形式语言与自动机王柏杨娟编著课后习题答案.docx

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形式语言与自动机王柏杨娟编著课后习题答案

形式语言与自动机课后习题答案

第二章

4.找出右线性文法，能构成长度为1至5个字符11以字母为首的字符串。

答：

G=｛NXPZS｝

其中N二｛SABCD｝T二｛x，y｝其中x曰所有字母｝丫曰所有的字符｝P如下:

S—xS—xAA—yA-*yB

B~yB—yCC—yC—yDD—y

6.构造上下文无关文法能够产生

L={3/3W{a,b}*且3中a的个数是b的两倍}

■

答:

G={N,T,P,S}

其中N珂S}T={a,b}P如下：

S-*aabS-*abaS-*baa

S-*aabSS-*aaSbS—aSabS—Saab

S-^abaSS-*abSaS—aSbaS—Saba

S-*baaSS-*baSaS—bSaaS—Sbaa

7.找出由下列各组生成式产生的语言（起始符为S）

（1）S-SaSS-b

（2）S-*aSbS—c

⑶/

（4）S—aS—aEE—aS

答:

（1）b（ab）n/n^O}或者L={（ba）nb/n>0}

（2）L={ancbn/n>0}

（3）L={a2n+1/n^0}

第三章

1.下列集合是否为正则集，若是正则集写出其正则式。

（1）含有偶数个a和奇数个b的｛a,b｝*上的字符串集合

（2）含有相同个数a和b的字符串集合

（3）<

■4.不含子串aba的｛a,b｝*上的字符串集合

答：

（1）是正则集，口动机如下

⑵不是正则集，用泵浦引理可以证明，具体见17题

（2）。

⑶是正则集

先看『为包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合

显然这是正则集，可以写出表达式和画出自动机。

（略）则不包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合L是1/的非。

根据正则集的性质，L也是正则集。

4.对下列文法的生成式，找出其正则式

（1）G=（{S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S）,生成式P如下：

S~aAS—B

A-abSA~bB

B-bB-cC

C-DD-bB

D-d

（2）G=（{S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S）,生成式P如下：

S~aAS—B

A-cCA-bB

B~bBB—a

C-DC-abB

D-d

答：

（1）由生成式得：

S=aA+B①

A二abS+bB②

!

B=b+cC③

C=D④

D二d+bB⑤

③④⑤式化简消去CD,得到B=b+c（d+bB）

即B二cbB+cd+b=>B=（cb）*（cd+b）⑥

将②⑥代入①

S=aabS+ab（cb）*（cd+b）+（cb）*（cd+b）=>S=（aab）*（ab+£）（cb）*（cd+b）

（2）由生成式得：

S=aA+B①

A=bB+cC②

B=a+bB③

C=D+abB④

D=dB⑤

由③得B=b*a⑥

将⑤⑥代入④C=d+abb*a=d+ab+a⑦

将⑥⑦代入②A=b*a+c（d+b+a）⑧

将⑥⑧代入①S=a（b+a+c（d+ab+a））+b*a

=ab+a+acd+acab+a+b*a

5.为下列正则集，构造右线性文法：

⑴{a,b}*

（2）以abb结尾的由a和b组成的所有字符串的集合

（3）以b为首后跟若干个a的字符串的集合

⑸含有两个相继a和两个相继b的由a和b组成的所有字符串集合

答:

（1）右线性文法G=（{S},{a,b},P,S）

P:

S~aSS-bSS-£

（2）右线性文法G=（⑸,{a,b},P,S）

P:

S-*aSS-*bSS—abb

（3）此正则集为{ba*}

右线性文法G=（{S,A},{a,b},P,S）

）

P:

S—bAA—aAA—£

（4）此正则集为{{a/b}*aa{a,b}*bb{a,b}*/{a,b}*bb{a,b}*aa{a,b}*}右线性文法G=（{S,A,B,C},{a,b},P,S）

P:

S-^aS/bS/aaA/bbB

A—aA/bA/bbC

BfaB/bB/aaC

C-aC/bC/e

7.设正则集为a（ba）*

（1）构造右线性文法

（2）{

O）找出

（1）中文法的有限口b动机

答:

