北师大版七年级下册数学第4章专项45阶段强化专训.docx

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北师大版七年级下册数学第4章专项45阶段强化专训

专训1　全等三角形判定的三种类型

名师点金：

一般三角形全等的判定方法有四种：

SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，后面还会学到一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题．

已知一边一角型

一次全等型

1．（2016·孝感）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.试说明：

BE＝CD.

（第1题）

2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.

试说明：

AD是△ABC的中线．

（第2题）

二次全等型

3．如图，已知AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，若E是AC上一点，试说明：

∠CBE＝∠CDE.

（第3题）

4．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC，D是AC边的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE，试说明：

∠ADB＝∠CDE.

（第4题）

已知两边型

一次全等型

5．如图，在△ABC中，AM为BC边上的高，点E为AC上的一点，BE交AM于点F，且AM＝BM，FM＝CM.试说明：

BE⊥AC.

（第5题）

两次全等型

6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．试说明：

AE＝CE.

（第6题）

7．如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF.试说明：

EB∥CF.　

（第7题）

已知两角型

一次全等型

8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.试说明：

OB＝OC.（提示：

角平分线上的点到角的两边距离相等）

（第8题）

两次全等型

9．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.试说明：

BF＝CF.

（第9题）

专训2　构造全等三角形的五种常用方法

名师点金：

在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的已知条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：

构造法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．

翻折法

1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.试说明：

∠2＝∠1＋∠C.

（第1题）

构造法

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.

试说明：

∠ADC＝∠BDF.

（第2题）

旋转法

3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．

（第3题）

倍长中线法

4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．

（1）试说明：

AB＋AC>2AD；

（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

（第4题）

截长补短法

5．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．试说明：

BC＝AB＋CD.

（第5题）

答案

1．解：

因为BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，

所以∠ADB＝∠AEC＝90°.

在△ADB和△AEC中，

所以△ADB≌△AEC（ASA）．

所以AB＝AC.

又因为AD＝AE，所以BE＝CD.

2．解：

因为BE⊥AD，CF⊥AD，

所以∠BED＝∠CFD＝90°.

又因为∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，

所以△DBE≌△DCF.

所以BD＝CD.所以D是BC的中点，即AD是△ABC的中线．

3．解：

因为AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，

所以△ABE≌△ADE（SAS）．

所以BE＝DE，∠AEB＝∠AED.

所以∠BEC＝∠DEC.

又因为EC＝EC，

所以△BEC≌△DEC（SAS）．

所以∠CBE＝∠CDE.

（第4题）

4．解：

如图，作CG⊥AC，交AE的延长线于点G，

易得∠BAC＝∠DAE＋∠BAE＝90°，∠ABF＋∠BAE＝90°，

所以∠DAE＝∠ABF.

因为CG⊥AC，

所以∠BAD＝∠ACG＝90°.

在△ABD和△CAG中，

所以△ABD≌△CAG（ASA）．

所以∠ADB＝∠G，AD＝CG.

因为D是AC的中点，所以AD＝CD＝CG.

因为∠ACG＝90°，∠ACB＝45°，

所以∠GCE＝∠ACB＝45°.

在△DEC和△GEC中，

所以△DEC≌△GEC（SAS）．

所以∠CDE＝∠G.

所以∠ADB＝∠CDE.

5．解：

因为AM⊥BC，

所以∠BMA＝∠AMC＝90°.

所以∠1＋∠2＝90°.

在△BMF和△AMC中，

所以△BMF≌△AMC（SAS）．

所以∠2＝∠C.

又因为∠1＋∠2＝90°，所以∠1＋∠C＝90°.

在△BEC中，∠1＋∠C＝90°，

所以∠BEC＝180°－90°＝90°.

所以BE⊥AC.

6．解：

在△ABD和△CBD中，

所以△ABD≌△CBD（SSS）．

所以∠ABD＝∠CBD.

在△ABE和△CBE中，

所以△ABE≌△CBE（SAS）．

所以AE＝CE.

7．解：

方法一：

因为AB∥CD，所以∠3＝∠4.

在△ABO和△DCO中，

所以△ABO≌△DCO（ASA）．所以OB＝OC.

