(2010xx理数)(18)(本题满分14分)在厶ABCxx角AB、C
所对的边分别为a,b,c,已知
⑴求sinC的值;
高考数学三角函数练习题及答案解析
(II)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长.
解析:
本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。
(I)解:
因为cos=1-2sin二,及OvCvn
所以sinC=.
(I)解:
当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理,得
c=4
由cos=2cos-1=,J及OvCvn得
cosC=±
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得
b2±b-12=O
解得b=或2
所以b=b=
c=4或c=4
(2010全国卷2理数)(17)(本小题满分10分)
中,为边上的一点,,,,求.
高考数学三角函数练习题及答案解析
【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
【参考答案】
由cos/ADC*0,知Bv.
由已知得cosB=,sin/ADC=.
从而sin/BAD=sin(/ADC-B)=sin/ADCcosB-cos/ADCsinB==.
由正弦定理得,所以=.
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.
解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.
(2010xx文数)17.(本小题满分12分)在厶ABCxx已知B=45°,D是BC边上的一点,
AD=10,AC=14,DC=6求AB的长.
解在厶ADCxxAD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
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cos=,
ADC=12°0,ADB=6°0
在厶ABDxxAD=10,B=45°,ADB=60°,
由正弦定理得,
AB=.
(2010xx文数)(17)(本小题满分12分)
在xx,分别为内角的对边,
且
(I)求的大小;
(H)若,试判断的形状.
解:
(I)由已知,根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
(”)由(I)得
又,得因为,
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故
所以是等腰的钝角三角形。
(2010xx理数)(17)(本小题满分12分)
在厶ABCxxa,b,c分别为内角A,B,C的对边,且
2asinA=(2ac)sinB(2cb)sinC.
(I)求A的大小;
(H)求的最大值.
解:
(I)由已知,根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故,A=120°……6分
(H)由(I)得:
sirB+siC=sBnsin(~6B0
1cosBsinB2
-sin(60B)
(2010全国卷2文数)(17)(本小题满分10分)
中,为边上的一点,,,,求。
【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由与的差求出,根据同角关系及差角公式求出的正弦,在三角形
ABDxx由正弦定理可求得AD
(2010xx理数)17.(本小题满分12分)
已知函数。
(1)当m=0时,求在区间上的取值范围;
(2)当时,,求m的值。
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。
依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题.
解:
(1)当m=0时,
,由已知,得
从而得:
的值域为
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化简得:
当,得:
,,
代入上式,m=-2.
(2010xx文数)16、(本小题满分12分)
的面积是30,内角所对边长分别为,。
(I)求;
(n)若,求的值。
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
【解题指导】
(1)根据同角三角函数关系,由得的值,再根据面积公式得;直接求数量积.由余弦定理,代入已知条件,及求a的值.
解:
由,得.
又,二.
n),
【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求的值,考虑已知的面积是30,,所以先求的值,然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可.
(2010xx文数)(18).(本小题满分13分),(I)小问5分,(II)小问8分.)
设的内角AB、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc.
(I)求sinA的值;
(I)求的值.
«:
(I)由余玆定理冯―』
2sinU
(2010xx文数)(18)(本题满分)在厶ABCxx角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设SABC的面积,满足。
(I)求角C的大小;
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(H)求的最大值。
:
叭車越主豪S磁疋玻上角弗賣馳式、三角变换尊誉嗣识,同时屜三般丽解旌九満分U
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所以寮
fD;;diLitimilI**in/f=科町[-Mfl(tr-C-^)=Mil\+A;h{-4)
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2册形珂脱尊号.