（1）右线性文法G=（{S,A},{a,b},P,S）

P:

S~aAA~bSA—£

（2）口动机如下：

9•对应图（a）（b）的状态转换图写出正则式。

（图略）

（1）由图可知qo二aqo+bqi+a+£

qi=aq2+bqiqo=aqo+bqi+a

=>qi=abqi+bqi+aaq0+aa

=（b+ab）qx+aaqo+aa

=（b+ab）*（aaqo+aa）

=>qo=aq0+b（b+ab）*（aaq0+aa）+a+£

=qo（a+b（b+ab）*aa）+b（b+ab）*aa+a+£

=（a+b（b+ab）*aa）*（（b+ab）*aa+a+£）

）

=（a+b（b+ab）*aa）*

（4）q0=aq1+bq2+a+b

qi=aqo+bq2+b

qo=aqi+bqo+a

=>q1=aq0+baq1+bbq0+ba+b

=（ba）*（aq0+bbq0+ba+b）

=>q2=aaqo+abq2+bqo+ab+a

=（ab）*（aaq0+bq0+ab+a）

=>q0=a（ba）*（a+bb）q0+a（ba）*（ba+b）+b（ab）*（aa+b）q0+b（ab）*（ab+a）+a+b=[a（ba）*（a+bb）+b（ab）*（aa+b）]*（a（ba）*（ba+b）+b（ab）*（ab+a）+a+b）

10•设字母表T={a,b}z找岀接受下列语言的DFA：

（1）含有3个连续b的所有字符串集合

（2）以aa为首的所有字符串集合

（3）以aa结尾的所有字符串集合

答:

（1）M=（{q0/qio.qojqj}）,其中°如下:

a

b

q。

•

qo

qi

qi

qo

q2

q2

q。

q3

Qb

（2）M=（{q0/qiq2JJa.b},o皿你}）,其中。

如下:

a

b

qo

q：

G

qi

C〔2

G

Qz

qz

（3）M=（{q0,qiq2}z{a,b},。

皿件}），其中。

如下:

a

b

qo

q：

qo

Qi

C12

q。

q2

C[2

q。

14构造DFAIVk等价于NFAM,NFAM如下：

（1）M=（{q0/qiq^qsLfa^},o亦©}）,其中。

如下：

0（q0,a）={q0/qi}。

（q0/b）={q0}

0（qi,a）={q2}o（qi/b）={q2}

o（q2,a）={q3}o（q2/b）=e

0（q3,a）={q3}o（q3/b）={q3}

（2）M=（{qoqq"*屜b},o，qo，{qie}），其中。

如下：

o（q0,a）={qlzq2}o（q°,b）二{q」

o（qba）={q2}o（qlzb）={qizq2}

0（q2,a）={q3}o（q2,b）={q。

}

（

0（Q3,a）=ea（q3/b）={q。

}

答:

（1）DFA{a”b}，o.（Qo]/{[qo/Qi/Q3]>[qo/h/b]，[Qo；口丄心心]}

其中Ch^[qojzlqozqi],[qo,qi,q2L[qo^qaLtqo,q»qo^i,qj」qo,q2,qJ」qo’qs]}S满足

a

b

[qo]

（qo,qj

[Qo]

e

[qo,qi]

[Qo/Qi/Qz]

[qo,q2]

[qo,qi,q2]

[qo,qi,^2,^3]

[qo.qz]

[qo,q2]

[Qo,qi/Q3）

[qo]

[Qo/AdQ2/Q3]

[qo,qi,^2,^3]

[Q0/Q2/Q3]

[Qo,qi/Q3）

[qo,qi,^2,^3]

[q%”Q3]

[Qo,q2/Q3）

[Qo,qi/Q3）

[Qo.qJ

[qo,q3]

[Qo,qi/Q3）

[qo,qj]

（2）DFAM讦{CL{a,b},oD[q（J，{[q[q»q血诃“亠环心]}其中Qi二{[qo]」qi,q儿[qj/q』」qoqeHqsqJ/qd[qi.q^qjjq^qj}

S满足

a

b

[qo]

（qi/Qs]

[q』

[qg]

[Qj

[qo,q「q2]

g]

