三角形的三边关系基础知识讲解.docx

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三角形的三边关系基础知识讲解

三角形的三边关系（基础）知识讲解

文字语言

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．

图形语言

作图语言

过点A作AD⊥BC于点D．

取BC边的中点D，连接AD．

作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．

标示图形

符号语言

1．AD是△ABC的高．

2．AD是△ABC中BC边上的高．

3．AD⊥BC于点D．

4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．

（或∠ADC＝∠ADB＝90°）

1．AD是△ABC的中线．

2．AD是△ABC中BC边上的中线．

3．BD＝DC＝BC

4．点D是BC边的中点．

1．AD是△ABC的角平分线．

2．AD平分∠BAC，交BC于点D．

3．∠1＝∠2＝∠BAC．

推理语言

因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．

（或∠ADB＝∠ADC＝90°）

因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．

因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．

用途举例

1．线段垂直．

2．角度相等．

1．线段相等．

2．面积相等．

角度相等．

注意事项

1．与边的垂线不同．

2．不一定在三角形内．

—

与角的平分线不同．

重要特征

三角形的三条高（或它们的延长线）交于一点．

一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．

一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．

要点五、三角形的稳定性

   三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.

要点诠释：

（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．

（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

  （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．

【典型例题】

类型一、三角形的定义及表示

1．如图所示．

（1）图中共有多少个三角形?

并把它们写出来；

（2）线段AE是哪些三角形的边?

（3）∠B是哪些三角形的角?

【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考．

【答案与解析】

解：

（1）图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．

（2）线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．

（3）∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．

【总结升华】在

（1）问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重复、不遗漏地找出所有的三角形；在

（2）问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；（3）问的突破口是∠B一定在以B为一个顶点组成的三角形中．

举一反三：

【变式】如图，以A为顶点的三角形有几个？

用符号表示这些三角形．

【答案】3个,分别是△EAB,△BAC,△CAD.

类型二、三角形的三边关系

2.（四川南充）三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是（）

【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．

【答案】D

【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．

【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：

①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．

【高清课堂：

与三角形有关的线段例1】

举一反三：

【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.

（1）3，4，5；

（2）3，5，9；（3）5，5，8.

【答案】

（1）能；

（2）不能；（3）能.

3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.

【答案】

【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是│2-7│

5

【总结升华】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│

举一反三：

【变式】（浙江金华）已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________（写出一个即可）

【答案】5，注：

答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．

类型三、三角形中重要线段

4.（江苏连云港）小华在电话中问小明：

“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?

”小明提示：

“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）．

【答案】C

【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．

【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．

举一反三：

【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．

【答案】

解：

所画三角形的高如图所示．

5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．

【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：

①AD＝BD，②△BCD的周长比

△ACD的周长大3．

【答案与解析】

解：

依题意：

△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，

故有：

BC+CD+BD-（AC+CD+AD）＝3．

又∵CD为△ABC的AB边上的中线，

∴AD＝BD，即BC-AC＝3．

又∵BC＝8，∴AC＝5．

答：

AC的长为5cm．

【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．

举一反三：

【变式】如图所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且，则为________．

【答案】1

类型四、三角形的稳定性

6.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即AB、CD），这样做的数学道理是什么?

【答案与解析】

解：

三角形的稳定性．

【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．