高二数学寒假作业人教A版必修五立体几何中的向量方法word版含答案.docx
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高二数学寒假作业人教A版必修五立体几何中的向量方法word版含答案
高二数学寒假作业（人教A版必修五）
立体几何中的向量方法
1．平面α的法向量为（1，2，－2），平面β的法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k＝（ ）
A．2 B．－4 C．4 D．－2
解析：
∵α∥β，∴两平面法向量平行，
∴＝＝，∴k＝4.
答案：
C
2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是（ ）
A．相关B．平行
C．在平面内D．平行或在平面内
解析：
∵＝λ＋μ，∴，，共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．
答案：
D
3．已知平面α内有一点M（1，－1，2），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），则下列点P中，在平面α内的是（ ）
A．P（2，3，3）B．P（－2，0，1）
C．P（－4，4，0）D．P（3，－3，4）
4．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为（ ）
A．平行B．异面
C．垂直D．以上都不对
解析：
以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题意，可得，D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），A（2，0，0），
M（，2，0）．
∴＝（，2，0）－（0，1，）＝（，1，－），
＝（，2，0）－（2，0，0）＝（－，2，0），
∴·＝（，1，－）·（－，2，0）＝0，
即⊥，∴AM⊥PM.
答案：
C
5．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正确说法的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
解析：
＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确．
答案：
C
6．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
解析：
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D（0，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），E（1，0，1），D1（0，0，2）．
所以＝（0，－1，1），＝（0，－1，2）．
所以cos〈，〉＝＝＝.
答案：
C
7．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为（ ）
A.aB.aC.aD.a
解析：
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A（a，0，0），C1（0，a，a），N（a，a，）．设M（x，y，z），
∵点M在AC1上
且＝，
（x－a，y，z）
＝（－x，a－y，a－z）
∴x＝a，y＝，z＝.
得M，
∴||＝
＝a.
答案：
A
8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
解析：
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1（0，0，1），E（1，0，），D（0，1，0），
答案：
B
9．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）
A.B.C.D.
解析：
如图所示：
S△ABC＝×××sin60°＝.
∴VABCA1B1C1＝S△ABC·OP
＝·OP＝，∴OP＝.
又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝，
又0<∠OAP<，∴∠OAP＝.
答案：
B
10．在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为（ ）
A.B.aC.D.a
解析：
根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，a）．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．
∵PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．
又△ABC为等边三角形，
∴H为△ABC的重心，则H.
∴PH＝＝a.
∴点P到平面ABC的距离为a.
答案：
B
11．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．
解析：
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n＝（x，y，z）为平面A1BC1的法向量．
则n·＝0，n·＝0，
即令z＝2，则y＝1，x＝2，
于是n＝（2，1，2），＝（0，2，0）
设所求线面角为α，则sinα＝|cos〈n，〉|＝.
答案：
12．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．
解析：
以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，
则C1（2，0，2），E（0，1，0），F（0，0，1），
则＝（0，－1，1），＝（2，0，2），
∴·＝2，
∴cos〈，〉＝＝，
∴EF和BC1所成的角为60°.
答案：
60°
13．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为________．
解析：
取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，
则A，B（0，－，0），
D.
∴＝，＝，＝.
设平面ABD的法向量为n＝（x0，y0，z0），
则·n＝0，且·n＝0，
∴＋z0＝0且x0＋＝0，
解之得y0－z0，且y0＝－x0，
取x0＝1，得平面ABD的一个法向量n＝（1，－，1），
由于＝为平面BCD的一个法向量．
∴cos〈n，〉＝，∴sin〈n，〉＝.
答案：
14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）．对于结论：
①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的序号是________．
15．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．
解析：
以C1为坐标原点建立如图所示的坐标系．
∵A1M＝AN＝，则M（a，，），N（，，a），
∴＝.
又C1（0，0，0），D1（0，a，0），
∴＝（0，a，0），
∴·＝0，∴⊥.
又是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，
∴MN∥平面BB1C1C.
答案：
MN∥平面BB1C1C
16．如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．
求证：
（1）PB∥平面EFH；
（2）PD⊥平面AHF.
证明：
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），H（1，0，0）．
（1）∵＝（2，0，－2），＝（1，0，－1），
∴＝2，∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
（2）＝（0，2，－2），＝（1，0，0），＝（0，1，1），
∴·＝0×0＋2×1＋（－2）×1＝0，
·＝0×1＋2×0＋（－2）×0＝0，
∴PD⊥AF，PD⊥AH，
又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.
17．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.
证明：
A1C⊥平面BB1D1D.
证明：
由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，如图．
∵AB＝AA1＝，∴OA＝OB＝OA1＝1，
∴A（1，0，0），B（0，1，0），C（－1，0，0），D（0，－1，0），A1（0，0，1）．由＝，易得B1（－1，1，1）．
∵＝（－1，0，－1），＝（0，－2，0），＝（－1，0，1），
∴·＝0，·＝0，
∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
18．如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（1）证明：
AC⊥B1D；
（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
（1）证明：
易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所成直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A（0，0，0），B（t，0，0），B1（t，0，3），C（t，1，0），C1（t，1，3），D（0，3，0），D1（0，3，3）．
从而＝（－t，3，－3），＝（t，1，0），＝（－t，3，0）．
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，
解得t＝或t＝－（舍去）．
于是＝（－，3，－3），＝（，1，0）．
因为·＝－3＋3＋0＝0，
∴⊥，则AC⊥B1D.
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