高中数学第三章三角恒等变换31两角和与差的正弦余弦和正切公式311两角差的余弦公式学案无答案新人.docx

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高中数学第三章三角恒等变换31两角和与差的正弦余弦和正切公式311两角差的余弦公式学案无答案新人

§　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

．　两角差的余弦公式

学习目标

　.了解两角差的余弦公式的推导过程.理解用向量法导出公式的主要步骤.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．

知识点一　两角差的余弦公式的探究

思考　如何用角α，β的正弦、余弦值来表示（α－β）呢？

有人认为（α－β）＝α－β，你认为正确吗，试举出两例加以说明．

答案　不正确．

例如：

当α＝，β＝时，（α－β）＝＝，

而α－β＝－＝－，

故（α－β）≠α－β；

再如：

当α＝，β＝时，（α－β）＝＝，

而α－β＝－＝，

故（α－β）≠α－β.

思考　计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．

①°°＋°°＝；

②°°＋°°＝；

③°°＋°°＝；

④°°＋°°＝.

猜想：

αβ＋αβ＝，

即．

答案　①　②　③　④

（α－β）　（α－β）＝αβ＋αβ

知识点二　两角差的余弦公式

思考　单位圆中（如图），∠＝α，∠＝β，那么，的坐标是什么？

与的夹角是多少？

答案　（α，α），（β，β）．

与的夹角是α－β.

思考　请根据上述条件推导两角差的余弦公式．

答案　①·＝（α－β）＝（α－β），

②·＝αβ＋αβ.

∴（α－β）＝αβ＋αβ.

梳理　（α－β）：

（α－β）＝αβ＋αβ.

（）适用条件：

公式中的角α，β都是任意角．

（）公式结构：

公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．

．存在角α，β，使得（α－β）＝α－β.（　√　）

提示　如α＝，β＝，（α－β）＝＝＝，α－β＝－＝，满足（α－β）＝α－β.

．任意角α，β，（α－β）＝αβ－αβ.（　×　）

提示　由两角差的余弦公式可知不正确．

．任意角α，β，（α－β）＝αβ＋αβ.（　√　）

类型一　利用两角差的余弦公式化简求值

例　计算：

（）（－°）；

（）°°＋°°.

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

解　（）方法一　原式＝（°－°）

＝°°＋°°

＝×＋×＝.

方法二　原式＝°＝（°－°）

＝°°＋°°

＝×＋×＝.

（）原式＝（°－°）＝（－°）＝°＝.

反思与感悟　利用两角差的余弦公式求值的一般思路

（）把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．

（）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．

跟踪训练　化简°°＋°°的值为（　　）

．－．－

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　

解析　°°＋°°

＝°°＋°°

＝（°－°）＝（－°）＝.

类型二　给值求值

例　（）已知α－β＝－，α－β＝，则（α－β）等于（　　）

．－．－

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　

解析　因为α－β＝－，α－β＝，

所以（α－β）＝，（α－β）＝－.

两式相加，得－（α－β）＝－.

所以（α－β）＝.

（）已知α，β均为锐角，α＝，（α－β）＝，求β的值．

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

解　因为α∈，α＝<，所以<α<.

又因为α－β∈，（α－β）＝<，

所以－<α－β<－.

所以α＝＝＝，

（α－β）＝－＝－＝－，

所以β＝[α－（α－β）]＝α（α－β）＋α（α－β）

＝×＋×＝.

反思与感悟　给值求值问题的解题策略

（）从角的关系中找解题思路：

已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．

（）常见角的变换：

①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；

③α＝（α＋β）＋（α－β）；④β＝（α＋β）－（α－β）．

跟踪训练　已知α＋β＝，α＋β＝，求（α－β）的值．

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

解　∵（α＋β）＝，

（α＋β）＝，

以上两式展开两边分别相加，得＋（α－β）＝，

∴（α－β）＝－.

类型三　给值求角

例　已知α＝，（α＋β）＝－，且α，β∈，求β的值．

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求角

解　∵α，β∈且α＝，（α＋β）＝－，

∴α＋β∈（，π），∴α＝＝，

（α＋β）＝＝.

又∵β＝（α＋β）－α，

∴β＝[（α＋β）－α]＝（α＋β）α＋（α＋β）α

＝×＋×＝.

又∵β∈，∴β＝.

引申探究

若本例条件中的“（α＋β）＝－”改为“（α＋β）＝”，则β的值是什么？

解　∵α，β∈，∴α＋β∈（，π），

∵α＝，（α＋β）＝，

∴α＝，（α＋β）＝±，

当（α＋β）＝－时，

β＝[（α＋β）－α]＝（α＋β）α＋（α＋β）α＝×＋×＝，

∵β∈，∴β＝；

当（α＋β）＝时，

β＝[（α＋β）－α]＝（α＋β）α＋（α＋β）α＝×＋×＝<

＝（α＋β），

且α＋β∈，β∈，

所以β>α＋β，即α<，与已知矛盾，舍去，所以β＝.

反思与感悟　求解给值求角问题的一般步骤

（）求角的某一个三角函数值．

（）确定角的范围．

（）根据角的范围写出所求的角．

跟踪训练　已知（π－α）＝，（α－β）＝，<β<α<，求角β的大小．

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求角

解　因为（π－α）＝，所以α＝.

因为<α<，所以α＝＝.

因为（α－β）＝，

且<β<α<，所以<α－β<，

所以（α－β）＝＝.

所以β＝[α－（α－β）]＝α（α－β）＋α（α－β）＝×＋×＝.

因为<β<，所以β＝.

