高考数学三角函数练习题及答案解析.docx

1、高考数学三角函数练习题及答案解析高考数学三角函数练习题及答案解析高考数学三角函数练习题及答案解析(2010xx文数)19.(本题满分12分)已知，化简：解析：原式 lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20 .(2010xx文数)16.(本小题满分12分)已知函数(I )求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。解(I )因为 / (x) = sin2x-(l - cos 2x )2 sin (2r +-5-)-1.4所以函ft/(x)的最小正周期为工夸芸仁 H)由(I】如肖2x*于=亦4为 即上#甘倉Z)时.门工炖憾大值 运因此函数大

2、值时寓的集合为刘工二加+吾ME引.(2010xx理数)(18)(本题满分14分)在厶ABCxx角A B、C所对的边分别为a,b,c，已知求sinC的值;高考数学三角函数练习题及答案解析(II)当 a=2, 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长.解析：本题主要考察三角变换、 正弦定理、余弦定理等基础知识， 同事考查运算求解能力。(I)解：因为 cos=1-2sin二，及 Ov Cvn所以 sinC=.(I)解：当a=2, 2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由 cos=2cos-1= , J 及 Ov Cv n 得cosC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得b2b-

3、12=O解得 b= 或 2所以 b=b=c=4 或 c=4(2010全国卷2理数)(17)(本小题满分10分)中，为边上的一点，求.高考数学三角函数练习题及答案解析【命题意图】 本试题主要考查同角三角函数关系、 两角和差公式 和正弦定理在解三角形中的应用， 考查考生对基础知识、 基本技能的 掌握情况.【参考答案】由 cos/ADC*0,知 Bv.由已知得 cosB=, sin / ADC=.从而 sin / BAD=sin（/ ADC-B）=sin / ADCcosB-cos/ ADCsinB=.由正弦定理得 ,所以 =.【点评】 三角函数与解三角形的综合性问题, 是近几年高考的热 点,在高考

4、试题中频繁出现 . 这类题型难度比较低, 一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变 .解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求 边角或将边角互化 .（2010xx文数）17.（本小题满分12分） 在厶ABCxx已知B=45 ,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6 求 AB的长.解 在厶ADCxx AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得高考数学三角函数练习题及答案解析cos=,ADC=120 , ADB=60在厶ABDxx AD=10, B=45 , ADB=60,由正弦定理得 ,AB=.（2010xx 文数

5、）（ 17）（本小题满分 12 分）在xx，分别为内角的对边，且（I）求的大小；（H）若，试判断的形状.解：（I）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故（”）由（I）得又，得 因为，高考数学三角函数练习题及答案解析故所以是等腰的钝角三角形。(2010xx理数)(17)(本小题满分12分)在厶ABCxx a, b, c 分别为内角A, B, C的对边，且2asin A =(2a c)sin B (2c b)sin C.(I)求A的大小；(H)求的最大值.解：(I)由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 ，A=1206分(H)由(I)得：sirB+ siC= sBn sin(6B01 cosB s

6、in B 2-si n(60 B)（ 2010全国卷 2文数）（ 17）（本小题满分 10分）中，为边上的一点，求。【解析】 本题考查了同角三角函数的关系、 正弦定理与余弦定理 的基础知识。由与的差求出， 根据同角关系及差角公式求出的正弦， 在三角形ABDxx由正弦定理可求得AD（2010xx理数）17.（本小题满分12分）已知函数。（1） 当m=0时，求在区间上的取值范围；（2） 当时，求m的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三 角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的 知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题 .解：（1）当m=0时，由已知

7、，得从而得：的值域为高考数学三角函数练习题及答案解析化简得：当，得：，代入上式， m=-2.（2010xx 文数） 16、（本小题满分 12分）的面积是 30，内角所对边长分别为，。（I）求；（n）若，求的值。【命题意图】 本题考查同角三角函数的基本关系， 三角形面积公 式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力 .【解题指导】（ 1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据 面积公式得；直接求数量积 .由余弦定理，代入已知条件，及求 a 的 值.解：由，得 .又，二.n），【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的 值，考虑已知的面积是30,所以先求的值，然后根据三角

8、形面积 公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利 用余弦定理即可.（2010xx文数）（18）.（本小题满分13分），（I ）小问5分，（II） 小问8分.）设的内角A B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .（I）求sinA的值；（I）求的值.：（ I）由余玆定理冯2sinU（2010xx文数）（18）（本题满分）在厶ABCxx角A, B, C所 对的边分别为a,b,c,设SABC的面积，满足。（I）求角C的大小;高考数学三角函数练习题及答案解析（H）求的最大值。:叭車越主豪S磁疋玻上角弗賣馳式、三角变换尊誉嗣识，同时屜三般丽解旌九満分Ui* M所以伽C恳

