勾股定理学习提纲.docx
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勾股定理学习提纲
一、勾股定理
勾股定理:
（又叫勾股弦定理）
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
西方许多国家称之为毕达哥拉斯定理。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。
《周髀算经》约成书于公元前二世纪，是我国最古老的天文学著作。
《周髀算经》原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。
例如公元前1700年的一块泥板上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。
问下端（C）离墙根（B）多远？
”他们解此题就是用了勾股定理，如图
勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法。
证明1：
（课本证法）
画两个边长为（a+b）的正方形，并如图分割，个分割出四个以a、b为直角边，c为斜边的直角三角形。
这两个正方形全等，故面积相等。
左图与右图共八个直角三角形都全等，左右四个三角形面积之和必相等。
从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。
左图剩下两个正方形，分别以a、b为边，面积为
。
右图剩下以c为边的正方形，面积为
。
于是
a2+b2=c2。
证明2：
（赵爽证明）
以a、b为直角边（b>a），以c为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于
.把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90º，
∴∠EAB+∠HAD=90º，
∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,
∠HEF=90º.
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于
.
∴
∴
.
证法3：
（1876年美国总统证明）
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于
.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠AED+∠ADE=90º,
∴∠AED+∠BEC=90º.
∴∠DEC=180º―90º=90º.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于
.
又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
∴
∴
勾股数：
满足勾股定理的一组整数。
一些勾股数：
1.（3、4、5） 2.（5、12、13） 3.（6、8、10）
4.（7、24、25） 5.（8、15、17） 6.（9、40、41）
7．（10、24、26） 8.（11、60、61） 9.（12、35、37）
10.（13、84、85）11.（15、112、113） 12.（20、21、29）
13.（20、99、101）14.（60、91、109） 15.（48、55、73）
练习：
1、在△ABC中,∠C=90°.
（1）若a=2,b=3则以c为边的正方形面积是多少?
（2）若a=5,c=13.则b是多少?
.（3）若c=61,b=11.则a是多少?
（4）若a∶c=3∶5且c=20则b是多少?
2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于______cm.
3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为_____cm.
6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_______。
7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。
8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25B、14C、7D、7或25
9、证明：
若a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc （k为正整数）也是勾股数。
10、n为正整数，且n＞1，①证明：
2n,n2－1，n2+1是勾股数②按此结论，写出3组勾股数。
11、m、n为正整数，且m＞n，证明：
m2－n2，2mn，m2+n2是勾股数。
12、证明：
下列三数是勾股数
13、证明：
下列三数是勾股数
二、勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.并且第三边是斜边。
先看看以下几对定理：
如果两个角是对顶角,那么它们相等。
如果两个角相等,那么它们是对顶角。
如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧。
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎。
两直线平行,内错角相等。
内错角相等,两直线平行
所以一个定理正确，它的逆命题可能正确也可能错误。
勾股定理的逆定理的证明：
已知:
如图
（1）,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:
△ABC是直角三角形.
证明:
作Rt△A/B/C/使∠C′=90°，A/C/=AC,B/C/=BC（如图
（2））,则
A/C/2+B/C/2=A/B/2（勾股定理）.
∵AC2+BC2=AB2（已知）,
A/C/=AC，B/C/=BC（作图）,
∴AB2=A/B/2（等式性质）.
∴AB=A/B/（等式性质）
∴△ABC≌△A/B/C/（SSS）.
∴∠A=∠A/＝90°（全等三角形的对应角相等）.
∴△ABC是直角三角形（直角三角形意义）.
练习：
1、下列各组能组成直角三角形的是（）
A、4、5、6B、2、3、4C、11、12、13D、8、15、17
2、判断由线段
、
、
组成的三角形是不是直角三角形：
（1）
；
（2）
．
2、三角形的两边长分别为3和4，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边的平方是多少？
3、设a>b>0，已知a+b，a－b是三角形较小的两边，那么，当第三边的平方为_______时，这个三角形是直角三角形。
4、如图，在△ABC中，已知AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.
求证:
AB=AC.
5、如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26，求四边形ABCD的面积
三、怎样走最近
图1，从点综合楼到实验楼，最短的的路径是那条？
图2中，蚂蚁从A爬到B，最短的路径是哪条？
从A到C呢？
从A到D呢？
圆柱的高为8cm,底面直径6cm
在图2中，蜜蜂从A飞到B呢？
图3中，吸管最长多少？
最短呢？
圆柱的高为8cm,底面直径6cm
图4中，AB多长？
长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、12cm
在图5中，从A爬到G最近的路径是哪条？
长方体的长、宽、高分别为12cm、3cm、4cm。
（3）
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