矩形环夫琅禾费衍射规律的研究.docx

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矩形环夫琅禾费衍射规律的研究

题目矩形环夫琅禾费衍射规律的研究

学生姓名任强学号1210014024

所在学院物理与电信工程学院

专业班级物理学（物理1201）

指导教师潘峰

完成地点陕西理工学院

2016年6月6日

矩形环夫琅禾费衍射规律的研究

任强

（陕西理工学院物理与电信工程学院物理学专业1201班，陕西汉中723000）

指导老师：

潘峰

[摘要]夫琅禾费衍射是指光源和观察幕离障碍物均为无穷远的衍射现象，又称为远场衍射。

文章讨论了不同边长及波长的矩形孔夫琅禾费衍射的光强分布，并用Mathematica软件对矩形环的夫琅禾费衍射进行了模拟。

在软件中建立衍射的数学模型，对光强分布进行计算并仿真，最后以图形的方式直观的输出计算结果。

即可得出矩形环夫琅禾费衍射的规律。

[关键词]光的衍射；矩形环夫琅禾费衍射；Mathematica；计算机仿真

引言

光在传播的工程中，遇到障碍物时，会发生绕过障碍物偏离直线传播，部分光线会进入障碍物的阴影区域，并在该区域出现明暗相间（光强分布不均匀）的现象，把这种现象称之为光的衍射[1]。

光的衍射现象经过惠更斯-菲涅尔原理后，通过基尔霍夫衍射公式得到衍射光强的分布规律。

由于光的夫琅禾费衍射便于计算，同时在现代光学应用和光学成像系统方面应用较为重要。

随着计算机技术的迅速发展，利用计算机对光学现象进行仿真也成为一种可能。

Mathematica是一款集数值分析、符号运算、图形处理、系统仿真等功能于一体的科学与工程计算软件，它具有编程效率高、简单易学、人机交互好、可视化功能、拓展性强等优点，利用Mathematica编程仿真光学现象只需改变程序中的参数，就可以生成不同实验条件下的光学图像，使实验效果更为形象逼真。

在理论研究中，能快速的验证实验理论。

本文将利用计算机软件Mathematica对光的夫琅禾费衍射规律和现象进行模拟，进一步分析矩形孔下光的夫琅禾费衍射现象[1]。

1惠更斯-菲涅尔原理

在波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相同的子波源；在其后任何点的光振动，就是这些子波叠加的结果。

如图1.1所示，S为点波源，M为从S发出的球面波在某时刻到达的波面M，P为波场中的某个点。

把M面分割成无穷多的面元dM，把每个面元dM看成发射次波的波源，从所有面元发射的次波将在P点相遇[2]。

一般情况下，由各面元dM到P点的光程是不同的，从而在P点引起的振动位相不同，P点的总振动就是这些次波在这里相干叠加的结果。

图1.1面积元dM发出次波

惠更斯－菲涅耳原理可以表述如下：

波前上每一个面元都可看成是新的振动中心，它们发出次波（频率与入射波相同）；在空间某一点P的振动是所有这些次波在该点的相干叠加。

如图1.1所示。

点光源M在波面M′上任一点Q产生的复振幅为，

（1.1）

式中，A是离点光源单位距离处的振幅，R是波面M′的半径。

在Q点处取面元，面元发出的子波在P点产生的复振幅与在面元上的复振幅、面元大小和倾斜因子K（θ）成正比。

面元在P点产生的复振幅可以表示为，

（1.2）

K（θ）表示子波的振幅随面元法线与QP的夹角θ的变化。

（θ称为衍射角）c为一常数,r=QP。

菲涅耳假设：

当时θ=0，倾斜因子K有最大值，随着增加θ↑，K减小，当θ≥π/2时，K=0。

对P点产生作用的将是波面M′中界于ZZ′范围内的波面M上的面元发出的子波。

则，

（1.3）

此即为惠更斯－菲涅耳原理的菲涅耳表达式，结合（1.1）式此关系式还可推广为下式，即，

（1.4）

2菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式

对于单色点光源S发出的球面波照明无限大不透明屏上孔径M的情况，计算P点的场值。

若孔径线度比波长大，但比孔径到S和P的距离小得多。

则由亥姆霍兹一基尔霍夫积分定理选取包围P点的闭合曲面，它由三部分组成孔径∑；不透明屏右侧M1；以P为中心，R为半径的部分球面M2。

则P点的场强值，

（2.1）

对于M1和M2面，基尔霍夫假定，

①在孔径M上，

和的值由入射波决定，与不存在不透明屏时完全相同。

即，

（2.2）

（2.3）

表示外向法线与从S到上某点Q的矢量之间夹角的余弦。

②在不透明屏右侧M1上，假定，

（2.4）

假定①②称为基尔霍夫边界条件：

对于M2，在M2上，R=r,并则对M2上的积分关系，

（2.5）

为M2对P点所张的立体角。

在辐射场中，

（2.6）

而是有界的则

时，可不考虑M2的贡献，

（2.7）

将（2.3）和带入上式，并考虑到1/r、1/l比k值小的多。

则，

（2.8）

此即为菲涅尔-基尔霍夫衍射公式。

图2.1光经过孔径M的情况

3夫琅禾费衍射公式

菲涅尔-基尔霍夫衍射公式在一定条件下及时对一些极简单的衍射问题，也会因为被积函数形式复杂而得不到解析形式的积分结果。

为此，必须根据实际情况做进一步近似处理-旁轴近似[3]。

在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些鱼光学系统光轴夹角极小的旁轴光线，而通常情况下，衍射屏开孔的线度和观察屏上的考檫范围都远小于开孔到观察屏的距离，因此，可以作以下两个近似[4]：

