数列通项公式的求法较全.docx
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数列通项公式的求法较全
常见数列通项公式的求法
公式:
等差数列的定义冬-A）
等差欲列的通项公式％-尊-1心
等差数列〜等差数列的求和公式&=：
（%+?
）=件
等差数列的性演气-J=o-—“〔也一时=尸+9）
■
等比教列丽定义三二M2）
等比数列责通1员芸式外=勺矿”
等比教列}
等比戮列前球和公我土T*
W技率=1}
等比数列的性质=a.a^m+h=j?
+^）
1、定义法
若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时，只需求出a1与d或a1与q,再代入公式ana1n1d或
anaiqn1中即可.
例1、成等差数列的三个正数的和等于
15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn的b3,b4,b5,
求数列bn的的通项公式
，4—,、心.…一、.・*・・
练习：
数列an是等差数列，数列bn是等比数列，数列cn中对于任何nN都有
127
cnanbn,c10,c2—,c3—,c4—，分力U求出此二个数列的通项公式^
6954
2、累加法
形如an1anfn已知:
昌型的的递推公式均可用累加法求通项公式
（1）当fnd为常数时，an为等差数列，则ana1n1d；
（2）当fn为n的函数时，用累加法
方法如下：
由
an1an
fn得
当n2时，
anan1
fn1
an1an2
fn2
L
a3a2f
2,
a2a1f
1,
以上n1/
卜等式累加得
ana〔f
n1+fn
2Lf2f1
ana1
fn1+f
n2Lf2f1
（3）已知a1
an1an
fn,其中fn可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通
项.
1若fn可以是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
2若fn可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
3若fn可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
4若fn可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和
例2、数列an中已知ai1,anian2n3,求an的通项公式
练习1：
已知数列an满足an1an3n2且a12,求an.
an
-y1—，求求an的通项公式.
nn
1
练习3：
已知数列an洒足a1-,an1
2
3、累乘法
形如普fn已知4型的的递推公式均可用累乘法求通项公式
给递推公式
an1
an
fn
nN
中的n依次取1,2,3,••-
…，n1,可得到下面n1个式子
a9
工f1,
a3
f2,
色f3
L,表fn1.
a〔
a2
a3
an1
利用公式an
a1
a2
a3a4|
L
n,an0,nN
可得：
a1
a2a3
an1
anaf
1
f2
f3L
fn1.
例3、已知数列an满足a12,an1—Lan求an.
3n1,
an2
练习1：
数列an中已知ai1,,求an的通项公式
ann
2
nana”〔a”0,求an的通项公式
练习2：
设an是首项为1的正项数列，且（n1）a2i
4、奇偶分析法
（1）对于形如an1anfn型的递推公式求通项公式
1当an1andd为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.
2当fn为n的函数时，由an1anfn,anan1fn1两式相减，得到
an+1an1fnfn1，分奇偶项来求通项.
例4、数列an满足a11,an1an4,求an的通项公式.
练习：
数列an满足a16,an1an
6,求an的通项公式
例5、数列an满足a10,an1an2n,求an的通项公式
练习1：
数列an满足a11,an1ann1,求an的通项公式
练习2：
数列an满足a12,an1an3n1,求an的通项公式
（2）对于形如an1anfn型的递推公式求通项公式
1当an1andd为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.
afn..
2当fn为n的函数时，由an1anfn,anan1fn1两式相除，得到一丑，分奇偶项
anifn1
来求通项.
例6、已知数列印满足a〔2,an1an4,求a”的通项公式.
2,求an的通项公式.
2
练习：
已知数列印满足a1-,an1an
例7、已知数列
印满足a〔
3,an1an
3
练习1：
数列an满足ai2,ania”3n,求a”的通项公式
练习2：
数列an满足ai1,anian2n,求an的通项公式
5、待定系数法（构造法）
若给出条件直接求an较难，可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列，从而根据等差或者等比数列的定
义求出通项.常见的有：
⑴
an1panqp,q为常数anitpant,构造ant为等比数列.
⑵
anipantpt,p^Knint
pp
⑶
anatcin[tda为常数两边同时除以p卫色t再参考类型〔
anipantqI,p,q/J中以nin与大士1
qqq
（4）
anipanqnrp,q,r是常数aninipann
（5）
an2pani+qanan2tanipanitan，构造等比数列anitan
例8、已知数列an中，a11,an12an3,求an.
练习：
已数列an中，a1
1,e
an1,则an
2
例9、已知数列an中，a13,an1
n1
3an3,求an的通项公式
练习1：
已知数列an中，a13,an2an12n,贝Uan.
2n
练习2：
已知数列an中，a1—,an13an43,求an的通项公式
3
例10、已知数列an满足an1
n1
6an2,a〔1,求a『
练习1：
设数列｛an｝满足ai1,ani3an2n,则an
n1
…一一，…一.511.
练习2：
已知数列an中，a1—,an1—a”-，求a”.
632
练习3：
已知数列annN的满足：
a1
3k,an4n13an1n2,k1，kR
（1）判断数列
an
是否成等比数列;
（2）求数列an的通项公式
例11、数列an中已知a11,an12an3n,求an的通项公式
练习1：
数列an中已知a12,an1
3ann2,求an的通项公式
练习2：
数列an中已知a12,an1
2
3an2nn2,求an的通项公式
例12、已知数列an中，a5,a2
练习1：
已知数列an中，a11,a22,an+2
2,an2ani+3an2n3,求求a”的通项公式
21
—an+1+-an，求求an的通项公式
33
练习
2：
在数列｛an）中，a11,a2
3一
一，an2
5
3
—an1
5
2…
-an，令bn
3
an1
an
⑴
求证：
数列｛bn）是等比数列，并求
bn。
（2）求数列｛an）的通项公式
6、利用an与，［1的关系
an1
如果给出条件是an与Sn的关系式，可利用an$$2求解'
例13、已知数列an的前n项和为Snn22n3，求an的通项公式
练习1：
已知数列an的前n项和为Sn
12-,v十、
一nn3,求an的通项公式
4n
练习2：
若数列an的前n项和为Sn
3an3,求an的通项公式
2
练习3：
已知数列an前n项和Sn
1
4an~^2,求an的通项公式
7、倒数法
（1）an
⑵an1
pan
qanp
pan
qan
例14、已知数列
an
练习：
已知数列
an
例15、已知数列
an
an
an1
panan
1是等差数列
an
qantt1
pan
pan
满足a1=1,a
2an
3an
中，a13,an1
满足a〔=1,an
an
12an
2an1
3an1
，则an
an的通项公式.
an的通项公式.
练习：
已知数列an中，a12,an1全」，则an
31an
8、an1pa：
p0,an0
两边取对数
lga：
iIgprIga：
转化为a：
1pa：
q型
例16、已知数列a：
中，a1100,a：
1
2
10a：
求a：
练习：
已知数列
a：
中，a12,a：
1
9、其他
例17、已数列
a：
中，a〔
a：
a：
1a：
则数列通项a：
例18、在数列
a：
1,
：
＞2时，a：
、S：
、S：
—1成等比数列.
2
（1）求a2,a3,a4；
（2）求数列
a：
的通项公式.
例19、已知在等比数列｛an｝中，a11,且a2是a1和a31的等差中项.
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）若数列bn满足b12b23b3LnbnannN，求数列bn的通项公式
例20、已知等差数列｛an｝的首项a1=1,公差d>0,且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列｛bn｝的第二项,
第三项，第四项.
（1）求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；
（2）设数列｛Cn｝对任意正整数n,均有3全冬攵an1,求cn.
b1b2b3bn'
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