又因为AE＝DF，OD＝OA，

所以OD＋DF＝OA＋AE，即OF＝OE.

在△COF和△BOE中，

所以△COF≌△BOE（SAS）．所以∠F＝∠E.

所以EB∥CF.

方法二：

因为AB∥CD，所以∠3＝∠4.

在△ABO和△DCO中，

所以△ABO≌△DCO（ASA）．

所以BA＝CD，OA＝OD.

因为∠3＝∠4，所以∠CDF＝∠BAE.

在△CDF和△BAE中，

所以△CDF≌△BAE（SAS）．所以∠F＝∠E.

所以EB∥CF.

8．解：

因为∠BDC＝∠CEB＝90°，

所以OD⊥AB，OE⊥AC.

因为AO平分∠BAC，所以OD＝OE.

在△OBD和△OCE中，

所以△OBD≌△OCE（ASA）．

所以OB＝OC.

9．解：

在△ABC和△DCB中，

所以△ABC≌△DCB（AAS）．

所以AC＝DB.

又因为∠BAC＝∠CDB，

所以∠FAC＝∠FDB.

在△FAC和△FDB中，

所以△FAC≌△FDB（AAS）．

所以CF＝BF.

即BF＝CF.

1．解：

如图，延长AD交BC于点F.（相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE）

因为BE平分∠ABC，

所以∠ABE＝∠CBE.

因为BD⊥AD，所以∠ADB＝∠BDF＝90°.

在△ABD和△FBD中，

所以△ABD≌△FBD（ASA）．

所以∠2＝∠DFB.

又因为∠DFB＝180°－∠AFC，∠1＋∠C＝180°－∠AFC，

所以∠DFB＝∠1＋∠C.

所以∠2＝∠1＋∠C.

（第1题）

（第2题）

2．解：

如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.

因为∠ACB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°.

因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°.

所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.

所以∠1＝∠2.

在△ACD和△CBG中，

所以△ACD≌△CBG（ASA）．

所以∠ADC＝∠G，CD＝BG.

因为点D为BC的中点，

所以CD＝BD.所以BD＝BG.

又因为∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，

所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.

所以∠DBF＝∠GBF.

在△BDF和△BGF中，

所以△BDF≌△BGF（SAS）．

所以∠BDF＝∠G.所以∠ADC＝∠BDF.

点拨：

本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG，△BGF是解题的关键．

3．解：

如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.

因为∠ABE＝90°，∠D＝90°，

所以∠D＝∠ABH＝90°.

在△ABH和△ADF中，

所以△ABH≌△ADF.所以AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.

所以∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF.

所以∠HAF＝∠BAD＝90°.

因为BE＋DF＝EF，所以BE＋BH＝EF，即EH＝EF.

在△AEH和△AEF中，

所以△AEH≌△AEF.

所以∠EAH＝∠EAF.

所以∠EAF＝

∠HAF＝45°.

点拨：

图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.

　（第3题）

　（第4题）

4．解：

（1）如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.

因为D为BC的中点，所以CD＝BD.

又因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，

所以△ADC≌△EDB.

所以AC＝EB.

因为AB＋BE>AE，

所以AB＋AC>2AD.

（2）因为AB－BE

所以AB－AC<2AD

因为AB＝5，AC＝3，所以2<2AD<8.

所以1

点拨：

本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将说明不等关系和求线段取值范围的问题转化为说明全等，从而利用全等三角形的性质解决问题．

（第5题）

5．解：

如图，在BC上取一点F，使BF＝BA.

连接EF.因为CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，

所以∠3＝∠4，∠1＝∠2.

在△ABE和△FBE中，

所以△ABE≌△FBE（SAS）．

所以∠A＝∠5.

因为AB∥CD，所以∠A＋∠D＝180°.

又因为∠5＋∠6＝180°，所以∠6＝∠D.

在△EFC和△EDC中，

所以△EFC≌△EDC（AAS）．

所以FC＝DC.所以BC＝BF＋CF＝AB＋CD.

点拨：

说明一条线段等于两条线段的和的方法：

“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后说明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长部分等于另一短线段，再说明延长后的线段等于长线段．