高中数学第五章统计与概率531样本空间与事件学案新人教B版必修第二册.docx

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高中数学第五章统计与概率531样本空间与事件学案新人教B版必修第二册

5．3.1　样本空间与事件

考点

学习目标

核心素养

事件

了解必然现象和随机现象，了解不可能事件、必然事件及随机事件

数学抽象

样本空间

理解样本点的定义，会求试验中的样本空间以及事件A包含的样本点的个数

数学抽象、数学运算

问题导学

预习教材P93－P97的内容，思考以下问题：

1．必然现象和随机现象是如何定义的？

2．事件分为哪三类？

3．样本点和样本空间是如何定义的？

1．样本点与样本空间

（1）必然现象与随机现象

现象

条件

特征

必然现象

在一定条件下

发生的结果事先能确定的现象

随机现象

发生的结果事先不能确定的现象

（2）样本点：

随机试验中每一种可能出现的结果．

（3）样本空间

①定义：

由所有样本点组成的集合称为样本空间．

②表示：

样本空间常用大写希腊字母Ω表示．

2．随机事件

（1）如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集．而且：

若试验的结果是A中的元素，则称A发生；否则，称A不发生．

（2）每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集∅不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称∅为不可能事件．

（3）一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件．

3．随机事件的概率

事件发生的可能性大小可以用该事件的概率来衡量，概率越大代表越有可能发生．事件A的概率通常用P（A）表示．不可能事件∅的概率规定为0，必然事件Ω的概率规定为1，即P（∅）＝0，P（Ω）＝1.

对任意事件A，P（A）应该满足不等式0≤P（A）≤1．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）三角形的内角和为180°是必然事件．（　　）

（2）“抛掷硬币三次，三次正面向上”是不可能事件．（　　）

（3）“下次李欢的数学成绩在130分以上”是随机事件．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）√

下列现象是必然现象的是（　　）

A．一天中进入某超市的顾客人数

B．一顾客在超市中购买的商品数

C．一颗麦穗上长着的麦粒数

D．早晨太阳从东方升起

解析：

选D.只有D是在一定条件下必然发生的现象，其他三个每次发生的结果不一定相同．

下列事件：

①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；

②经过有信号灯的路口，遇上红灯；

③下周六是晴天．

其中，是随机事件的是（　　）

A．①②B．②③

C．①③D．②

解析：

选B.①是必然事件，②③是随机事件．

从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω＝________．

答案：

{ab，ac，ad，bc，bd，cd}

样本点与样本空间

　连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．

（1）写出这个试验的样本空间；

（2）求这个试验的样本点的总数；

（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点？

【解】　

（1）试验的样本空间Ω＝{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}．

（2）样本点的总数是8.

（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点：

（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）．

[变问法]在例题条件下，写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点．

解：

“恰有一枚正面向上”包含3个样本点，分别是：

（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）．

确定样本空间的方法

（1）必须明确事件发生的条件；

（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．　

　一个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5，从中一次任取两球．

（1）写出这个试验的样本空间；

（2）求这个试验的样本点总数；

（3）写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的样本点．

解：

（1）Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}．

（2）样本点总数为10.

（3）“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的样本点为（1，5），（2，4）．

事件类型的判断

　判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．

（1）“抛一石块，下落”；

（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；

（3）“某人射击一次，中靶”；

（4）“如果a＞b，那么a－b＞0”；

（5）“掷一枚硬币，出现正面”；

（6）“导体通电后，发热”；

（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；

（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；

（9）“没有水分，种子能发芽”；

（10）“在常温下，焊锡熔化”．

【解】　事件

（1）（4）（6）是必然事件；事件

（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件．

要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　

　下列事件中的随机事件为（　　）

A．若a，b，c都是实数，则a（bc）＝（ab）c

B．没有水和空气，人也可以生存下去

C．抛掷一枚硬币，反面向上

D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾

解析：

选C.A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．

随机事件的概率

　做掷红、蓝两颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．

（1）写出这个试验的所有可能的结果；

（2）求这个试验共有多少种不同的结果；

（3）写出事件“出现的点数之和大于8”包含的结果；

（4）写出事件“出现的点数相同”包含的结果；

（5）记“出现的点数之和大于8”为A，记“出现的点数相同”为B，从直观上判断P（A）与P（B）的大小．

【解】　

（1）这个试验所有可能的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．

（2）由

（1）知这个试验不同的结果共有36种．

（3）事件“出现的点数之和大于8”包含的结果为（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．

（4）事件“出现的点数相同”包含的结果为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）．

（5）事件A出现了10次，事件B出现了6次，故P（A）＞P（B）．

概率的性质

（1）范围：

任何事件A的概率P（A）∈[0，1]．

（2）必然事件的概率P（Ω）＝1.

（3）不可能事件的概率P（∅）＝0.　

　（2019·河南郑州一中期末）下列结论正确的是（　　）

A．事件A发生的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1

B．若P（A）＝0.999，则A为必然事件

C．灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性是99%

D．若P（A）＝0.001，则A为不可能事件

解析：

选C.由事件发生的概率的基本性质，可知事件A的概率P（A）的值满足0≤P（A）≤1，故A错误；必然事件的概率为1，故B错误；不可能事件的概率为0，故D错误．故选C.

