最新导数基础讲义.docx

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最新导数基础讲义

导数基础讲义

二、考试要求

⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。

　　⑵熟记基本导数公式（c,x«SkipRecordIf...»（m为有理数），sinx,cosx,e«SkipRecordIf...»,a«SkipRecordIf...»,lnx,log«SkipRecordIf...»x的导数）。

掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

　　⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

三、复习目标

　1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．

2．熟记基本导数公式（c,x«SkipRecordIf...»（m为有理数），sinx,cosx,e«SkipRecordIf...»,a«SkipRecordIf...»,lnx,log«SkipRecordIf...»x的导数）。

掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大（小）值的问题，掌握导数的基本应用．

　3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。

　　4．了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。

掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

四、双基透视

导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:

1．导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于«SkipRecordIf...»次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

　　5．瞬时速度

　　在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：

运动物体经过某一时刻（或某一位置）的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．

　　6．导数的定义

　　7．导数的几何意义

　　函数y=f（x）在点«SkipRecordIf...»处的导数，就是曲线y=（x）在点«SkipRecordIf...»处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：

（1）求出函数y=f（x）在点«SkipRecordIf...»处的导数，即曲线y=f（x）在点«SkipRecordIf...»处的切线的斜率；

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为

　　«SkipRecordIf...»

　　特别地，如果曲线y=f（x）在点«SkipRecordIf...»处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为«SkipRecordIf...»

　　8．和（或差）的导数

9．积的导数　

10．商的导数

11.导数与函数的单调性的关系

范例分析

例1．«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处可导，则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

例2．已知f（x）在x=a处可导，且f′（a）=b，求下列极限：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»

例3．观察«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

例4．

（1）求曲线«SkipRecordIf...»在点（1，1）处的切线方程；

（2）运动曲线方程为«SkipRecordIf...»，求t=3时的速度。

例5．求下列函数单调区间

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»

（3）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

（4）«SkipRecordIf...»

例6．求证下列不等式

（1）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

（3）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

例7．利用导数求和：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»。

例8．求满足条件的«SkipRecordIf...»

（1）使«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»上增函数

（2）使«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»上……

（3）使«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»上«SkipRecordIf...»

例9．

（1）«SkipRecordIf...»求证«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»求证«SkipRecordIf...»

例10．设«SkipRecordIf...»，求函数«SkipRecordIf...»的单调区间.

　　例11．已知抛物线«SkipRecordIf...»与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»。

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求直线«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»的夹角。

例12．（2001年天津卷）设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»上的偶函数。

（I）求«SkipRecordIf...»的值；

（II）证明«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是增函数。

例13．（2000年全国、天津卷）设函数«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»。

（I）解不等式«SkipRecordIf...»；

（II）证明：

当«SkipRecordIf...»时，函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上是单调函数。

例14．已知«SkipRecordIf...»，函数«SkipRecordIf...»设«SkipRecordIf...»，记曲线«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的切线为«SkipRecordIf...»。

（Ⅰ）求«SkipRecordIf...»的方程；

（Ⅱ）设«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»轴的交点为«SkipRecordIf...»，证明：

①«SkipRecordIf...»②若«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»

七、强化训练

1．设函数f（x）在«SkipRecordIf...»处可导，则«SkipRecordIf...»等于（）

　　A．«SkipRecordIf...»B．«SkipRecordIf...»C．«SkipRecordIf...»D．«SkipRecordIf...»