（1）取式（2.8）中,因为倾斜因子k（Q）表示次波的振幅在各个方向上是不同的，其值介于0和1。

如果一平行光垂直入射到开孔上，则，，因此。

（2）式（2.8）中的r表示的是QP的距离，由于很大，古可得r=Z1这样，式（2.8）就可以简化为，

（3.1）

图3.1矩形孔的衍射

当单色平面光波垂直照射矩形孔时，会因为平面光波距离圆孔距离远近的不同产生不同的衍射图样。

因此，可将衍射区划分为衍射效应可以忽略的集合投影区域、衍射效应不能忽略的近场衍射区，将其中的远场衍射又称为夫琅禾费衍射[5]。

如图3.1所示设，则有坐标关系可得，

（3.2）

对该式作二项式展开，有，

（3.3）

当z1大到使得上式及第三项引起的相位变化远远小于π时，即，

（3.4）

上面的第三项以及以后的各项都可以略去，简化为，

（3.5）

当观察屏离孔的距离很远时，使得（3.5）中的第四项满足，

（3.6）

进一步简化为，

（3.7）

这一近似称为夫琅禾费近似，在这个区域内观察到的衍射现象称为夫琅禾费衍射。

在夫琅禾费近似下，P点的光场复振幅为，

（3.8）

（3.8）即为夫琅禾费衍射公式[13]。

4矩形环夫琅禾费衍射

如图3.1所示的矩孔：

（4.1）

取矩孔中心作为坐标原点,则观察屏上的P点的复振幅为，

（4.2）

平面波入射，

（4.3）

（4.4）

对于轴上的点P0,x=y=0,则其复振幅：

（4.5）

故，P点（x,y）的复振幅为，

（4.6）

P点的强度，

（4.7）

（4.8）

此即为夫琅禾费矩形环衍射的强度分布公式[14]。

夫琅禾费矩形环衍射的强度分布公式讨论，x轴上的点强度分布：

此时，对应强度分布公式：

（4.9）

时，（P0点）有主极大I/I0=1，处，有极小值I=0

其零强度点（暗点）满足条件：

（4.10）

显然，相邻两个零强度点间的距离与宽度a成反比。

此外，在两个零强度间有一强度次极大，其位置由，

（4.11）

决定。

y轴上点的强度分布，同x轴情况。

中央亮斑可以认为是衍射扩展的主要范围，它的边缘在x和y轴上分别由，

（4.12）

决定。

用坐标表示，则有，

（4.13）

时，有几何光学结果。

5用Mathematica模拟矩形孔衍射图样

夫琅禾费衍射的装置入图5.1所示，平行光正入射到衍射屏上，衍射后面放一个凸透镜，在凸透镜的后焦平面上放一个接收屏，所接收的图像就是衍射光在无限远处形成的干涉图样（的微缩版）。

图5.2是衍射屏坐标与衍射角坐标的示意图。

根据夫琅禾费衍射理论，衍射场的振幅分布为[15]，

（5.1）

其中u（x,y）是衍射屏的透射函数，而α和β是方向坐标，λ是光的波长。

积分遍及整个衍射屏M。

图5.1夫琅禾费衍射装置图5.2衍射的角坐标示意图

衍射强度的分布为，

（5.2）

把U（α,β）分成实部和虚部来计算，

（5.3）

两个部分分别为，

（5.4）

（5.5）

从理论上讲，按以上两个积分公式计算U1、U2是没有问题的，因为积分函数NIntergrate[]可以进行二重积分。

但是，实际计算却发现，直线积分速度太慢。

如果把积分改为求和，速度比积分要快许多，于是[12]，

（5.6）

（5.7）

矩形孔下的透射函数形式，

（5.8）

从U1、U2的表达式中可以看出，它们都是α、β的函数，而在实际接收的衍射图上，用直角坐标系表示衍射图样强度比较方便[6]，将衍射强度改为接收屏上的直角坐标x′、y′来表示。