[Qj

[qg]

[q2]

[qj

[qo]

<

[qo,qi,q21

[Q1/Q2/Q3]

[Qo/Qi/Qz]

[qg]

[qg]

[qo,q「q2]

[qsl

e

[qo]

[qi,q2,q3）

•

[qm』

[qo,q「q2】

[qg]

[qj

[qol

15.15•对下面矩阵表示的e-NFA

£

a

1

b

c

p（起始状态）

{p}

{q}

{r}

q

{p}

{q}

1

{r}

r（终止状态）

{q}

{r}

4）

{p}

⑴给出该口动机接收的所有长度为3的串

（2）将此£-NFA转换为没有£的NFA

答:

（1）可被接受的的串共23个，分别为aac,abc,acc,bac,bbc,bcc,caczcbc,ccc,caa,cabzcba,ebb,cca,ccb,bba,aca,acbzbca,beb,bab,bbb,abb

■

（2）£-NFA：

M=（{p,q,r},{a,b,c},o,p,ij其中。

如表格所示。

因为e-closure（p）=e

则设不含£的NFAIVk=（{p,q,r},{a,b,c},oi,p,r）

0i（p,a）=°/（P，a）=£-closure（o（o[p,z）,a））二{p}

oi（p,b）=o'（p’b）二£-closure（o（a，（p,e）,b））二{p,q}

0i（p,c）=o/（p/c）=£-closure（a（o'（p,£）,c））={pzq,r}

oi（q,a）=o/（q,a）=£-closure（o（o[q,£）,a））={p,q}

0i（q,b）=o/（q,b）=e-closure（0（o，（q,£Lb））={p,q,r}

0i（q,c）=o/（q/c）=e-closure（0（oz（q,£）,c））={p,qj}

oi（r,a）=o/（r/a）=e-closure（o（o#（rze）,a））={p,q』}

¥

o!

（r,b）=Ohb）二£-closurefo（o"£）,b））={pqr}

0i（r,c）=o'（r,c）二£-closure（o（a«e）/c））={p,q/r}

图示如下：

（r为终止状态）

abc

16.设NFAM=（{q0/qi}/{a,b}/o,q0/{qi}）,其中0如下:

0（qo,a）={qo,qi}°（q°,b）二{qj

°（q»a）=①0（q」）={q0/qj

构造相应的DFAM】，并进行化简

答:

构造一个相应的DFAMi={Qi,{a,b},oi,[q°],{[q[，[qo,qi]}其中Qi={[Qo]>[qj»[Qo/Qi]}

5满足

a

b

[qo]

（Qo,qi]

$

[qd

[qJ

巾

[qo,qj

[qo,qi]

（qo,qj

[qo,qi]