2．若«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»等于（）

A．«SkipRecordIf...»B．«SkipRecordIf...»C．3D．2

3．曲线«SkipRecordIf...»上切线平行于x轴的点的坐标是（）

　　A．（-1，2）B．（1，-2）C．（1，2）D．（-1，2）或（1，-2）

4．若函数f（x）的导数为f′（x）=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（）

　　A．90°B．0°C．锐角D．钝角

5．函数«SkipRecordIf...»在[0，3]上的最大值、最小值分别是（）

A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16

6．一直线运动的物体，从时间t到t+△t时，物体的位移为△s，那么«SkipRecordIf...»为（）

　　A．从时间t到t+△t时，物体的平均速度

　　B．时间t时该物体的瞬时速度

　　C．当时间为△t时该物体的速度

D．从时间t到t+△t时位移的平均变化率

7．关于函数«SkipRecordIf...»，下列说法不正确的是（）

A．在区间（«SkipRecordIf...»，0）内，«SkipRecordIf...»为增函数

B．在区间（0，2）内，«SkipRecordIf...»为减函数

C．在区间（2，«SkipRecordIf...»）内，«SkipRecordIf...»为增函数

D．在区间（«SkipRecordIf...»，0）«SkipRecordIf...»内，«SkipRecordIf...»为增函数

8．对任意x，有«SkipRecordIf...»，f

（1）=-1，则此函数为（）

　　A．«SkipRecordIf...»B．«SkipRecordIf...»C．«SkipRecordIf...»D．«SkipRecordIf...»

9．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（）

A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16

10．设f（x）在«SkipRecordIf...»处可导，下列式子中与«SkipRecordIf...»相等的是（）

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；

　　（3）«SkipRecordIf...»（4）«SkipRecordIf...»。

　　A．

（1）

（2）B．

（1）（3）C．

（2）（3）D．

（1）

（2）（3）（4）

11．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷理工农医类16））

f（«SkipRecordIf...»）是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：

令g（«SkipRecordIf...»）=af（«SkipRecordIf...»）+b，则下

«SkipRecordIf...»

列关于函数g（«SkipRecordIf...»）的叙述正确的是（）

A．若a<0,则函数g（«SkipRecordIf...»）的图象关于原点对称.

B．若a=－1，－2

C．若a≠0,b=2,则方程g（«SkipRecordIf...»）=0有两个实根.

D．若a≥1,b<2,则方程g（«SkipRecordIf...»）=0有三个实根.

12．若函数f（x）在点«SkipRecordIf...»处的导数存在，则它所对应的曲线在点«SkipRecordIf...»处的切线方程是

13．设«SkipRecordIf...»，则它与x轴交点处的切线的方程为______________。

14．设«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»_____________。

15．垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线«SkipRecordIf...»相切的直线的方程是________． 

16．已知曲线«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»_____________。

17．y=x2ex的单调递增区间是

18．曲线«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的切线方程为____________。

19．P是抛物线«SkipRecordIf...»上的点，若过点P的切线方程与直线«SkipRecordIf...»垂直，则过P点处的切线方程是____________。

20．在抛物线«SkipRecordIf...»上依次取两点，它们的横坐标分别为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为_____________。

21．曲线«SkipRecordIf...»在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程。

22．在抛物线«SkipRecordIf...»上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为«SkipRecordIf...»。

23．判断函数«SkipRecordIf...»在x=0处是否可导。

24．求经过点（2，0）且与曲线«SkipRecordIf...»相切的直线方程。

25．求曲线y=xcosx在«SkipRecordIf...»处的切线方程。

26．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=x2+cx+d.若f（2x+1）=4g（x），且f'x=g'（x），f（5）=30，求g（4）.

27已知曲线«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»。

直线l与«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»都相切，求直线l的方程。

28．设f（x）=（x-1）（x-2）…（x-100），求f′

（1）。

29．求曲线«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的切线方程。

30．求证方程«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»内有且仅有一个实根

31．«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»均为正数且«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

求证：

«SkipRecordIf...»

32．

（1）求函数«SkipRecordIf...»在x=1处的导数；

（2）求函数«SkipRecordIf...»（a、b为常数）的导数。

33．证明：

如果函数y=f（x）在点«SkipRecordIf...»处可导，那么函数y=f（x）在点«SkipRecordIf...»处连续。

34．（2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷文史类21））

已知«SkipRecordIf...»函数«SkipRecordIf...»，设«SkipRecordIf...»，记曲线«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的切线为«SkipRecordIf...»。

（Ⅰ）求«SkipRecordIf...»的方程；

（Ⅱ）设«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»轴的交点为«SkipRecordIf...»，证明：

①«SkipRecordIf...»；②若«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»。