MUmhI
(2010xx理数)(16)(本小题满分13分,(I)小问7分,
(II)小问6分)
设函数。
(I)求的值域;
(II)记的内角AB、C的对边长分别为a,b,c,若=1,b=1,c=,
求a的值。
=sin(jt++1
D
(2010xx文数)(17)(本小题满分12分)
已知函数()的最小正周期为,
(I)求的值;
(II)将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,
得到函数的图像,求函数在区间上的最小值
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(2010xx文数)(15)(本小题共13分)
已知函数
(I)求的值;
(H)求的最大值和最小值
解:
(I)=
(n)
=3cos2x-1,xR
因为,所以,当时取最大值2;当时,去最小值-1
高考数学三角函数练习题及答案解析
(2010xx理数)(15)(本小题共13分)
已知函数。
(I)求的值;
(H)求的最大值和最小值。
解:
(I)
(II)
一5
因为,
所以,当时,取最大值6;当时,取最小值
(2010xx理数)(19)(本小题满分12分)
(I)证明两角和的余弦公式;
由推导两角和的正弦公式.
(H)已知△ABC的面积,且,求cosC.
本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函
数间的关系等基础知识及运算能力
解:
(1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆Q并作出角a、
B与一B,使角a的始边为Qx,交OO于点P1,终边交OO于P2;角B的始边为QP2终边交OO于P3;角一B的始边为QP1终边交OO于P4.
则P1(1,0),P2(cosa,sina)
P3(cos(a+B),sin(a+B)),P4(cos(—[3),sin(—p))
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得
[cos(a+B)—1]2+sin2(a+B)=[cos(—B)—cosa]2+[sin(—B)—sina]2
展开并整理得:
2—2cos(a+B)=2—2(cosacosB—sinasinB)
cos(a+B)=cosacosB—sinasinB4
分
②由①易得cos(—a)=sina,sin(—a)=cosa
sin(a+B)=cos[—(a+B)]=cos[(—a)+(—B)]
=cos(—a)cos(—B)—sin(—a)sin(—B)
=sinacosB+cosasinB6分
⑵由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
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贝yS=bcsinA=
=bccosA=3>0
「•A€(0,),cosA=3sinA
又sin+cos=1,「•sinA=,cosA=
由题意,cosB=,得sinB=
cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB=
故cosC=cos[n—(A+B)]=—cos(A+B)=
—12分
(2010xx文数)(17)(本小题满分12分)
在ABCxx,。
(I)证明B=C
(H)若=-,求sin的值。
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与xx等基础知识,考查基本运算
能力.满分12分.
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(I)证明:
在厶ABCxx由正弦定理及已知得=.于是
sinBcosC-cosBsinC=0,即卩sin(B-C)=0.因为,从而B-C=0.
所以B=C.
(H)解:
由A+B+C和(I)得A=-2B,故cos2B=-cos(-2B)=-cosA=.
又0<2B<,于是sin2B==.
从而sin4B=2sin2Bcos2B=,cos4B=.
所以
(2010xx理数)(17)(本小题满分12分)
已知函数
(I)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(H)若,求的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与xx、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的xx等基础知识,考查基本运算能力,满分12分。
(I)解:
由,得
f(x)二.3(2sinxcosx)(2cos2xT)=3sin2xcos2x二2sin(2x)
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数,在区间上为减函数,又
,所以函数在区间上的最大值为2,最小值为-1
(H)解:
由
(1)可知
又因为,所以
由,得
从而
所以
3-4;3
10
(兀)兀](兀)兀(兀)兀
cos2xo=cos|2xo+—丨一一=cosI2xo+—Icos—+sin2x°+—lsin—
006丿6一I6丿6I06丿6
(2010xx理数)16、(本小题满分14分)
已知函数在时取得最大值4.
(1)求的最小正周期;
(2)求的解析式;
(3)若(a+)=,求sina.
■':
l7y
is.解;⑴7=—T
3
(2)由_/(工)的叢犬值是4知,A=4,
⑶/◎+令=4刑3("+令+存字即邮(和+評少|,
(2010xx文数)
16.(本小題满分M分)
设函=3sm(to+-^).0>Oa"-X/kx)»且以百为最仝忑周期.
