《数据结构课程设计》最短路径问题实验报告.docx
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《数据结构课程设计》最短路径问题实验报告
一、概述 .........................................1
二、系统分析 .....................................1
三、概要设计 .....................................2
四、详细设计 .....................................5
4.1 建立图的存储结构 ...........................5
4.2 单源最短路径 ...............................6
4.3 任意一对顶点之间的最短路径 .................7
五、运行与测试 ...................................8
参考文献 ........................................11
附录 ............................................12
交通咨询系统设计（最短路径问题）
一、概述
在交通网络日益发达的今天，针对人们关心的各种问题，利用
计算机建立一个交通咨询系统。
在系统中采用图来构造各个城市之
间的联系，图中顶点表示城市，边表示各个城市之间的交通关系，
所带权值为两个城市间的耗费。
这个交通咨询系统可以回答旅客提
出的各种问题，例如：
如何选择一条路径使得从 A 城到 B 城途中中
转次数最少；如何选择一条路径使得从 A 城到 B 城里程最短；如何
选择一条路径使得从 A 城到 B 城花费最低等等的一系列问题。
二、系统分析
设计一个交通咨询系统，能咨询从任何一个城市顶点到另一城
市顶点之间的最短路径（里程）、最低花费或是最少时间等问题。
对
于不同的咨询要求，可输入城市间的路程、所需时间或是所需费用
等信息。
针对最短路径问题，在本系统中采用图的相关知识，以解决在
实际情况中的最短路径问题，本系统中包括了建立图的存储结构、
单源最短问题、对任意一对顶点间最短路径问题三个问题，这对以
上几个问题采用了迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
并未本系统设
置一人性化的系统提示菜单，方便使用者的使用。
0
三、概要设计
可以将该系统大致分为三个部分：
1 建立交通网络图的存储结构；
2 解决单源最短路径问题；
3 实现两个城市顶点之间的最短路径问题。
交通咨询系统
建立
图的
存储
结构
义
迪杰斯
特拉算
法（单
源最短
路径）
费洛依
德算法
（任意
顶点对
间最短
路径）
迪杰斯特拉算法流图：
1
弗洛伊德算法流图：
2
3
四、详细设计
4.1 建立图的存储结构
定义交通图的存储结构。
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻
关系的矩阵。
设 G=（V,E）是具有 n 个顶点的图，则 G 的邻接矩阵是
具有如下定义的 n 阶方阵。
⎧Wij，若（Vi , Vj ）或 < Vi , Vj >∈ E（G）
⎪
⎩
注：
一个图的邻接矩阵表示是唯一的！
其表示需要用一个二维
数组存储顶点之间相邻关系的邻接矩阵并且还需要用一个具有 n 个
元素的一维数组来存储顶点信息（下标为 i 的元素存储顶点 Vi 的信
息）。
邻接矩阵的存储结构：
#define MVNum 100 //最大顶点数
typedef struct
{
VertexType vexs[MVNum];//顶点数组，类型假定为 char 型
Adjmatrixarcs[MVNum][MVNum];//邻接矩阵，假定为 int 型
}MGraph;
注：
由于有向图的邻接矩阵是不对称的，故程序运行时只需要
输入所有有向边及其权值即可。
4
4.2 单源最短路径
单源最短路径问题：
已知有向图（带权），期望找出从某个源点
S∈V 到 G 中其余各顶点的最短路径。
迪杰斯特拉算法即按路径长度递增产生诸顶点的最短路径算法。
