的矩阵的求其逆矩阵时，常用初等变换法，这是实际应用中比较简单的一种方法.

例4利用矩阵的初等变换，求方阵的逆矩阵。

故

注：

用初等行变换法求时，对只能施行一系列初等行变换，而不能用初等列变换；同理对只能施行一系列初等列变换，而不能用初等行变换.

4.4分块矩阵求逆法

若，分别为阶和阶可逆矩阵时，则有