(1)求㈣;
(2)求的誕析式;
(3)£>—>=-,求血口的值.
4125
解:
(!
)/(O)s-3sm(6J-0+—)a:
3x-s-
622
(2)vT—=兰nq二4
曲2
:
./(x)=3sa(4x+^)
6
(3)/(^+—)=3sin(4(-^—)+-]=3sm(o+-)
八41241262
故:
sina=±V1-cos'a=±“
(2010全国卷1理数)(17)(本小题满分10分)
已知的内角,及其对边,满足,求内角.
co实AcosS
脾:
由已知反£E菠定理,Wsiii^+sin3=sin^*—+sinF•—:
=;cosj4+cosB
sin^4sinB
真3处jtjr3^7l^r7jT
sin.4-008^4-cosB-sinB,.\sin(j4——)=stn(B+—)/;D<——vH——<—<—<——
4444444
门盲十盼*="*+迟右亏
(2010xx文数)(19)(本小题满分12分)
(I)证明两角和的余弦公式;
由推导两角和的正弦公式.
(H)已知,求
(2010xx文数)16.(本小题满分12分)
已经函数
(I)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出?
(H)求函数的最小值,并求使用取得最小值的的集合。
16.本小愿主骥番査三角函敷的悄输变換.础妙识和运HIE力*I満井12分)
Mi(I)/(x>«^co»2jr*~$in(2x++・
2-"2Z24
的图象只需耍把叙打的酣發向左屮t埒牛和沐弧的
*1
枸钦向上平样丄个旅擁检疫耨n乩
4
fl2x+--2*ji+x(icZ)rt小们-逻*丄》:
上2返.
4244
敞巧取徇星小«z).
U
(2010xx理数)
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三、解答题〕本大题共E小题’共“分*
G+“((kx补基觴过克qgh
门?
)(本/卜題満分心分)已知函數/(jt)=-^sin2xsin
<i)求事的值*
(I】)将函数尸/㈤餉圏靈上各点的橫坐标谿晅到康来的丄纵坐标不变,得到函数尸的图塞
2求函数£仗)在咸扌】上的最大值和最小值.
【解析】(【>因肉已知函馥聽过点(-:
->*所以有
11.JT.2打1.(打)
—=—an2x—sm^+cos—cos^p--sin—+^\
2
26&2^2J
5^7T77""TT
H-—所限卩+―=_+解得卩=_・
26623
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c+—co占'H—=—sun2区+—x
24A2
7FtT賁賓%賞
所以豈(耳)=亠血(4計卫),因^js&[0,->所l^4z+-e[-,—],
264666
所以当4只+£二£时,蛊(弄)取最大值21当=T或字时,畧(刃取最小值;.
6226664
【命题意图】本題考查三肃函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及三角函魏的最庖问题.労析间题耳解决间题的能力.
(2010xx理数)16.(本小题满分12分)
已知函数.
(I)求函数的最大值;
(II)求函数的零点的集合。
【解析】(I)因?
a/(x)=-73sin2x-(1-co52x)=2sin(2x+—
6
所以,S2x+-=2^+-,即x=k7r^-(keZ^i,函数才(力取最大值1屮
626
(II)解准1由
(1)Rf(x)=O得血(2尢+三)=二所以事
62
2x+—=»或2x+—=lk7t+—r即厂疋兀或龙=上更+二心
6666^3
故求函数/«的零点的集合为31尸血,或兀二睑+二用已Z》卜
3
由金)=0得2屈in.ycosx=2sin"兀于是吕inx二Q或前cosx=sinx*
即tanx=^/3*J
由sinx=0可知沪Atz;即tanx二希可知,疋=上兀十三*
3
故求函数f(x)的零点的集合沟{x|jc=a\或x二上7+2用E卍
【彷題意图】本题劣查三角妙的恒爭变形,简单三角芳程,二倍角公丸两角和差的正余弦公式,琴察学生三角运算血属中档题亠
(2010xx理数)16.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=
(I)求函数f(x)的最小正周期;
(H)求函数h(x)=f(x)—g(x)的最大值,并求使h(x)取得最
大值的x的集合。
16.本疏鬆主妾龙查三张伍数的基冻公武.册需和最值需義础如识.的时灣杏蔓左运算能力.