由于该DFA己是最简，故不用化简

17.使用泵浦引理，证明下列集合不是正则集：

（1）<

⑴由文法G的生成式S-aSbS/c产生的语言L（G）

（3）{3/3W{a,b}*且3有相同个数的a和b}

（4）{akca7k^l}

（5）{33/3W{a,b}*}

证明：

（1）在L（G）中，a的个数与b的个数相等假设L（G）是正则集,对于足够大的k取3"伽比

GJ=3]G）qCi）2

因为|3。

|>0|3丄3。

|Wk存在3。

使G）1G）oiG）2eL

所以对于任意3。

只能取3o=annG（0,k）

则3132=ak"n（an）'（cb）kc在i不等于0时不属]'L

A

与假设矛盾。

则L（G）不是正则集

（2）假设该集合是正则集，对于足够大的k取3=a5k

令3=G>i3o32

因为|3。

|>0|3丄3。

|Wk存在％使（UWoigWL

所以对于任意3。

只能取o0=annG（O,k）

则G）1woiQ2=ak"n（an）ibk在i不等于0时a与b的个数不同，不属于该集合与假设矛盾。

则该集合不是正则集

（3）假设该集合是正则集，对于足够大的k取3=aSak

令3=3i3°32

【人I为|3°|>0|3丄3°|Wk存在3°使3丄3*32GL

A

所以对于任意3。

只能取30=annG（O,k）

则G）1G）0,G）2=ak-n（anjicak在j不等于0时C前后a的个数不同,不属于该集合与假设矛盾。

则该集合不是正则集

（4）假设该集合是正则集，对于足够大的k取0G）=aWb

令3Ci）=G）1a）0（i>2

因为I3。

|>0I3丄3。

|Wk存在3。

使（UWoigWL

所以对于任意3。

只能取o0=annG（O,k）

则w1G）oi

与假设矛盾。

则该集合不是正则集

18•构造米兰机和摩尔机

对T{a,b}*的字符串，如果输入以bab结尾，则输出1；如果输入以bba结尾，则输出2；否则输出3。

答：

米兰机：

说明状态qaa表示到这个状态时，输入的字符串是以aa结尾。

其他同理。

b/3

摩尔机，状态说明同米兰机。

▲

第四章

10.把下列文法变换为无£生成式、无单生成式和没有无用符号的等价文法：

S-*A1IA2,Al—A31A4,A2-*A4IAs,A3-*S|b|£,A4-*S|a.As—S|d|£解：

⑴由算法3,变换为无£生成式：

N'={S,A1,A2,A3,A4,A5}

Gx=（{SDSZA】AAAA},{a,b,d},P-SJ，其中生成式P】如下：

Gi=（{S4A,B}，{a,b}，P-SJ，其中生成式P.如下:

Si-e|ASB|AB,

S-ASB|AB,

A—aAS|aA|a,

B-SBS|SB|BS|aAS|aA|a|bb,

⑶由算法1和算法2,消除无用符号（此题没有无用符号）;

⑷转化为等价的Chomsky范式的文法：

将SI-ASB变换为S~AC,C-SB,

将S-ASB变换为S-AC,

将A-aAS|aA变换为A-ED|EA,D-AS,E-a,

将B-SBS|aAS|aA|a|bbz变换为B-CS|ED|EA|FF,F-b,⑸由此得出符合题目要求的等价文法：

Gi=（{SDS,A,B,C,D},{a,b},Pj,S’），其中生成式P】如下:

S1-eIACIABz

S-AC|AB,

A-ED|EA|az

B-CS|SB|BS|ED|EA|a|FF,

C-SB,

D-AS,

E—a”

15.将下列文法变换为等价的Greibach范式文法：

（1）S-DD|a,D-SS|b

解：

将非终结符排序为S,D,S为低位,D为高位，

（1）对于D-SS,用S-DD|a代入得D-DDS|aS|b,用引理变化为D-aS|b|aSD1|bD1zD?

-DS|DSD\

（2）将D生成式代入S生成式得S-aSD|bD|aSD'D|bD0|a,

（3）将D生成式代入D，生成式得

D‘-aSS|bS|aSD*S|bD*S|aSSD1|bSD*|aSD'SD1|bD*SD1z（

⑷由此得出等价的Greibach范式文法：

Gi=（{S,D,D，},{a,b},Pj,S），其中生成式Pi如下：

SfaSDIbDIaSD'D|bD'D|a,

D-aS|b|aSD1|bD\

D‘-aSS|bS|aSD*S|bD'S|aSSD1|bSD*|aSD'SD*|bD*SD*・

（2）Ai〜Asb|A2a,A2—A^b|A2A2a|b,A3-^Aia|A3A3b|a解：

⑴转化为等价的Chomsky范式的文法：

AiA3A4IA2A5,

A2〜A2A4IA2A6Ib,

A3fA1A5IA3A7Ia,

A4—b,

A5—a,

%fA2A5/

A?

fR皿.

⑵转化为等价的Greibach范式的文法：

将非终结符排序为Ai,A2/A3/A4,A5,Ai为低位As为高位，

1对于A2-*AiA4，用Ai-A3A4IA2A5代入得A2-A3A4A4IA2A5A4IA2A6Ib.用引理变化为

AzfA3A4A41bIA3A4A4AJ1bA2zz

A/-A5A4A2'IAgAJIA5A4IA6/

2对于As-AiA5/用Ai-A3A4IA2A5代入得A3-A3A4A5IA2A5A5IA3A7Ia.a3生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符，将a2生成式代入a3生成式得

AmfA3A4AsIA3A4A4A5A5IbA5A5IA3A4A4A2'A5A5IbA2?