9、 W%U“5所以寮f D ; ； di Li ti mil I * *in/f =科町-Mfl（ tr - C - ） = Mil + A；h - 4）Q 1 sitil - Ain（ 4 + ） is /J.* * 62册形珂脱尊号.MUmhI（2010xx理数）（16）（本小题满分13分，（I ）小问7分，（II ）小问6分）设函数。（I） 求的值域；（II） 记的内角A B、C的对边长分别为a, b, c,若=1, b=1,c=，求a的值。=sin (jt + + 1D(2010xx文数)(17)(本小题满分12分)已知函数()的最小正周期为,(I)求的值;(II)将函数的图像上各点的横

10、坐标缩短到原来的， 纵坐标不变,得到函数的图像，求函数在区间上的最小值trv z# A* :C I ) ES为/x) sin(r 耳工力吟心) ”上所現/(X) + 匕_|!?- -tn2tfz + -CQiZwX + 扌 sinCZfcjE + 于 + *曲：o 依题伽話承阿p * 9t * 9-K *4 9 * * 44 *“触 T )知 g yiin(2x + ) 4-i*所臥 g（x - f3 警血g 十护+寺 当o吒jt瑶畚昭于*工+十站T为故 （J）:&扛间話上的咼小值为h（2010xx文数）（15）（本小题共13分）已知函数（I）求的值;（H）求的最大值和最小值解：（I）=(n)

11、=3cos2 x -1,x R因为,所以，当时取最大值2;当时，去最小值-1高考数学三角函数练习题及答案解析(2010xx 理数)( 15)(本小题共 13分)已知函数。(I)求的值；(H)求的最大值和最小值。解：(I)(II )一 5因为，所以，当时，取最大值 6；当时，取最小值( 2010xx 理数)( 19)(本小题满分 12 分)(I)证明两角和的余弦公式；由推导两角和的正弦公式 .(H)已知 ABC的面积，且，求cosC.本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力解：(1)如图，在执教坐标系xOy内做单位圆Q并作出角a、B与一B ,使角a的

12、始边为Qx,交OO于点P1，终边交OO于P2; 角B的始边为QP2终边交OO于P3;角一 B的始边为QP1终边 交OO于P4.则 P1(1,0),P2(cos a ,sin a )P3(cos( a + B ),sin( a + B ),P4(cos( 3 ),sin( p )由P1P3= P2P4及两点间的距离公式，得cos( a + B ) 12 + sin2( a + B ) = cos( B ) cos a 2 + sin( B ) sin a 2展开并整理得： 2 2cos( a +B ) = 2 2(cos a cosB sin a sin B )cos( a + B ) = co

13、s a cos B sin a sin B 4分由易得 cos( a ) =sin a ,sin( a )= cosasin( a + B ) = cos ( a + B ) = cos( a ) + ( B )= cos( a )cos( B ) sin( a )sin( B )=sin a cos B + cos a sin B 6 分 由题意，设 ABC的角B、C的对边分别为b、c高考数学三角函数练习题及答案解析贝y S= bcsinA =bccosA= 3 0 A (0, ),cosA = 3sinA又 sin + cos = 1 , si nA = ,cosA =由题意，cosB=,

14、得 sinB =cos(A + B) = cosAcosB si nAs inB =故 cosC= cos n (A + B) = cos(A + B)= 12 分(2010xx文数)(17)(本小题满分12分)在 ABCxx，。(I)证明B=C(H)若=-，求sin的值。【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三 角函数的基本关系、二倍角的正弦与 xx 等基础知识，考查基本运算能力.满分 12 分.高考数学三角函数练习题及答案解析(I)证明：在厶ABCxx由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即卩 sin ( B-C)=0.因为，从而 B-C=0.所

15、以B=C.(H)解：由 A+B+C 和(I)得 A=-2B,故 cos2B=-cos (-2B) =-cosA=.又 02B Oa-X/kx） 且以百为最仝忑周期.（1 ）求；(2 )求的誕析式；(3) =-,求血口 的值.4 12 5解：(！)/(O) s- 3sm( 6J - 0 + ) a： 3x - s -6 2 2(2 ) v T =兰 n q 二 4曲 2:./(x)=3sa(4x+)6(3 ) /( + ) = 3sin( 4(- ) + - = 3sm( o + -)八 4 12 4 12 6 2故：sin a = V1- cos a = “（2010全国卷1理数）（17）（本

