Microsoft Word 二元一次方程组人教版数学.docx
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MicrosoftWord二元一次方程组人教版数学
8.1二元一次方程组
【教学目标】
知识与技能：
能说出二元一次方程、二元一次方程组和他的解的概念；会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解.
过程与方法：
通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系.
情感态度与价值观：
通过对本课知识的探究与应用，提高学生的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.
【教学重难点】
教学重点：
二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义.
教学难点：
弄懂二元一次方程组解的含义.
教具准备：
小黑板
教法：
引导-讲授
学法：
观察-探究
课时：
1课时
课型：
新授课
授课时间：
【教学过程】
一、创设情境，导入课题
古老的“鸡兔同笼问题”
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？
”
师：
这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？
学生思考自行解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，班级集体讨论给出各种解决方案．
方案一：
算术方法
把兔子都看成鸡，则多出94－35×2=24只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，故，由此可先求出兔子有24÷2=12只，进而鸡有35－12=23只．或类似的也可以先求鸡的数量．35×4－94=46，46÷2＝23
方案二：
列一元一次方程解
设有x只鸡，则有（35－x）只兔．根据题意，得2x十4（35－x）=94.
（解方程略）
教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，“元”是指什么？
“次”是指什么？
二、分析问题
（一）讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念
上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？
（若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？
让学生自己设未知数，列方程）
方案三：
设有x只鸡，y只兔，依题意得
x＋y=35，①
2x＋4y=94.②
针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：
（1）、你能给这两个方程起个名字吗？
（2）为什么叫二元一次方程呢？
（3）什么样的方程叫二元一次方程呢？
结合学生的回答，教师板书定义1：
含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程．
在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①②两个方程．把①②两个二元一次方程结合在一起，用花括号来连接．我们也给它起个名字，叫什么好呢？
定义2：
把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
（二）讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念
探究活动：
满足x＋y=35的值有哪些？
请填入表中：
X
…
y
…
教师启发：
（1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？
（2）你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？
（3）它与一元一次方程的解有什么区别？
定义3：
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解，记为
问：
那么什么是二元一次方程组的解呢？
学生讨论达成共识：
二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程．即：
既是方程①又是方程②的解．
定义4：
二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．
比如：
从方案一，我们知道，x=23，y=12使方程组中每一个方程成立．所以我们把x=23，y=12叫做
的解记为：
注意：
二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，表示“且”．
议一议：
将上述“鸡兔同笼”问题的三种方案进行优劣对比，你有哪些想法呢？
三、巩固新知
例1下列各对数值中是二元一次方程x＋2y=2的解是（）
A
B
C
D
解法分析：
将A、B,C,D中各对数值逐一代人方程检验是否满足方程，选A,B,C.
完成教科书94页练习.
四、课堂小结
本节课学习了哪些内容？
你有哪些收获？
五、布置作业
必做题：
习题8.1第3,4题
选做题：
习题8.1第5题
板书设计：
8.1二元一次方程组
二元一次方程：
二元一次方程的解例题
二元一次方程组练习
二元一次方程组的解
教学后记：
8.2消元——二元一次方程组的解法
（1）
【教学目标】
知识与技能：
使学生学会用代人消元法解二元一次方程组.
过程与方法：
理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法.
情感态度与价值观：
逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想.
【教学重难点】
教学重点：
用代入法解二元一次方程组.
教学难点：
代入消元法的基本思想.
教具准备：
小黑板
教法：
讲授
学法：
探究
课时：
第1课时
课型：
新授课
授课时间：
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
体育节要到了．篮球是初一
（1）班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么初一
（1）班应该胜、负各几场？
你会用二元一次方程组解决这个问题吗？
根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程．
那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？
二、探索新知
1.引导：
什么是二元一次方程组的解？
（方程组中各个方程的公共解）
满足方程①的解有：
，
，
，
满足方程②的解有：
，
，
，
…
这两个方程的公共解是
2.这个问题能用一元一次方程来解决吗？
学生思考并列出式子．
设胜x场，负（22－x）场，解方程
2x＋（22－x）=40③
观察：
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
教师可通过提问进一步引导．
（1）在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？
（2）方程组中方程②所表示的等量关系是什么？
（3）方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？
（4）怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？
结合学生的回答，教师做出讲解．
由方程①进行移项得y=22－x,
由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用（22-x）来代换，
即得2x+（22－x）=40.由此一来，二元化为一元了．
解得x=18.