AsA5|A3A7|a,用引理变化为

Am〜bA5A5IbA2”A5A5IaIbA5A5A3"|bA2‘A5A5A3'|,

A/〜A4A5IA4A4A5A5IAaMA：

A5A5IA7IAaAsA,IA4A4A5A5A3'I人4£人2虫5人5人3‘I

3对于As〜A2A5，将A2生成式代入As生成式得

A6-A3A4A4A5IbA5IAsAaA^A/As|bAfAs,

A6生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符，将A3生成式代入A6生成式得

人6»bAsAsAaA^AsIbA?

A5A5A4A4A5|aA4A4A5|bAjAjAjA4A4A5jbA?

A5A5A3A4A4A5IaA3A4A4A5IbAsAsAdZKsjA?

A5|bA?

A5A5A4A4A2A5|aAaAaA?

A5|bAsAsA3，A4A4A2，A5|bA2，AsA5A3/A4A4A2，As||bA2”As|bAs,

4对于A?

-A3A4,将A3生成式代入A7生成式得

A7bA5A5A4IbAz'AsAsAa|aA4|bAsAsA/Aa|bAz^AsAsAs^a|aA3?

A4,

5将A〉A&生成式代入A/生成式得

K2〜I匕人5人5阳人亦5人2‘|bd：

A44444；\3虹4山5皿|

匕人5人5人3‘人山山5人2"IbAz'AsAsAs'AdAdAsAz"I8人3‘人4人4人5人2"I匕人5人5人4人小2"人5^2|

bA2/A5A5A4A4A2/A5A2,|3\bAsAsA/AaAaAfA5A2'|

匕人2"人5人5人3虫亦亦2虫5人2"|aA/A4A4A2'A5A2'|匕人2虫5人2‘|bA5A2"|adj|bA5A5A4A4A5IbA?

A5A5A4A4A5IaA4A4A5IbAsAsAsA4A4A5|bA?

A5A5A3A4A4A5|aA3,A4A4A5IbAsAsA^Az^s|bA2/A5A5A4A4A2/A5|aAa/WVAs|bA5A5A3,A4A4A2/A5|匕人2虫5人5人3虫亦亦2虫5|aA*44^4；A5\bA2#AsIbAs/

将£,A7生成式代入A,生成式得

A3aaAsIaA^A^As|aA4A2A5A5|aAsAj|aA4A5A5A3|aA4A2A5A5A3|bA5A5A4|bAz^sAsAaIaA4IbAsAsAs^|bA2/A5A5A3/A4|aA^Ad|bAsAsA^A,|bA2/A5A5A4A3/IaA4A3"IbAsAsAs'AdA3"IbA2"AsAsA3"A4A3"|aASAaA,,

⑶由此得出等价的Greibach范式文法：

Gi=（{S,D,D'},{a,b},Pj,S），其中生成式Pi如下:

AifA3A4IA2A5,

A2->A3A4A4IbIA3A4A4A2/IbA

A3bA5A5IbAz^sAsIa|bAsAsA3/|bA2/AsAsA3，|aA3*,

A4—b,

A5—a,

AefbAsAsAoAoAs|bA2?

AsAsA4A4As|qAaAaAs|bAsAsAs^AAoAs|匕人2‘人5人5人3虫山亦5|aA,氏aA山5|bAsAsAaAAAz^AsIbAz^sAsAdAaAz^As|As\

bA5A5A3/A4A4A2,A5|bAjAsAsA/AAAA|aA3/A4A4A2/A5|bA/A5|bA5/

A7"*bA5A5A4IbA/AsAsAaIaAa|bAsAsAs'Aa|bA2*AsAsA3fA4|aA3/A4/

Af-a；IbAsAs/UU^Aj|3/4443\aA4A4A5A2/|

bA5A5A3/A4A4A5A2/|IaA3/A4A4A5A2/|泳444皿足A/|

bA2/AsAsA4A4A2，A5A2，|aA4A4A2?

AsA2?

|bAsA5A3/A4A4A2，AsA2/|

匕人“皿工皿“九IaA3/A4A4A2,A5A2/|bA/AsA/|bA5A2#|aA4