学年北师大版八年级数学第一学期第一次月考试题.docx

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学年北师大版八年级数学第一学期第一次月考试题

2019-2020 学年八年级数学第一学期第一次月考试卷

一、选择题（6*3＝18）

1．121 的平方根是±11 的数学表达式是（）

A．B．C．D．

2．如果 a 有算术平方根，那么 a 一定是（）

A．正数

3．若 m＝

B．0              C．非负数         D．非正数

﹣2，则估计 m 的值所在范围是（   ）

A．1＜m＜2

B．2＜m＜3        C．3＜m＜4       D．4＜＜m＜5

4．直角三角形的斜边为 20cm，两直角边之比为 3：

4，那么这个直角三角形的周长为（）

A．27cmB．30cmC．40cmD．48cm

5．下列各组数能构成勾股数的是（）

A．2，，B．12，16，20C．，，D．32，42，52

6．将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（m，n）表示第 m 排，从

左到右第 n 个数，如（4，3）表示实数，则（8，6）表示的实数是（）

A．B．C．D．

二、填空题（6*3＝18）

7．的平方根是．

8．已知在实数范围内等式

成立，则 xy 的值等于      ．

9．如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯，已知地毯每平方

米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元钱．

10．如图，O 为数轴原点，A，B 两点分别对应﹣3，3，作腰长为 4 的等腰△ABC，连接 OC，以 O

为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点 M，则点 M 对应的实数为．

11．在下列条件中：

①∠A+∠B＝∠C，②∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠

A＝∠B＝∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（填序号）

12．已知＝5﹣x，则 x 的取值范围是．

三、计算题（5*6＝30）

13．计算

（1）

（2）（2

﹣

+3

﹣

）（2

﹣3  ）

14．

（1）解方程：

﹣27＝0．

（2）比较大小

15．已知

与 ．

+|y﹣2|＝0，且

与      互为相反数，求 yz﹣x 的平方根．

16．已知 a 是 16 的算术平方根，b 是 9 的平方根，c 是﹣27 的立方根，求 a2+b2+c3+a﹣c+2 的值．

17．已知：

实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：

+2        ﹣|a﹣b|．

四、简答题（3*8＝24）

18．已知：

2+的小数部分为 a，5﹣的小数部分为 b，计算 a+b 的值．

．在ABC 中，AB＝41，AC＝15，高 AH＝

，求ABC 的面积？

20．如图，圆柱形容器高为 18cm，底面周长为 24cm，在杯内壁离杯底 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，

此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 2cm 与蜂蜜相对的点 A 处，求蚂蚁从外壁 A 处到达内壁

B 处的最短距离．

五、简答题（2*9＝18）

21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破

坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由点 A 行驶向点 B，已知点 C 为一海港，且点 C 与

直线AB 上两点 A，B 的距离分别为 300km 和 400km，又 AB＝500km，以台风中心为圆心周围

250km 以内为受影响区域．

（1）海港 C 受台风影响吗？

为什么？

（2）若台风的速度为 20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？

22．小明在解决问题：

已知 a＝

，求 2a2﹣8a+1 的值，他是这样分析与解的：

∵a＝

＝

＝2﹣

∴a﹣2＝﹣

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3

∴a2﹣4a＝﹣1

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简

（2）若 a＝

+       +       +…+

求 4a2﹣8a+1 的值．

六、简答题（1*12＝12）

23．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2cm/秒的

速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/秒的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t

（秒）表示移动的时间（0＜t＜6）．

（1）当 t 为何值时，△PBC 为等腰直角三角形？

（

）求当移动到QAP 为等腰直角三角形时斜边 QP 的长．

参考答案与试题解析

一、选择题（6*3＝18）

1．121 的平方根是±11 的数学表达式是（）

A．B．C．D．

【分析】根据平方根的定义，一个 a 数平方后等于这个数，那么它就是这个数的平方根，即可得出

答案．

【解答】解：

“121 的平方根是±11”，

根据平方根的定义，即可得出±

＝±11．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了平方根的定义，根据平方根的定义直接得出答案是解决问题的关键．