算法思想：
设有向图 G=（V,E），其中 V={1,2，……n}，cost 是
表示 G 的邻接矩阵，
cost[i][j]表示有向边的权。
若不存在有向边，则
cost[i][j] 的权为无穷大（这里取值为 32767）。
设 S 是一个集合，
集合中一个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经
求出。
设顶点 V1 为源点，集合 S 的初态只包含顶点 V1。
数组 dist
记录从源点到其它各顶点当前的最短距离，其初值为 dist[i]=
cost[i][j]，i=2，……n。
从 S 之外的顶点集合 V-S 中选出一个顶
点 w，使 dist[w] 的值最小。
于是从源点到达 w 只通过 S 中的顶点，
把 w 加入集合 S 中，调整 dist 中记录的从源点到 V-S 中每个顶点 v
的距离：
从原来的 dist[v]和 dist[w]+cost[w][v]中选择较小的值
作为新的 dist[v]。
重复上述过程，直到 S 中包含 V 中其余顶点的
最短路径。
最终结果是：
S 记录了从源点到该顶点存在最短路径的顶点集
合，数组 dist 记录了从源点到 V 中其余各顶点之间的最短路径，
5
path 是最短路径的路径数组，其中 path[i]表示从源点到顶点 i 之
间的最短路径的前驱顶点。
4.3 任意一对顶点之间的最短路径
任意顶点对之间的最短路径问题，是对于给定的有向网络图
G=（V,E）,要对 G 中任意一对顶点有序对，“V,W（V≠W）”，找出 V 到 W
的最短路径。
而要解决这个问题，可以依次把有向网络图中每个顶
点作为源点，重复执行前面的迪杰斯特拉算法 n 次，即可求得每对
之间的最短路径。
费洛伊德算法的基本思想：
假设求从 Vi 到 Vj 的最短路径。
如果
存在一条长度为 arcs[i][j]的路径，该路径不一定是最短路径，还
需要进行 n 次试探。
首先考虑路径和是否存在。
如果
存在，则比较路径和的路径长度，取长度较短者为
当前所求得。
该路径是中间顶点序号不大于 1 的最短路径。
其次，
考虑从 vi 到 vj 是否包含有顶点 v2 为中间顶点的路径<
vi,…,v2,…,vj>，若没有，则说明从 vi 到 vj 的当前最短路径就是前
一步求出的；若有，那么可分解为和
，而这两条路径是前一次找到的中间点序号不大于 1 的最
短路径，将这两条路径长度相加就得到路径的长度。
将该长度与前一次中求得的从 vi 到 vj 的中间顶点序号不大于 1 的最
短路径比较，取其长度较短者作为当前求得的从 vi 到 vj 的中间顶点
序号不大于 2 的最短路径。
依此类推……直至顶点 vn 加入当前从 vi
6
到 vj 的最短路径后，选出从 vi 到 vj 的中间顶点序号不大于 n 的最
短路径为止。
由于图 G 中顶点序号不大于 n，所以 vi 到 vj 的中间顶
点序号不大于 n 的最短路径，已考虑了所有顶点作为中间顶点的可
能性，因此，它就是 vi 到 vj 的最短路径。
五、运行与测试
测试实例 1：
利用如下图所示的有向图来测试
1
61
17
7
13
3
32
76
74
2
26
6
64
4
56
45
5
测试实例 2：
利用下图求交通网络图（无向图）的最短路径。
西安
2553
北京
1
704
812
2
695
4
徐州
成都
511
3
349
5
郑州
651
1579
2368
广州
6
1385
7
上海
7
实例 1 运行结果：
8
实例 2 运行结果：
9
六、总结与心得
该课程设计主要是从日常生活中经常遇到的交通网络问题入手，
进而利用计算机去建立一个交通咨询系统，以处理和解决旅客们关
心的各种问题（当然此次试验最终主要解决的问题是：
最短路径问
题）。
这次试验中我深刻的了解到了树在计算机中的应用是如何的神
奇与灵活，对于很多的问题我们可以通过树的相关知识来解决，特
别是在解决最短路径问题中，显得尤为重要。
经过着次实验，我了解到了关于树的有关算法，如：
迪杰斯特
拉算法、弗洛伊德算法等，对树的学习有了一个更深的了解。
参考文献
【1】《数据结构》严蔚敏.清华大学出版社.
10
【2】《数据结构课程设计》苏仕华.极械工业出版社.
