高中数学必修2空间立体几何大题.docx

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高中数学必修2空间立体几何大题

必修2空间立体几何大题

一．解答题（共18小题）

1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60

（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；

（2）证明：

在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．

3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）

（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：

平面AEF⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．

5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：

6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．

（Ⅰ）证明：

AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．

7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；

（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；

8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：

平面AEC⊥平面BED；

Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

9．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．

（Ⅰ）求证：

EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：

平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．

10．如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．

（1）求证：

MN∥平面BCD；

（2）求证：

平面BCD⊥平面ABC．

11．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．

（1）求证：

BF⊥AC；

（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．

12．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．

求证：

（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：

AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：

几何体EG﹣ABCD的体积．

13．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

（1）求证：

DM∥平面APC；

（2）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．

14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：

平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且

PQ∥AB，C1Q⊥QR

（1）求证：

C1Q⊥平面PQR；

（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．

16．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

（1）证明BC1∥平面A1CD

（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A1DE的体积．

17．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．

根据图乙解答下列各题：

Ⅰ）求证：

CB⊥DE；Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；

18．如图：

是直径为的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，，E为

FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：

面BCE⊥面CDF；

（Ⅱ）求证：

QR∥平面BCD；

（Ⅲ）求三棱锥F﹣BCE的体积．

必修2空间立体几何大题

参考答案与试题解析

一．解答题（共18小题）

1．（2015?

北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB

（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：

综合题；空间位置关系与距离．

分析：

（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面

MOC；

（2）证明：

OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB

（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．

解答：

（1）证明：

∵O，M分别为AB，VA的中点，

∴OM∥VB，

∵VB?

平面MOC，OM?

平面MOC，

∴VB∥平面MOC；

（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，

∵平面VAB⊥平面ABC，OC?

平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC?

平面MOC，

∴平面MOC⊥平面VAB

（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB=，

∵OC⊥平面VAB，

∴VC﹣VAB=?

S△VAB=，

∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．

﹣﹣

点评：

本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．

2．（2015?

安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60

（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；

（2）证明：

在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．

考点：

专题：

分析：

棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．综合题；空间位置关系与距离．

（1）利用VP﹣ABC=?

S△ABC?

PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；

（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PA于点M，连接BM，证

明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求

（2）

由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．

因为BM?

平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB?

cos∠BAC=，

从而NC=AC﹣AN=．

由MN∥PA得==．

点评：

本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

3．（2015?

黑龙江）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）

（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．

专题：

综合题；空间位置关系与距离．

分析：

（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；

两部分体积的比值．

解答：

解：

（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；

（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，

=6，AH=10，HB=6，即可求平面

于是

MH=

=6，

AH=10，

HB=6．

因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．

点评：

本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

4．（2015?

湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：

平面AEF⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．

点评：

本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．

B1C∩BC1=E．

5．（2015?

江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1．

考点：

直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：

证明题；空间位置关系与距离．

分析：

（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；

（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．

解答：

证明：

（1）根据题意，得；

E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE?

平面AA1C1C，AC?

平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；

（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC?

平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，

CC1?

平面BCC1B1，BC?

平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1?

平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1?

平面B1AC，所以BC1⊥AB1．

点评：

本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．

6（．2015?

重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．

（Ⅰ）证明：

AB⊥平面PFE．

（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．

考点：

直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：

开放型；空间位置关系与距离．

分析：

解答：

（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB．又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB⊥平面PEF．（Ⅱ）设BC=x，可求AB，S△ABC，由EF∥BC可得△AFE≌△ABC，求得

S△AFE=S△ABC，由AD=AE，可求S△AFD，从而求得四边形DFBC的面积，由（Ⅰ）

知PE为四棱锥P﹣DFBC的高，求得PE，由体积VP﹣DFBC=SDFBC?

PE=7，即可解得线段BC的长．

解：

（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE?

平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．

因为∠ABC=，EF∥BC，

故AB⊥EF，

从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，

所以AB⊥平面PEF．

x

由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高．

故得x4﹣36x2+243=0，解得x2=9或x2=27，由于x>0，可得x=3或x=3．所以：

BC=3或BC=3．

点评：

本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空

间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．

7．（2015?