．计算＋的值是（　　）

．

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　

解析　＋

＝＋＝

＝＝.

．°°＋°°的值为（　　）

．－．－

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　

解析　原式＝（°－°）＝°＝.

．设α，β都是锐角，且α＝，（α＋β）＝，则β等于（　　）

或或

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　

解析　依题意得α＝＝，（α＋β）＝±＝±.

又α，β均为锐角，所以<α<α＋β<π，α>（α＋β）．

因为>>－，所以（α＋β）＝－.

于是β＝[（α＋β）－α]＝（α＋β）α＋（α＋β）α＝×＋×＝.

．（α－°）（α＋°）＋（α－°）（α＋°）＝.

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式化简

答案　

解析　原式＝[（α－°）－（α＋°）]

＝（－°）＝°＝.

．已知向量＝（α，α），＝（β，β），α，β∈（，π）且⊥，求α－β的值．

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式化简

解　因为⊥，所以·＝αβ＋αβ＝（α－β）＝.

因为－π<α－β<π，所以α－β＝－或.

．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．

．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

（）求角的某一三角函数值．

（）确定角所在的范围（找区间）．

（）确定角的值．

确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．

一、选择题

．°°－°°的值为（　　）

．－．－

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　

解析　原式＝－°°＋°°

＝°°＋°°＝（°－°）

＝°＝.

．已知＝，＜θ＜，则θ等于（　　）

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　

解析　∵θ∈，∴θ＋∈，

∴＝＝.

∴θ＝

＝＋

＝×＋×＝.

．（·广东肇庆三模）已知α为锐角，β为第三象限角，且α＝，β＝－，则（α－β）的值为（　　）

．－．－

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　

解析　∵α为锐角，且α＝，

∴α＝＝.

∵β为第三象限角，且β＝－，

∴β＝－＝－，

∴（α－β）＝αβ＋αβ＝×＋×＝－.故选.

．已知点（，）是角α终边上一点，则等于（　　）

．－

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　

解析　由题意可得α＝，α＝，

＝α＋α

＝×＋×＝.

．已知点（°，°），（°，°），则等于（　　）

．

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　

解析　＝

＝

＝＝＝.

．若（α－β）＝，α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为（　　）

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求角

答案　

解析　∵α，β∈，∴α－β∈，α∈（，π），（α－β）＝－，α＝，

∴（α＋β）＝[α－（α－β）]

＝α（α－β）＋α（α－β）

＝×＋×＝－，

∵α＋β∈（，π），∴α＋β＝.

．化简（＋）（－）－（＋）（－）的结果为（　　）

．．

．－．－

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式化简

答案　

解析　原式＝－[（＋）－（－）]＝－，故选.

二、填空题

．已知α＝，（α－β）＝－，<α<π，<α－β<π，则β＝.

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

答案　－

解析　由条件知α＝－，（α－β）＝，

∴β＝[α－（α－β）]

＝α（α－β）＋α（α－β）

＝－－＝－.

．已知α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝，则（α－β）的值是．

考点　两角差的余弦公式

题点　两角差的余弦公式的综合应用

答案　－

解析　由

①＋②，得＋（αβ＋αβ）＝，

即（α－β）＝－.

．化简＝.

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式化简

答案　

解析　原式＝

＝＝.

．（·广东深圳中学同步练习）函数（）＝－在上的单调递增区间为．

考点　两角差的余弦公式

题点　两角差的余弦公式的综合应用

答案　

解析　（）＝－＝＋＝.当π－π≤－≤π（∈），即π－≤≤π＋（∈）时，函数（）单调递增．取＝，得－≤≤，故函数（）在上的单调递增区间为.

三、解答题

．已知（α－β）＝－，（α－β）＝，且<α<，<β<，求（α＋β）．

考点　两角差的余弦公式

题点　利用两角差的余弦公式求值

解　因为<α<，<β<，所以<α－β<π.

因为（α－β）＝－，所以<α－β<π，

所以（α－β）＝.

因为<α<，<β<，所以－<α－β<.

因为（α－β）＝，所以<α－β<，

所以（α－β）＝.

所以（α＋β）＝[（α－β）－（α－β）]

＝（α－β）（α－β）＋（α－β）（α－β）

＝×＋×＝.

．已知向量＝（θ，－）与＝（，θ）互相垂直，其中θ∈.

（）求θ和θ的值；

（）若（θ－φ）＝φ，<φ<，求φ的值．

考点　两角差的余弦公式

题点　两角差的余弦公式的综合应用

解　（）因为⊥，

所以·＝θ－θ＝，

即θ＝θ.

又因为θ＋θ＝，

所以θ＋θ＝，

即θ＝，所以θ＝，

又θ∈，所以θ＝，θ＝.

（）因为（θ－φ）＝（θφ＋θφ）

＝φ＋φ＝φ，

所以φ＝φ，

所以φ＝φ＝－φ，

即φ＝.

因为<φ<，所以φ＝.

四、探究与拓展

．函数＝＋，∈[，π]的最小值为（　　）

．－．－

考点　两角差的余弦公式

题点　两角差的余弦公式的综合应用

答案　

解析　＝＋＋＝＋

＝＝，

因为∈[，π]，所以－∈，

故＝×＝－.

．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于，两点．

（）如果，两点的纵坐标分别为，，求α和β；

（）在（）的条件下，求（β－α）的值．

考点　两角差的余弦公式

题点　两角差的余弦公式的综合应用

解　（）∵＝，＝，且点，的纵坐标分别为，，

∴α＝，β＝，∴α＝.

（）∵β为钝角，由（）知β＝－，

∴（β－α）＝βα＋βα

＝×＋×＝.