11
附录
#include
#include
#define MVNum 100
#define Maxint 32767
enum boolean{FALSE,TRUE};
typedef char VertexType;
typedef int Adjmatrix;
typedef struct{
VertexType vexs[MVNum];
Adjmatrix arcs[MVNum][MVNum];
}MGraph;
int D1[MVNum],p1[MVNum];
int D[MVNum][MVNum],p[MVNum][MVNum];
void CreateMGraph（MGraph * G,int n,int e）
{
int i,j,k,w;
for（i=1;i<=n;i++）
G->vexs[i]=（char）i;
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
G->arcs[i][j]=Maxint;
printf（"输入%d 条边的 i.j 及 w:
\n",e）;
for（k=1;k<=e;k++）{
scanf（"%d,%d,%d",&i,&j,&w）;
G->arcs[i][j]=w;
}
printf（"有向图的存储结构建立完毕！
\n"）;
}
void Dijkstra（MGraph *G,int v1,int n）
{
int D2[MVNum],p2[MVNum];
int v,i,w,min;
enum boolean S[MVNum];
for（v=1;v<=n;v++）{
S[v]=FALSE;
D2[v]=G->arcs[v1][v];
if（D2[v]p2[v]=v1;
else
12
p2[v]=0;
}
D2[v1]=0; S[v1]=TRUE;
for（i=2;imin=Maxint;
for（w=1;w<=n;w++）
if（!
S[w] && D2[w]{v=w;min=D2[w];}
S[v]=TRUE;
for（w=1;w<=n;w++）
if（!
S[w] && （D2[v]+G->arcs[v][w]D2[w]=D2[v]+G->arcs[v][w];
p2[w]=v;
}
}
printf（"路径长度路径\n"）;
for（i=1;i<=n;i++）{
printf（"%5d",D2[i]）;
printf（"%5d",i）;v=p2[i];
while（v!
=0）{
printf（"<-%d",v）;
v=p2[v];
}
printf（"\n"）;
}
}
void Floyd（MGraph *G,int n）
{
int i,j,k,v,w;
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
{
if（ G->arcs[i][j]!
=Maxint）
p[i][j]=j;
else
p[i][j]=0;
D[i][j]=G->arcs[i][j];
}
for（k=1;k<=n;k++）
{
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
{
if（D[i][k]+D[k][j]
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D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];
p[i][j]=p[i][k];
}
}
}
}
void main（）
{
MGraph *G;
int m,n,e,v,w,k;
int xz=1;
G=（MGraph *）malloc（sizeof（MGraph））;
printf（"输入图中顶点个数和边数 n,e:
"）;
scanf（"%d,%d",&n,&e）;
CreateMGraph（G,n,e）;
while（xz!
=0）{
printf（"************求城市之间最短路径************\n"）;
printf（"=========================================\n"）;
printf（"1.求一个城市到所有城市的最短路径\n"）;
printf（"2.求任意的两个城市之间的最短路径\n"）;
printf（"=========================================\n"）;
printf（"请选择 :
1 或 2，选择 0 退出:
\n"）;
scanf（"%d",&xz）;
if （xz==2）{
Floyd（G,n）;
printf（"输入源点（或起点）和终点:
v,w:
"）;
scanf（"%d,%d",&v,&w）;
k=p[v][w];
if （k==0）
printf（"顶点%d 到 %d 无路径!
\n",v,w）;
else
{
printf（"从顶点%d 到 %d 最短路径路径是:
%d",v,w,v）;
while （k!
=w）{
printf（"--%d",k）;
k=p[k][w];
}
printf（"--%d",w）;
printf（"径路长度:
%d\n",D[v][w]）;
}
}
else
if（xz==1）
printf（"求单源路径，输入源点 v :
"）;
14
scanf（"%d",&v）;
Dijkstra（G,v,n）;
}
printf（"结束求最短路径，再见!
\n"）;
}
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