线性代数超强的总结.docx

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线性代数超强的总结

线性代数超强总结

√关于:

称为的标准基,中的自然基,单位坐标向量;

线性无关;

;

④;

⑤任意一个维向量都可以用线性表示、

√行列式的计算:

若都就是方阵（不必同阶）,则

上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积、

关于副对角线:

√逆矩阵的求法:

④

⑤

√方阵的幂的性质:

√设,对阶矩阵规定:

为的一个多项式、

√设的列向量为,的列向量为,的列向量为,

√用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;

用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量、

√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

与分块对角阵相乘类似,即:

√矩阵方程的解法:

设法化成

当时,

√与同解（列向量个数相同）,则:

①它们的极大无关组相对应,从而秩相等;

②它们对应的部分组有一样的线性相关性;

③它们有相同的内在线性关系、

√判断就是的基础解系的条件:

①线性无关;

②就是的解;

③、

1零向量就是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交、

2单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关、

3部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关、

4原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关、

5两个向量线性相关对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关、

6向量组中任一向量≤≤都就是此向量组的线性组合、

7向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示、

向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示、

8维列向量组线性相关;

维列向量组线性无关、

9、

10若线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一、

11矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩、

阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数、

12矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系、

矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系、

向量组等价与可以相互线性表示、记作:

矩阵等价经过有限次初等变换化为、记作:

13矩阵与等价作为向量组等价,即:

秩相等的向量组不一定等价、

矩阵与作为向量组等价

矩阵与等价、

14向量组可由向量组线性表示≤、

15向量组可由向量组线性表示,且,则线性相关、

向量组线性无关,且可由线性表示,则≤、

16向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价;

17任一向量组与它的极大无关组等价、

18向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等、

19若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等、

20若就是矩阵,则,若,的行向量线性无关;

若,的列向量线性无关,即:

线性无关、

线性方程组的矩阵式向量式

矩阵转置的性质:

矩阵可逆的性质:

伴随矩阵的性质:

线性方程组解的性质:

√设为矩阵,若,则,从而一定有解、

当时,一定不就是唯一解、,则该向量组线性相关、

就是的上限、

√矩阵的秩的性质:

①

②≤

③≤

④

⑤

⑥≥

⑦≤

⑧

⑨

⑩且在矩阵乘法中有左消去律:

标准正交基个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1、

、

就是单位向量、

√内积的性质:

①正定性:

②对称性:

③双线性:

施密特线性无关,

单位化:

正交矩阵、

√就是正交矩阵的充要条件:

的个行（列）向量构成的一组标准正交基、

√正交矩阵的性质:

①;

②;

③就是正交阵,则（或）也就是正交阵;

④两个正交阵之积仍就是正交阵;

⑤正交阵的行列式等于1或-1、

的特征矩阵、

的特征多项式、

的特征方程、

√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就就是主对角线上的各元素、

√若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量、

√

√若,则一定可分解为=、,从而的特征值为:

、

√若的全部特征值,就是多项式,则:

①的全部特征值为;

②当可逆时,的全部特征值为,

的全部特征值为、

√

√

与相似（为可逆阵）记为:

√相似于对角阵的充要条件:

恰有个线性无关的特征向量、这时,为的特征向量拼成的矩阵,为对角阵,主对角线上的元素为的特征值、

√可对角化的充要条件:

为的重数、

√若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似、

与正交相似（为正交矩阵）

√相似矩阵的性质:

①若均可逆

②

③（为整数）

④,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同、即:

就是关于的特征向量,就是关于的特征向量、

⑤从而同时可逆或不可逆

⑥

⑦

√数量矩阵只与自己相似、

√对称矩阵的性质:

①特征值全就是实数,特征向量就是实向量;

②与对角矩阵合同;

③不同特征值的特征向量必定正交;

④重特征值必定有个线性无关的特征向量;

⑤必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=）、

可以相似对角化与对角阵相似、记为:

（称就是的相似标准型）

√若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）、

√设为对应于的线性无关的特征向量,则有:

、

√若,,则:

、

√若,则,、

二次型为对称矩阵

与合同、记作:

（）

√两个矩阵合同的充分必要条件就是:

它们有相同的正负惯性指数、

√两个矩阵合同的充分条件就是:

√两个矩阵合同的必要条件就是:

√经过化为标准型、

√二次型的标准型不就是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数就是由惟一确定的、

√当标准型中的系数为1,-1或0时,则为规范形、

√实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数、

√任一实对称矩阵与惟一对角阵合同、

√用正交变换法化二次型为标准形:

1求出的特征值、特征向量;

2对个特征向量单位化、正交化;

3构造（正交矩阵）,;

4作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值、

正定二次型不全为零,、

正定矩阵正定二次型对应的矩阵、

√合同变换不改变二次型的正定性、

√成为正定矩阵的充要条件（之一成立）:

1正惯性指数为;

2的特征值全大于;

3的所有顺序主子式全大于;

4合同于,即存在可逆矩阵使;

5存在可逆矩阵,使（从而）;

6存在正交矩阵,使（大于）、

√成为正定矩阵的必要条件:

;、