设在图5.2中衍射屏到接收屏的距离为1，则不难证明，

（5.9）

（5.10）

通过Mathematica计算出的衍射图样如下[8][9]，

①波长为0.6μm，矩形环为边长为10μm的正方形。

程序没有定义u函数，因为取样点全部局限在矩形环内，幅度为1。

（a）三维衍射图（b）二维衍射图（c）y轴光强分布图

图5.3波长为0.6μm，边长为10μm×10μm的矩形环夫琅禾费衍射图样

②波长为0.6μm，矩形环为边长为20μm的正方形。

（a）三维衍射图（b）二维衍射图（c）y轴光强分布图

图5.4波长为0.6μm，边长为20μm×20μm的矩形环夫琅禾费衍射图样

③波长为0.6μm，矩形环为边长为10×20μm的长方形。

（a）三维衍射图（b）二维衍射图（c）y轴光强分布图

图5.5波长为0.6μm，边长为10μm×20μm的矩形环夫琅禾费衍射图样

④波长为0.8μm，矩形环为边长为10×10μm的正方形。

（a）三维衍射图（b）二维衍射图（c）y轴光强分布图

图5.6波长为0.8μm，边长为10μm×10μm的矩形环夫琅禾费衍射图

⑤波长为0.6μm，矩形环为边长为10×60μm的长方形。

（a）三维衍射图（b）二维衍射图（c）y轴光强分布图

图5.7波长为0.6μm，边长为10μm×60μm的矩形环夫琅禾费衍射图样

以上是对于矩形孔的衍射图样，再次基础上讨论矩形环的衍射图样如下：

图5.8夫琅禾费衍射矩形环

如图5.8，设有边长为2a的正方形小孔，在孔内有边长为a的正方形不透光阴影，用单色平行光垂直照射该孔径，使其光斑投影到距离该孔径z的光屏上。

孔径的振幅透射函数可以表示为两个矩形函数之差，即，

（5.11）

孔径平面的透射光场为，

（5.12）

其傅里叶变换为，

（5.13）

此即为孔径的频谱，其中，，当其沿x方向的频谱分布为，

（5.14）

把5.13式代入夫琅禾费衍射方程，则得孔径的夫琅禾费衍射分布为，

（5.15）

其对应光强分布为

（5.15）

用Mathematica画出式（5.15）的图形入下图所示，

（a）三维衍射图（b）二维衍射图（c）y轴光强分布图

图5.9波长为0.6μm，外边长为20×20μm，内边长为10×10μm的矩形环衍射图样

（a）三维衍射图（b）二维衍射图（c）y轴光强分布图

图5.10波长为0.6μm，外边长为20×20μm，内边长为5×5μm的矩形环衍射图样

6结论

（1）明暗相间的衍射条纹与对应矩形的边平行。

（2）中央亮条纹光强度最大，光强度随着级数的增加，迅速减弱。

（3）由光强分布图可知，中央亮条纹宽度是各次极大亮条纹宽度的2倍。

（4）由图5.3和图5.6比较可知，波长越长衍射效应越显著；波长越短，衍射效应越不明显。

（5）由图5.3和图5.4比较可知，随着矩形环边长的增加，条纹变窄、变密。

从衍射强度曲线也可以看出，随着矩形环边长的增加，其中央明纹的宽度在减小，衍射效果也逐渐的不明显。

（6）由图5.3、图5.5和图5.7比较可知，随着矩形环宽度的减小，横轴方向能显示的条纹级数和位置虽然没有变化，但逐渐被拉长了。

纵轴方向能显示的条纹级数在减少，即衍射效果逐渐明

显，最后变成了单缝衍射图样，从衍射强度曲线也可以看出，随着矩形环宽度的减少，其中央明纹的宽度在增加，衍射效果也逐渐的明显。

（7）由图5.9可矩形环夫琅禾费衍射，其图形成最高点分别处于四边方向的为值，并以此减小。

四个边上的孔会分别发生衍射进行叠加。

（8）由图5.9和5.10比较可知，在矩形环的宽度越大，其衍射强度越小。

7结语

文章根据惠更斯-菲涅尔原理，得出基尔霍夫衍射公式，利用Mathemathica软件编程，模拟了矩孔夫琅禾费衍射的图样分布，通过改变矩形环的边长以及单色光的波长等参数，准确直观的反映出矩形环夫琅禾费衍射相应的三维二位衍射图样以及其光强分布。

这种计算机仿真方法打破了传统实验的局限，以更低廉的成本、更精确的模型、更准确的描述语言，扩展了矩形环夫琅禾费衍射问题的研究途径与方法，具有一定的应用价值。

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TheresearchofFraunhoferdiffractionpatternonrectangularring

RenQiang

（Grade2012,Class1201,Department,PhysicsandTelecommunicationEngineering,ShaanxiUniversityOfTechnology,Hanzhong,723000,Shaanxi）

Tutor:

PanFeng

Abstract:

TheFraunhoferdiffractionreferstoalightsourceandtheobservationscreenareobstaclesfrominfinitydiffractionphenomenon,alsoknownasthefar-fielddiffraction.ThispaperdiscussesthedifferentwavelengthsideandarectangularholeFraunhoferdiffractionlightintensitydistribution,anduseMathem-

maticasoftwareFraunhoferdiffractionrectangularringwassimulated.Establishedmathematicalmodelinsoftwarediffraction,lightintensitydistributioncalculationandsimulation,finalgraphicallyintuitiveoutputsthecalculationresult.TodrawrectangularringFraunhoferdiffractionpattern.

Keywords:

lightdiffraction;rectangularringFraunhoferdiffraction;Mathematica;ComputerSimulation