2．如果 a 有算术平方根，那么 a 一定是（）

A．正数B．0C．非负数D．非正数

【分析】根据算术平方根的定义求解．

【解答】解：

∵a 有算术平方根，

∴a≥0．

故选：

C．

【点评】本题考查了算术平方根：

一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数

x 叫做 a 的算术平方根．记为

（a≥0）．

3．若 m＝﹣2，则估计 m 的值所在范围是（）

A．1＜m＜2

【分析】先估算出

【解答】解：

∵5＜

B．2＜m＜3        C．3＜m＜4       D．4＜＜m＜5

的范围，即可得出选项．

＜6，

∴3＜﹣2＜4，

∴3＜m＜4，

故选：

C．

【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．

4．直角三角形的斜边为 20cm，两直角边之比为 3：

4，那么这个直角三角形的周长为（）

A．27cmB．30cmC．40cmD．48cm

【分析】根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可

得到三角形的周长．

【解答】解：

根据题意设直角边分别为 3xcm 与 4xcm，由斜边为 20cm，

根据勾股定理得：

（3x）2+（4x）2＝202，

整理得：

x2＝16，

解得：

x＝4，

∴两直角边分别为 12cm，16cm，

则这个直角三角形的周长为 12+16+20＝48cm．

故选：

D．

【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

5．下列各组数能构成勾股数的是（）

A．2，，B．12，16，20C．，，D．32，42，52

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于

最长边的平方．

【解答】解：

A、22+（）2＝（）2，但不是正整数，故选项错误；

B、122+162＝202，能构成直角三角形，是整数，故选项正确；

C、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项错误；

D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故选项错误．

故选：

B．

【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：

已知△ABC 的

三边满足 a2+b2＝c

，则ABC 是直角三角形．

6．将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（m，n）表示第 m 排，从

左到右第 n 个数，如（4，3）表示实数，则（8，6）表示的实数是（）

A．B．C．D．

【分析】（8，6）表示第 8 排第 6 个数是多少？

由图所示的排列规律为：

m 排有 m 个数，而数字排

列从 1 开始依次按顺序排列，则第 8 排有 8 个数，则第 6 个数是 34．

【解答】解：

由图所示的排列规律为：

m 排有 m 个数，而数字排列从 1 开始依次按顺序排列，则

第 8 排有 8 个数，

共排数字有：

1+2+3+4+5+6+7+8＝36（个），

即：

第 8 排所排数字为：

29，30，31，32，33，34，35，36．

则：

（8，7）表示的数是

．

故选：

B．

【点评】此题考查数字的变化规律，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形、数值、数列等

已知条件，认真分析，找出规律，利用规律解决问题．

二、填空题（6*3＝18）

7．的平方根是±．

【分析】求出

【解答】解：

∵

的值，再求出结果的平方根即可．

＝ ，

∴的平方根是± ，

故答案为：

± ．

【点评】本题考查了对平方根和算术平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．

8．已知在实数范围内等式成立，则 xy 的值等于8．

【分析】根据被开方数大于等于 0 列式求出 x，再求出 y，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：