(滴分12井〉
W:
fI)/(X)€0S(^+X)COS(JJ0=(*tosI;3,:
■-ecuX—iin*x
4J
(1J}A(r)=/(x>-x(Jr).丄co*2x-丄sin2x=—co$(2jr+—
2224
^2jt+^-2j^atZJH:
机力駄邯址人债申*
心2
肌巧取时址人ut时.对阵的・Jtczj*g
(2010xx理数)19.(本小题满分13分)
。
,轮船位于港口Oxx偏西且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿xx方向匀速行驶。
假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到/小时,试设计航行方案
(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。
【解析】如图,由
(1)得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,故轮船与小艇不可能在AC(包含C)的任意位置相遇,设,0D=
由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为和,
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所以,解得,
从而值,且最小值为,于是
当取得最小值,且最小值为。
此时,在XX,,故可设计航行方案如下:
航行方向为xx偏东,航行速度为/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。
(2010XX理数)16、(本小题满分12分)
设是锐角三角形,分别是内角所对边长,并且
。
(I)求角的值;
(II)若,求(其中)。
(场)(本小题满分口分)本题考查两角和的正弦公式,同角二角函数的基本关系,特汰角的三毎函数值,向就的数fi积’利用余弦宦理解三角形等有黄知识,考查综合运算求解能九
解:
(【)因为sin?
A=(ycosfi+y-sin5)(^-cosB亠ysihB)
_32,n1.1ry.23
==-cosB-—-amB+=—
444
所以心二土孕又A为锐角,所以A=-^
(n)由諺・AC=12可得
cbcoaA-12h'①
由(I)知肛牛所以
424.②
由余弦定理ftaI=c1+52-2c6ccs4,将*2刀及(3>(弋人,得
J+b—厶③
③+②x2,得。
+疔=100,所以"
c+i=10,
因此,6占是一元二武方程?
-10i+24=0的两个抿+
解此方程并由20知"6,6=4,
(2010xx卷)17、(本小题满分14分)
某兴趣小组测量电视塔ae的高度h(单位:
m,如示意图,垂
直放置的标杆BC的高度h=,xx/ABE=/ADE=
(1)该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出
H的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:
m,使与之差较大,可以提高测量精确度。
若电视塔的实际高度为,试问d为多少时,-最大?
[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式
的应用。
(1),同理:
,
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AD—AB=DB故得,解得:
。
因此,算出的电视塔的高度H是。
(2)由题设知,得,
(当且仅当时,取等号)
故当时,最大。
因为,贝几所以当时,-最大。
故所求的是m
(2010xx卷)23.(本小题满分10分)
已知△ABC的xx长都是有理数。
1、求证cosA是有理数;
(2)求证:
对任意正整数n,cosnA是有理数。
[解析]本题主要考查余弦定理、数学xx等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。
满分10分。
(方法一)
(1)证明:
设xx长分别为,,T是有理数,
是有理数,分母为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,
二必为有理数,•••cosA是有理数。
(2)①当时,显然cosA是有理数;
当时,丁,因为cosA是有理数,二也是有理数;
②假设当时,结论成立,即coskA、均是有理数。
当时,,
解得:
VcosA,,均是有理数,.••是有理数,
是有理数。
即当时,结论成立。
综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数。
(方法二)证明:
(1)由ABBCAC为有理数及余弦定理知
是有理数。
(2)用数学xx证明cosnA和都是有理数。
1当时,由
(1)知是有理数,从而有也是有理数。
2假设当时,和都是有理数。
当时,由,
及①和归纳假设,知和都是有理数。
即当时,结论成立。
综合①、②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数。