福建）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；

Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；

Ⅲ）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．

考点：

直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（Ⅰ）由题意可证AC⊥DO，又PO⊥AC，即可证明AC⊥平面PDO．

（Ⅱ）当CO⊥AB时，C到AB的距离最大且最大值为1，又AB=2，即可求△ABC面积的最大值，又三棱锥P﹣ABC的高PO=1，即可求得三棱锥P﹣ABC体积的最大值．

Ⅲ）可求PB===PC，即有PB=PC=BC，由OP=OB，C′P=C′B，可证E

为PB中点，从而可求OC′=OE+EC′==，从而得解．

解答：

解：

（Ⅰ）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，

所以AC⊥DO，

又PO垂直于圆O所在的平面，

所以PO⊥AC，

因为DO∩PO=O，

所以AC⊥平面PDO．

（Ⅱ）因为点C在圆O上，

所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，

又AB=2，所以△ABC面积的最大值为，

又因为三棱锥P﹣ABC的高PO=1，故三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：

．

（Ⅲ）在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，

所以PB==，

同理PC=，所以PB=PC=BC，

在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示，

当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值，

又因为OP=OB，C′P=C′B，

所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点．

从而OC′=OE+EC′==．

亦即CE+OE的最小值为：

．

点评：

本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．

Ⅱ

G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

考点：

平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：

平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．

解答：

证明：

（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∵BE⊥平面ABCD，

∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，

∵AC?

平面AEC，

∴平面AEC⊥平面BED；

解：

（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，

∵AE⊥EC，△EBG为直角三角形，

∴BE=x，

∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，

解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，

即AC=，

在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，

∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，

则AE2+EC2=AC2=12，

即2AE2=12，

∴AE2=6，

则AE=，

∴从而得AE=EC=ED=，

∴△EAC的面积S==3，

在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE=，AF==，

则EF=，

∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，

评：

以及体积公式．

9．（2015?

天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．

（Ⅰ）求证：

EF∥平面A1B1BA；

（Ⅱ）求证：

平面AEA1⊥平面BCB1；

（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．

考点：

平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（Ⅰ）连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；

（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得．

解答：

（Ⅰ）证明：

连接A1B，在△A1BC中，

∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B?

平面A1B1BA，EF?

平面A1B1BA，

∴EF∥平面A1B1BA；

（Ⅱ）证明：

∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，

∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE?

平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，

∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于B1B，

∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，

又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，

∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，

在RT△A1MB1中，A1B1==4，

在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，

∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°

10．（2015?

醴陵市）如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．

（1）求证：

MN∥平面BCD；

（2）求证：

平面BCD⊥平面ABC．

考点：

平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；

（2）由线面垂直的性质和判定定理，可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定

理，即可得证．

解答：

证明：

（1）因为M，N分别是AC，AD的中点，

所以MN∥CD．

又MN?

平面BCD且CD?

平面BCD，

所以MN∥平面BCD；

（2）因为AB⊥平面BCD，CD?

平面BCD，

所以AB⊥CD．

又CD⊥BC，AB∩BC=B，

所以CD⊥平面ABC．

又CD?

平面BCD，

点评：

本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，考查空间直线和平面的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．

11．（2015?

葫芦岛一模）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．

（1）求证：

BF⊥AC；

（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．

考点：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题：

计算题；空间位置关系与距离．

分析：

（1）欲证BF⊥AC，先证BF⊥平面AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE⊥BF，BF⊥AE且CE∩AE=E，即可证得线面垂直；

（2）VF﹣BCE=VC﹣BEF=?

S△BEF?

CE=?

?

EF?

BF?

CE，即可求出三棱锥F﹣BCE的体积．

解答：

（1）证明：

∵AB⊥平面BEC，CE?

平面BEC，∴AB⊥CE∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE．

∵BE?

平面ABE，AB?

平面ABE，BE∩AB=B

∴CE⊥平面ABE，

∵BF?

平面ABE，

∴CE⊥BF，

又BF⊥AE且CE∩AE=E，∴BF⊥平面AEC，

∵AC?

平面AEC，∴BF⊥AC⋯（6分）

（2）解：

在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=，BC=2又∵ABCD为正方形，∴AB=2，∴AE=，

点评：

本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，