问题解完了吗？
怎样求y
将x=18代入方程y=22－x，得y=4.
能代入原方程组中的方程①②来求y吗？
代入哪个方程更简便？
这样，二元一次方程组的解是
归纳：
这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．（板书课题）
三、巩固新知
例1用代入法解方程组
解：
把①代入②，得
3（y＋3）-8y＝14
所以y=－1
把y=－1代人①，得x=2.
所以
教师引导学生思考下列问题：
（1）选择哪个方程代人另一方程？
其目的是什么？
（2）为什么能代？
（3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？
（4）把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？
（5）怎样知道你运算的结果是否正确呢？
（与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算）
例2（为例1的变式）解方程组
解：
由①得，y=
，③
把③代人②，得（问：
能否代入①中？
）
3x－8（
）=14，
所以－x=－10,
x=10.
把x=10代入③，得
y=
所以y=2
所以
（本题可由一名学生口述，教师板书完成）
四、课堂小结
合作交流：
你从上面的学习中体会到代人法的基本思路是什么？
主要步骤有哪些呢？
与你的同伴交流．
五、布置作业
必做题：
习题8.2第1题，第2
（1）
（2）题
选做题：
习题8.2第5题
（1）
板书设计：
8.2消元——二元一次方程组的解法
（1）
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1.变形例1
2.代入例2
3.求解
4.回代
5.写解
教学后记：
8.2消元——二元一次方程组的解法
（2）
【教学目标】
知识与技能：
使学生熟练地掌握用代人法解二元一次方程组.
过程与方法：
使学生进一步理解代人消元法所体现出的化归意识.
情感态度与价值观：
体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
【教学重难点】
教学重点：
学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组.
教学难点：
进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归意识.
教具准备：
小黑板
教法：
讲授
学法：
观察归纳
课时：
第2课时
课型：
新授课
授课时间：
【教学过程】
一、复习引入
1.请你编一个能用代人法求解的二元一次方程组，考考你的同桌，看看他是否掌握了．
2.结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤．
二、探究新知
例2：
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：
5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
（教科书97页）
学生独立分析，列出方程组，全班交流．
解：
设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则
引导学生思考：
问题1：
此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？
（两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为1）
问题2：
能用代入法来解吗？
问题3：
选择哪个方程进行变形？
消去哪个未知数？
列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：
审、设、列、解、检、答．
三、巩固新知
练习1：
用代入法解下列方程组．
（1）
（2）
练习2.分层练习：
A层：
1.将二元一次方程5x＋2y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y=；化成用含有y的式子表示x的形式是x=。
2．已知方程组：
指出下列方法中比较简捷的解法是（）
A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②；
B利用①，用含y的式子表示x，再代入②；
C.利用②，用含x的式子表示y,再代入①；
D.利用②，用含x的式子表示x，再代人①;
B组
3、用代入法解方程组：
（1）
（2）
C组
4、解方程组：
5、已知方程组
的解为
，求a、b
四、课堂小结
1、这节课你学到了哪些知识和方法？
2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？
五、作业布置
必做题：
习题8.2第2（3）（4）题
选做题：
习题8.2第4题
板书设计：
8.2消元——二元一次方程组的解法
（2）
列二元一次方程组解
应用题的一般步骤分为：
例题
审、设、列、解、检、答练习
教学后记：
8.2消元——二元一次方程组的解法（3）
【教学目标】
知识与技能：
掌握用加减法解二元一次方程组.
