S1-S2为常数，并求出该常数。
24．（2012•广州）如图，抛物线y=
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
25、（2013•广州）（本小题满分14分）
已知抛物线y1=
过点A（1,0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限。
（1）使用a、c表示b;
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C（
）,求当x≥1时y1的取值范围。
例题
1.如图，已知A、B是线段MN上的两点，
，
，
．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设
．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：
△ABC的最大面积？
=
2.如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？
若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
二次函数提高训练
1．已知二次函数y＝x2－（2m－1）x＋4m－6．
（1）试说明不论m取任何实数，函数图象都经过x轴上的一个定点A；
（2）设函数图象与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当△ABC为直角三角形时，求m的值；
（3）在
（2）的条件下，若点B在点A的右侧，点D的坐标为（0，3），点E是函数图象上一点．问：
在x轴上是否存在点F，使得以D、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形？
若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知二次函数y＝x2－（2a＋1）x＋2a．
（1）若函数图象与x轴有两个不同交点，且分别位于点（2，0）的两侧，求实数a的取值范围；
（2）若函数图象不经过第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，求实数a的取值范围．
3．已知抛物线
，且当
时，
．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）求k的取值范围；
（3）过动点P（0，n）作直线l⊥y轴，点O为坐标原点．①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于k的函数关系式；②当直线l与抛物线相交于A、B两点时，是否存在实数n，使得不论k在其取值范围内取任意值时，△AOB的面积为定值？
如果存在，求出n的值；如果不存在，说明理由．
4．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k（x2＋x－1）的图象交于点A（1,k）和点B（－1,－k）．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
5.已知二次函数y＝x2＋mx－
m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求证：
该函数图象的对称轴在y轴的左侧；
（2）若
－
＝
（O为坐标原点），求二次函数的表达式；
（3）设函数图象与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
6．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为2
，求m的值．
7．已知二次函数y＝3ax2＋2bx＋c．
（1）若a＝b＝1，c＝－1，求函数图象与x轴交点的坐标；
（2）若a＝b＝1，且当－1＜x＜1时，函数图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围；
（3）若a＋b＋c＝0，且当x＝0和x＝1时，对应的函数值y均大于0．试判断当0＜x＜1时，函数图象与x轴是否有交点？
请说明理由．
8．在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作一直线与二次函数y＝ax2（a＞0）图象交于A、B两点，且使∠AOB＝90°．
（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为定值，并说明理由；
（2）求a的值；
（3）当△AOB的面积为4
时，求直线AB的解析式．
9．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y＝2x上，且∠PAO＝45°．
（1）求点P的坐标；
（2）若二次函数的图象经过P、O、A三点，求该二次函数的解析式；
（3）设
（2）中的二次函数图象的顶点为M，将该二次函数图象向上或向下平移，使它的顶点落在直线y＝2x上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．
10．已知关于x的方程（a＋2）x2－2ax＋a＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且抛物线y＝x2－（2a＋1）x＋2a－5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两侧．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当|x1|＋|x2|＝2
时，求a的值．
11.如图：
二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（-
，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？
若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
12.如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过
（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：
当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．
13.已知抛物线y＝x2－（2m－1）x＋4m－6.
⑴试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；
⑵设抛物线与x轴的两个交点A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分别在原点的两侧，且A、B两点间的距离小于6，求m的取值范围；
⑶抛物线的对称轴与x轴交于点C，在
（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与CD弧是等弧.若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由.
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