根据题意得，2﹣x≥0 且 x﹣2≥0，

解得 x≤2 且 x≥2，

所以，x＝2，

y＝3，

所以 xy＝23＝8．

故答案为：

8．

【点评】本题考查的知识点为：

二次根式的被开方数是非负数．

9．如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯，已知地毯每平方

米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要612元钱．

【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 AC 与 BC 的和，在直角△ABC 中，根据

勾股定理即可求得 BC 的长，地毯的长与宽的积就是面积．

【解答】解：

由勾股定理，AC＝

＝         ＝12（m）．

则地毯总长为 12+5＝17（m），

则地毯的总面积为 17×2＝34（平方米），

所以铺完这个楼道至少需要 34×18＝612 元．

故答案为：

612．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．

10．如图，O 为数轴原点，A，B 两点分别对应﹣3，3，作腰长为 4 的等腰△ABC，连接 OC，以 O

为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点 M，则点 M 对应的实数为．

【分析】先利用等腰三角形的性质得到 OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出 OC＝

法可得到 OM＝OC＝，于是可确定点 M 对应的数．

【解答】解：

∵△ABC 为等腰三角形，OA＝OB＝3，

∴OC⊥AB，

在 

OBC 中，OC＝＝＝，

∵以 O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点 M，

，然后利用画

∴OM＝OC＝，

∴点 M 对应的数为

．

故答案为．

【点评】本题考查了勾股定理：

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边

长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2＝c2．也考查

了等腰三角形的性质．

11．在下列条件中：

①∠A+∠B＝∠C，②∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠

A＝∠B＝∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有①②③ （填序号）

【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形进行分析判断．

【解答】解：

①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三

角形是直角三角形；

②∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；

③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；

④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．

故能确定△ABC 是直角三角形的条件有①②③．

【点评】此题要能够结合已知条件和三角形的内角和定理求得角的度数，根据直角三角形的定义进

行判定．

12．已知＝5﹣x，则 x 的取值范围是x≤5．

【分析】直接利用二次根式的性质得出答案．

【解答】解：

∵

＝5﹣x，

∴5﹣x≥0，

解得：

x≤5．

故答案为：

x≤5．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

三、计算题（5*6＝30）

13．计算

（1）

（2）（2

﹣

+3

﹣

）（2

﹣3  ）

【分析】

（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；

（2）根据平方差公式进行计算即可．

【解答】解：

（1）原式＝3

﹣   ﹣2

＝；

（2）原式＝12﹣18

＝﹣6．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式以及化二次根式为最简二次根式是解题

的关键．

14．

（1）解方程：

﹣27＝0．

（2）比较大小与．

【分析】

（1）先移项，去分母，然后利用直接开平方法解题；

（2）利用作差法比较大小．

【解答】解：

（1）

﹣27＝0

（x﹣2）2＝81

x﹣2＝±9

x1＝11，x2＝﹣7；

（2）﹣＝＝．

∵4＜5＜5.0625，

∴2＜

∴4＜4

∴9﹣4

∴

∴

＜2.25，

＜9，

＞0，

＞0，即

＞ ．

﹣ ＞0，

【点评】考查了平方根，实数的大小比较，解答

（2）题时，采用了“作差法”和“夹逼法”比较无

理数的大小．

15．已知+|y﹣2|＝0，且与互为相反数，求 yz﹣x 的平方根．

【分析】根据非负数的性质求出 x，y 的值，根据相反数求出 z 的值，再代入代数式求值．

【解答】解：

∵+|y﹣2|＝0，

∴x+1＝0，y﹣2＝0，

∴x＝﹣1，y＝2．

∵且与互为相反数，

∴1﹣2z+3z﹣5＝0，

解得 z＝4．

∴yz﹣x＝2×4﹣（﹣1）＝9，

∴yz﹣x 的平方根是±3．

【点评】本题考查了非负数的性质、相反数、立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．

16．已知 a 是 16 的算术平方根，b 是 9 的平方根，c 是﹣27 的立方根，求 a2+b2+c3+a﹣c+2 的值．

【分析】先根据算术平方根，平方根和立方根的定义求出 a、b2、c 的值，再代入代数式计算即可得

解．

【解答】解：

因为 a 是 16 的算术平方根，

所以 a＝4，

所以 a2＝16，

又因为 b 是 9 的平方根，

所以 b2＝9，

因为 c 是﹣27 的立方根，

所以 c3＝﹣27，c＝﹣3，

所以 a2+b2+c3+a﹣c+2

＝16+9﹣27+4+3+2

＝7．

【点评】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的定义，是基础概念题，熟记定义是解题的关键．

17．已知：

实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：

+2        ﹣|a﹣b|．

【分析】直接利用数轴得出 a，b 的取值范围进而化简二次根式和绝对值进而得出答案．

【解答】解：

由数轴可得

﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，

∴a+3＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，

原式＝a+3+2（b﹣1）+（a﹣b）

＝2a+b+1．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出 a，b 的取值范围是解题关键．

四、简答题（3*8＝24）

18．已知：

2+的小数部分为 a，5﹣的小数部分为 b，计算 a+b 的值．

【分析】估算确定出 a 与 b 的值，即可求出所求．

【解答】解：

∵4＜6＜9，

∴2＜

＜3，即 4＜2+

＜5，2＜5﹣

＜3，

则 a＝2+

则 a+b＝2+

﹣4，b＝5﹣

﹣4+5﹣

﹣2，

﹣2＝1．

【点评】此题考查了有理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．

．在ABC 中，AB＝41，AC＝15，高 AH＝

，求ABC 的面积？

【分析】分三角形 ABC 为锐角三角形、三角形 ABC 为钝角三角形两种情况，根据 AH 垂直于 BC，

利用垂直的定义得到三角形 ABH 与三角形 AHC 为直角三角形，利用勾股定理分别求出 BH 与

HC，由 BH+HC＝BC 或 BH﹣HC＝BC 求出 BC，利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC

的面积．

【解答】解：

当ABC 为锐角三角形时，如图 1 所示，

∵AH⊥BC，

∴∠AHB＝∠AHC＝90°，

在 

ABH 中，AB＝41，AH＝9，

根据勾股定理得：

BH＝＝40，

在 

AHC 中，AC＝15，AH＝9，

根据勾股定理得：

HC＝

＝12，

∴BC＝BH+HC＝40+12＝52，

则 S△ABC＝BC•AH＝234；

当ABC 为钝角三角形时，如图 2 所示，

由①得，BH＝40，CH＝12，

∴BC＝BH﹣HC＝40﹣12＝28，

则 S

△ABC＝ BC•AH＝126．

综上，△ABC 的面积为 234 或 126．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长

为 c，那么 a2+b2＝c2 是解题的关键．

20．如图，圆柱形容器高为 18cm，底面周长为 24cm，在杯内壁离杯底 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，

此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 2cm 与蜂蜜相对的点 A 处，求蚂蚁从外壁 A 处到达内壁

B 处的最短距离．

【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A′，根据两点之间线段最短可知 A′B 的长

度即为所求．

【解答】解：

如图：

将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′，

连接 A′B，则 A′B 即为最短距离，

A′B＝＝20（cm）．

答：

蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离是 20cm．

【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进

行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

五、简答题（2*9＝18）

21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破

坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由点 A 行驶向点 B，已知点 C 为一海港，且点 C 与

直线AB 上两点 A，B 的距离分别为 300km 和 400km，又 AB＝500km，以台风中心为圆心周围

250km 以内为受影响区域．

（1）海港 C 受台风影响吗？

为什么？

（2）若台风的速度为 20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？

【分析】（

）利用勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出 CD 的

长，进而得出海港 C 是否受台风影响；

（2）利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．

【解答】解：

（1）海港 C 受台风影响．

理由：

如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D，

∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，

∴AC2+BC2＝AB2．

∴△ABC 是直角三角形．

∴AC×BC＝CD×AB

∴300×400＝500×CD

∴CD＝＝240（km）

∵以台风中心为圆心周围 250km 以内为受影响区域，

∴海港 C 受到台风影响．

（2）当 EC＝250km，FC＝250km 时，正好影响 C 港口，

∵ED＝

＝70（km），

∴EF＝140km

∵台风的速度为 20km/h，

∴140÷20＝7（小时）

即台风影响该海港持续的时间为 7 小时．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，

再利用勾股定理解答．

22．小明在解决问题：

已知 a＝

，求 2a2﹣8a+1 的值，他是这样分析与解的：

∵a＝

＝

＝2﹣

∴a﹣2＝﹣

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3

∴a2﹣4a＝﹣1

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简

（2）若 a＝

+       +       +…+

求 4a2﹣8a+1 的值．

【分析】

（1）根据例题可得：

对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差

公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；

（2）首先化简 a，然后把所求的式子化成 4（a﹣1）2﹣3 代入求解即可．

【解答】解：

（1）原式＝（

1＝10﹣1＝9；

﹣1）+（  ﹣  ）+（  ﹣  ）+…+（    ﹣   ）＝    ﹣

（2）a＝+1，

则原式＝4（a2﹣2a+1）﹣3＝4（a﹣1）2﹣3

当 a＝+1 时，原式＝4×（）2﹣3＝5．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键．

六、简答题（1*12＝12）

23．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2cm/秒的

速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/秒的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t

（秒）表示移动的时间（0＜t＜6）．

（1）当 t 为何值时，△PBC 为等腰直角三角形？

（

）求当移动到QAP 为等腰直角三角形时斜边 QP 的长．

【分析】

（1）由矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°，CB＝AD＝6，当 PB＝CB 时，△PBC 为等腰直

角三角形，得出方程，解方程即可；

（2）由题意得出 AP＝2t，DQ＝t，QA＝6﹣t 当 QA＝AP 时，△QAP 为等腰直角三角形．得出方程，

解方程求出 t＝2，得出 AP、QA 的长度，再由勾股定理求出 QP 即可．

【解答】解：

（1）对于任何时刻 t，PB＝12﹣2t，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴∠A＝∠B＝90°，CB＝AD＝6，

当 PB＝CB 时，△PBC 为等腰直角三角形，

即 12﹣2t＝6，

解得：

t＝3

∴当 t＝

，PBC 为等腰直角三角形；

（2）∵AP＝2t，DQ＝t，QA＝6﹣t

当 QA＝AP 时，△QAP 为等腰直角三角形．

即 6﹣t＝2t．

解得：

t＝2（秒）．

∴当 t＝2 秒时，△QAP 为等腰直角三角形．

此时 AP＝4，QA＝4，

在 

QAP 中，QP＝＝＝4．

【点评】本题主要考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等

腰直角三角形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．