过程与方法：
使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.
情感态度与价值观：
体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心.
【教学重难点】
教学重点：
学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组.
教学难点：
用“加减法“解二元一次方程组.
教具准备：
小黑板
教法：
引导-讲授
学法：
探究
课时：
第3课时
课型：
新授课
授课时间：
【教学过程】
一、创设情境
王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？
比一比看谁求得快．
最简便的方法：
抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．
二、探究新知
1.解方程组
（由学生自主探究，并给出不同的解法）
解法一：
由①得：
x=
y代人方程②，消去x.
解法二：
把2x看作一个整体，由①得2z=－1－3y,代入方程②，消去2x.
肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高．
有没有更简洁的解法呢？
教师可做以下启发：
问题1.观察上述方程组，未知数z的系数有什么点？
（相等）
问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？
（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．
解法三：
①－②得：
8y=－8,所以y=－1
Y=－1代人①或②，得到x=1
所以原方程组的解为
2.变式一
问题1.观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？
（互为相反数）
问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去x吗？
（两个方程的两边分别对应相加，就可消去x，得到一个一元一次方程．）
从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
想一想：
能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等.
3.变式二：
观察：
本例可以用加减消元法来做吗？
启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成整数倍数关系．
因此：
②×2，得4x－10y=14③
由①－③即可消去x，从而使问题得解．（追问：
③－①可以吗？
怎样更好？
）
4.变式三：
想一想：
本例题可以用加减消元法来做吗？
让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
分析得出解题方法：
解法1：
通过由①×3，②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
解法2：
通过由①×5，②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
怎样更好呢？
通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．
归纳：
用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解．
三、巩固新知
完成教科书第102页练习
四、课堂小结
回顾：
用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？
这种方法的适用条件是什么？
步骤又是怎样的？
五、布置作业
必做题：
习题8.2第3题
选做题：
习题8.2第6题
8.2消元——二元一次方程组的解法（4）
【教学目标】
知识与技能：
熟练掌握加减消元法.
过程与方法：
能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组.
情感态度与价值观：
通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性.
【教学重难点】
教学重点：
能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组.
教学难点：
教材中例4的数量关系较复杂，是本课的难点.
教具准备：
小黑板
教法：
引导
学法：
探究
课时：
第4课时
课型：
新授课
授课时间：
【教学过程】
一、创设情境
复习提问
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
它们的实质是什么？
2.数学诗
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟．
归时四分行六百，风速多少才称雄？
请一名学生解释诗歌大意：
孙悟空顺风去查妖精的行踪，仅用4分钟就飞跃千里．逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？
学生思考，根据题中等量关系，列出方程．
设悟空行走速度为x里／分，风速为y里／分，则
你会解这个方程组吗？
二、探究新知
学生独立完成后．在班级里交流解法．
解法一：
①＋②，消去y，得8x=1600
∴x=200，代人①，得y=50
原方程组的解为
解法二：
①－②，消去x。
以下略．
解法三：
整体代入．由①得：
4x=1000－4y，代入②，消去x.
同理，也可消去y.
解法四：
化简原方程组为
再利用加减消元，或代入消元均可．
试着从各个角度比较“代入法”与“加减法”的共同点与不同点．（同学间相互交流）它们各适用于什么情况？
当方程组中某一个未知数的系数绝对值是1或一个方程的常数项为零时，用代入法较方便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整倍数时，用加减法较方便．
练习1：
根据方程组的特点选择更适合它的解法．你会怎样解呢？
（第1，2小题完成后再出示第3小题．
（1）
（2）
（3）
第1小题用代入法，第2小题用加减法，都很明确，第3小题有争议．全班分成两部分．1、2大组用代入法做，3、4大组用加减法做．比较两解法的简便程度．
三、实际应用
1.完成教材第101页例4.