1．下列现象：

①当x是实数时，x－|x|＝2；

②某班一次数学测试，及格率低于75%；

③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；

④体育彩票某期的特等奖号码．

其中是随机现象的是（　　）

A．①②③B．①③④

C．②③④D．①②④

解析：

选C.由随机现象的定义知②③④正确．

2．下列事件中，是不可能事件的是（　　）

A．三角形的内角和为180°

B．三角形中大角对大边，小角对小边

C．锐角三角形中两内角和小于90°

D．三角形中任意两边之和大于第三边

解析：

选C.锐角三角形中两内角和大于90°.

3．同时投掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是（　　）

A．3B．4

C．5D．6

解析：

选D.有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）共6个样本点．

4．甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布）．

（1）写出样本空间；

（2）写出事件“甲赢”；

（3）写出事件“平局”．

解：

（1）用（锤、剪）表示甲出锤，乙出剪，其他的样本点用类似方法表示，则Ω＝{（锤，剪），（锤，布），（锤，锤），（剪，锤），（剪，剪），（剪，布），（布，锤），（布，剪），（布，布）}．

（2）记“甲赢”为事件A，则A＝{（锤，剪），（剪，布），（布，锤）}．

（3）记“平局”为事件B，则B＝{（锤，锤），（剪，剪），（布，布）}．

[A　基础达标]

1．下列现象中，是随机现象的有（　　）

①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；

②若a为整数，则a＋1为整数；

③发射一颗炮弹，命中目标；

④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．

A．1个　　　　　　　　　　B．2个

C．3个D．4个

解析：

选C.当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然现象，其余3个均为随机现象．

2．有下列事件：

①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在1℃结冰；④买了一注彩票就得了特等奖．

其中是随机事件的有（　　）

A．①②B．①④

C．①③④D．②④

解析：

选B.①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件．

3．下列事件是必然事件的是（　　）

A．明天太阳从西边升起

B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C．实心铁球会沉入水底

D．抛一枚硬币，正面朝上

解析：

选C.A是不可能事件，B是随机事件，C是必然事件，D是随机事件．

4．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：

选C.该生选报的所有可能情况是：

（数学和计算机），（数学和航空模型），（计算机和航空模型），所以样本点有3个．

5．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有（　　）

A．6种B．12种

C．24种D．36种

解析：

选D.试验的全部结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种．

6．写出下列试验的样本空间：

（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）________；

（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________.

解析：

（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）可能有三种：

胜，平，负，所以Ω＝{胜，平，负}．

（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数可能为0，1，2，3，4，

所以Ω＝{0，1，2，3，4}．

答案：

（1）Ω＝{胜，平，负}　

（2）Ω＝{0，1，2，3，4}

7．投掷两枚骰子，点数之和为8所含的样本点有______种．

解析：

样本点为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5种．

答案：

5

8．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．

解析：

从1，2，3，…，10中任意选一个数，所得到的数可能是从1到10中的任意一个数，所以这个试验的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，“它是偶数”这一事件包含的样本点有5个，分别为2，4，6，8，10.

答案：

Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5

9．一个盒子中放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1，2，3，4，5.从中任取一个，记下号数后放回，再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为（x，y），试写出“所得两球的和为6”所包含的样本点．

解：

由图可直观地看出，“所得两球的和为6”包含以下5个样本点：

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．

10．指出下列试验的结果：

（1）从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；

（2）从1，3，6，10四个数中任取两个数（不重复）作差．

解：

（1）结果：

红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．

（2）结果：

1－3＝－2，3－1＝2，

1－6＝－5，3－6＝－3，

1－10＝－9，3－10＝－7，

6－1＝5，10－1＝9，

6－3＝3，10－3＝7，

6－10＝－4，10－6＝4.

即试验的结果为：

－2，2，－5，－3，－9，－7，5，9，3，7，－4，4.

[B　能力提升]

11．抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件发生的是（　　）

A．“出现奇数点”B．“出现偶数点”

C．“点数大于3”D．“点数是3的倍数”

解析：

选B.“出现2点”这个事件发生，因为2为偶数，故“出现偶数点”这一事件发生．

12．下列现象是必然现象的是（　　）

A．某路口单位时间内通过的车辆数

B．n边形的内角和为（n－2）·180°

C．某同学竞选学生会主席成功

D．一名篮球运动员每场比赛所得的分数

解析：

选B.A，C，D选项为随机现象，B选项为必然现象．

13．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________．

解析：

至少需摸完黑球和白球共15个．

答案：

16

14．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为（x，y）．

（1）写出这个试验的样本空间；

（2）求这个试验的样本点的总数；

（3）“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？

“x<3且y>1”呢？

（4）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？

“x＝y”呢？

解：

（1）Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}．

（2）样本点的总数为16.

（3）“x＋y＝5”包含以下4个样本点：

（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：

（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）．

（4）“xy＝4”包含以下3个样本点：

（1，4），（2，2），（4，1）；“x＝y”包含以下4个样本点：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）．

[C　拓展探究]

15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．

（1）写出该事件的样本空间Ω；

（2）写出事件A、事件B包含的样本点；

（3）铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？

解：

（1）Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．

（2）A＝S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10；

B＝S7，S8，S9，S10.

（3）铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45（种）．