16、小题满分10分）已知的内角，及其对边，满足，求内角.co实 A cos S脾：由已知反E菠定理，W siii + sin3 = sin* + sinF: =； cosj4 + cosBsin4 sin B真 3 处 jt jr 37 lr 7jTsin.4-0084- cos B- sin B,.sin（j4）=stn（B+）/; D vH co2jr *$in(2x + + 2- 2 Z 2 4的图象只需耍把叙打的酣發向左屮t埒牛和沐弧的*1枸钦向上平样丄个旅擁检疫耨n乩4 II)AJf) = /(x)- = cos 2;r ” * 血 2jt * 廿 f cos(2jr 十* *fl2x

17、+ -2*ji + x (icZ)rt 小们-逻*丄:上2返.4 2 4 4敞巧取徇星小z).U（2010xx 理数）高考数学三角函数练习题及答案解析三、解答题本大题共E小题共“分*G+“（kx补基觴过克qgh门？）（本/卜題満分心分） 已知函數 / ( jt) = - sin 2x sin p+ cos2 xcos 炉一舟 sin i）求事的值*（I】）将函数尸/餉圏靈上各点的橫坐标谿晅到康来的丄纵坐标不变，得到函数尸的图塞2 求函数仗）在咸扌】上的最大值和最小值.【解析】（【 因肉已知函馥聽过点（-：-*所以有11 . JT . 2 打 1.(打)=an2xsm+cos cosp-sin

18、+ 22 6 & 2 2 J5 7T 77 TTp+-cos p- cos(p(0-x(Jr).丄co*2x -丄sin2x = co$(2jr + 2 2 2 42jt + -2j atZJH：,机力駄邯址人债申*心 2肌巧取时址人ut时.对阵的Jtczj* g（2010xx理数）19.（本小题满分13分）。，轮船位于港口 Oxx偏西且与该港口相距20海里的A处，并 以30海里/小时的航行速度沿xx方向匀速行驶。假设该小船沿直线 方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大 小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到

19、/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮 船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到 30海里/小时，故轮船与小艇不 可能在A C （包含C）的任意位置相遇，设，0D=由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，高考数学三角函数练习题及答案解析所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在XX ,，故可设计航行方案如下：航行方向为 xx 偏东，航行速度为 / 小时，小艇能以最短时间与轮 船相遇。（2010XX理数）16、（本小题满分12分）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。（I ）求角

20、的值；（II）若，求（其中）。（场）（本小题满分口分）本题考查两角和的正弦公式，同角二角函数的基本关系，特汰角的三毎函数 值，向就的数fi积利用余弦宦理解三角形等有黄知识，考查综合运算求解能九解：（【）因为 sin?A = （ ycos fi + y-sin 5） （ -cos B 亠 ysih B）_ 3 2，n 1 . 1 ry . 2 3= =-cos B - -am B + =4 4 4所以心二土孕又A为锐角，所以A = -（n ）由諺AC = 12可得cb coa A - 12h 由（I）知肛牛所以424. 由余弦定理ftaI=c1+52-2c6 ccs 4,将*2刀及（3（弋人，得

21、J + b厶 +x2,得。+疔=100,所以 c + i =10,因此，6占是一元二武方程?-10i+24=0的两个抿+解此方程并由20知6, 6=4,（2010xx卷）17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔 ae的高度h（单位：m，如示意图，垂直放置的标杆 BC的高度h=, xx / ABE= / ADE=（1） 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24 , tan=1.20，请据此算出H的值；（2） 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距 离d （单位：m，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔 的实际高度为，试问d为多少时，-最大？解析本题主要考查解三角形

22、的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1），同理：，高考数学三角函数练习题及答案解析AD AB=DB故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是。（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，贝几所以当时，-最大。故所求的是m（2010xx卷）23.（本小题满分10分）已知 ABC的xx长都是有理数。1、求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n, cos nA是有理 数。解析本题主要考查余弦定理、数学xx等基础知识，考查推理 论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分 10分。（方法一）（1）证明：设xx长分别为，T是有理数,是有理数， 分母为正有理数， 又有理数集对于除

23、法的具有 封闭性，二必为有理数， cosA是有理数。(2)当时，显然cosA是有理数；当时，丁，因为cosA是有理数， 二也是有理数；假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，解得：VcosA,，均是有理数，.是有理数，是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数 n， cosnA 是有理数。(方法二)证明：(1)由AB BC AC为有理数及余弦定理知是有理数。(2)用数学xx证明cos nA和都是有理数。1当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。2假设当时，和都是有理数。当时，由，及和归纳假设，知和都是有理数。即当时，结论成立。综合、可知，对任意正整数 n， cos nA是有理数。