2.教科书102页练习2,3
四、课堂小结
本节课学习了哪些内容？
你有哪些收获？
五、布置作业
必做题：
习题8.2第7,8题
选做题：
习题8.2第9题
板书设计：
8.2消元——二元一次方程组的解法（4）
例例题
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟．
归时四分行六百，风速多少才称雄？
教学后记：
8.3实际问题与二元一次方程组
（1）
【教学目标】
知识与技能：
能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组.
过程与方法：
经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型.
情感态度与价值观：
培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化.
【教学重难点】
教学重点：
以方程组为工具分析，解决含有多个未知数的实际问题.
教学难点：
确定解题策略，比较估算与精确计算.
教具准备：
小黑板
教法：
启发
学法：
探究
课时：
第1课时
课型：
新授课
授课时间：
【教学过程】
一、创设情境
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．
（出示问题）养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20kg,每只小牛1天约需用饲料7～8kg.你能否通过计算检验他的估计？
二、探索分析，解决问题
判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：
1、先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验．
2、根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．
学生在比较探究后发现用方法二较简便．
设问1：
如果选择方法二，如何计算平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量？
（有前面几节的知识准备，学生可以回答）
列方程组求解．
主要思路：
学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．
解：
设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg.
找出相等关系列方程组
解这个方程组，得
这就是说，平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg.饲养员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确
设问2：
以上问题还能列出不同的方程组吗？
结果是否一致？
个别学生可能会列出如下方程组
但结果一致．
三、课堂练习
《一千零一夜》中有这样一段文字：
有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：
“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
四、课堂小结
提问：
通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤？
学生思考后回答、整理：
①设未知数．②找相等关系．③列方程组．④检验并作答．
五、布置作业
必做题：
习题8.3第3,5题
选做题：
习题8.3第8题
板书设计：
8.3实际问题与二元一次方程组
（1）
①设未知数．
②找相等关系．例题
③列方程组．练习
④检验并作答．
教学后记：
8.3实际问题与二元一次方程组
（2）
【教学目标】
知识与技能：
能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组.
过程与方法：
经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
情感态度与价值观：
学会开放性地寻求设计方案，培养分析.
【教学重难点】
教学重点：
经历和体验用方程组解决实际问题的过程.
教学难点：
用方程组刻画和解决实际问题的过程.
教具准备：
小黑板
教法：
引导
学法：
探究-归纳
课时：
第2课时
课型：
新授课
授课时间：
【教学过程】
一、创设情境
前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．
（出示问题）据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：
1：
5，现要在一块长200m，宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：
4（结果取整数）？
以上问题有哪些解法？
学生自主探索，合作交流，整理思路：
（1）先确定有两种方法分割长方形；再分别求出两个小长方形的面积；最后计算分割线的位置．
（2）先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置．
（3）设未知数，列方程组求解．
学生经讨论后发现列方程组求解较为方便．
二、合作交流，解决问题
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路
（1）设未知数
（2）找相等关系
（3）列方程组
（4）检验并作答
如图，一种种植方案为：
甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组
解这个方程组得
过长方形土地的长边上离一端约106m处，把这块地分
为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．
你还能设计别的种植方案吗？
用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长
方形．
三、课堂练习
小颖在拼图时，发现8个一样大小的矩形（如图1所示），恰好可以拼成一个大的矩形．
小彬看见了，说：
“我来试一试．”结果小彬七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2mm的小正方形！
你能帮他们解开其中的奥秘吗？
提示学生先动手实践，再分析讨论．
四、课堂小结
你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？
五、布置作业
必做题：
习题8.3第4题
选做题：
习题8.3第7题
8.3实际问题与二元一次方程组
（2）
解决实际问题的基本思路
设未知数
找相等关系
列方程组
检验并作答
板书设计：
8.3实际问题与二元一次方程组（3）
【教学目标】
知识与技能：
会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组.
过程与方法：
进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
情感态度与价值观：
培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值.
【教学重难点】
教学重点：
用列表的方式分析题目中的各个量的关系
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