高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系学案新人教A版选修210602128.docx
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高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系学案新人教A版选修210602128
1.1
1.1.1 命 题
预习课本P2~3,思考并完成以下问题
1.命题、真命题、假命题的概念分别是什么?
2.在命题“若p,则q”的形式中,p、q分别叫做命题的什么?
命题
[点睛]
(1)判断一个语句是命题的两个要素:
①是陈述句,表达形式可以是符号、表达式或语言;
②可以判断真假.
(2)命题的条件与结论之间的关系属于因果关系,真命题可以给出证明,假命题只需举出一个反例即可.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“集合{a,b,c}有3个子集”是命题( )
(2)“x2-3x+2=0”是命题( )
答案:
(1)√
(2)×
2.语句“若a>b,则a+c>b+c”( )
A.不是命题 B.是真命题
C.是假命题D.不能判断真假
答案:
B
3.下列语句中,是假命题的是( )
A.一条直线有且只有一条垂线
B.不相等的两个角一定不是对顶角
C.直角的补角必是直角
D.两直线平行,同旁内角互补
答案:
A
4.命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件p为______,结论q为________.
答案:
一个正整数 不是合数就是素数
命题的判断
[典例] 判断下列语句是否是命题,并说明理由.
(1)是有理数;
(2)3x2≤5;
(3)梯形是不是平面图形呢?
(4)x2-x+7>0.
[解]
(1)“是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.
(3)“梯形是不是平面图形呢?
”是疑问句,所以它不是命题.
(4)因为x2-x+7=2+>0,所以“x2-x+7>0”是真的,故是命题.
判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.
[活学活用]
判断下列语句是否为命题,并说明理由.
(1)若平面四边形的边都相等,则它是菱形;
(2)任何集合都是它自己的子集;
(3)对顶角相等吗?
(4)x>3.
解:
(1)是陈述句,能判断真假,是命题.
(2)是陈述句,能判断真假,是命题.
(3)不是陈述句,不是命题.
(4)是陈述句,但不能判断真假,不是命题.
判断命题的真假
[典例] 判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)正方形既是矩形又是菱形;
(2)当x=4时,2x+1<0;
(3)若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;
(4)一个等比数列的公比大于1时,该数列一定为递增数列.
[解]
(1)是真命题,由正方形的定义知,正方形既是矩形又是菱形.
(2)是假命题,x=4不满足2x+1<0.
(3)是真命题,x=3或x=7能得到(x-3)(x-7)=0.
(4)是假命题,因为当等比数列的首项a1<0,公比q>1时,该数列为递减数列.
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法:
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件,结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件,选择正确的逻辑推理方法.
(2)假命题的判定方法:
通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题为假命题的常用方法.
[活学活用]
下列命题中真命题有( )
①mx2+2x-1=0是一元二次方程;
②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;
③互相包含的两个集合相等;
④空集是任何集合的真子集.
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
解析:
选A ①中当m=0时,是一元一次方程;②中当Δ=4+4a<0时,抛物线与x轴无交点;③是正确的;④中空集不是本身的真子集.
命题的结构形式
[典例] 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)6是12和18的公约数;
(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
[解]
(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.
(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不等实根,是假命题.
(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.
(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.
把一个命题改写成“若p,则q”的形式,首先要确定命题的条件和结论,若条件和结论比较隐含,则要补充完整,有时一个条件有多个结论,有时一个结论需多个条件,还要注意有的命题改写形式不唯一.
[活学活用]
把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)奇数不能被2整除;
(2)当(a-1)2+(b-1)2=0时,a=b=1;
(3)两个相似三角形是全等三角形;
(4)在空间中,平行于同一个平面的两条直线平行.
解:
(1)若一个数是奇数,则它不能被2整除,是真命题.
(2)若(a-1)2+(b-1)2=0,则a=b=1,是真命题.
(3)若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形是全等三角形,是假命题.
(4)在空间中,若两条直线平行于同一个平面,则这两条直线平行,是假命题.
层级一 学业水平达标
1.下列语句不是命题的有( )
①若a>b,b>c,则a>c;②x>2;③3<4;④函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数.
A.0个 B.1个
C.2个D.3个
解析:
选C ①③是可以判断真假的陈述句,是命题;②④不能判断真假,不是命题.
2.下列命题是真命题的是( )
A.所有质数都是奇数
B.若>,则a>b
C.对任意的x∈N,都有x3>x2成立
D.方程x2+x+2=0有实根
解析:
选B 选项A错,因为2是偶数也是质数;选项B正确;选项C错;因为当x=0时x3>x2不成立;选项D错,因为Δ=12-8=-7<0,所以方程x2+x+2=0无实根.
3.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中,假命题是( )
A.若a∥b,则α∥β
B.若α⊥β,则a⊥b
C.若a,b相交,则α,β相交
D.若α,β相交,则a,b相交
解析:
选D 由已知a⊥α,b⊥β,若α,β相交,a,b有可能异面.
4.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A.4B.2
C.0D.-3
解析:
选C 方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0.故a=0时适合条件.
5.已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切.
其中真命题的序号为( )
A.①②③B.①②
C.①③D.②③
解析:
选C 对于命题①,设球的半径为R,则π3=·πR3,故体积缩小到原来的,命题正确;
对于命题②,若两组数据的平均数相同,则它们的标准差不一定相同,例如数据:
1,3,5和3,3,3的平均数相同,但标准差不同,命题不正确;
对于命题③,圆x2+y2=的圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d==,等于圆的半径,所以直线与圆相切,命题正确.
6.下列语句中是命题的有________(写出序号),其中是真命题的有________(写出序号).
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
②一个数不是正数就是负数;
③大角所对的边大于小角所对的边;
④△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB;
⑤求证方程x2+x+1=0无实根.
解析:
①疑问句.没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题;
②是假命题,0既不是正数也不是负数;
③是假命题,没有考虑在同一个三角形内;
④是真命题;
⑤祈使句,不是命题.
答案:
②③④ ④
7.给出下面三个命题:
①函数y=tanx在第一象限是增函数;
②奇函数的图象一定过原点;
③若a>b>1,则0其中是真命题的是________.(填序号)
解析:
①是假命题,反例:
x=2π+和x=,tan=,tan=1,2π+>,但tan2π+②是假命题,反例:
y=是奇函数,但其图象不过原点.
③是真命题,由对数函数的图象及单调性可知是真命题.
答案:
③
8.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解析:
∵ax2-2ax-3>0不成立,
∴ax2-2ax-3≤0恒成立.
当a=0时,-3≤0恒成立;
当a≠0时,则有
解得-3≤a<0.
综上,-3≤a≤0.
答案:
[-3,0]
9.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.
(1)乘积为1的两个实数互为倒数;
(2)奇函数的图象关于原点对称;
(3)与同一直线平行的两个平面平行.
解:
(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”.它是真命题.
p:
两个实数乘积为1;q:
两个实数互为倒数.
(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.
p:
一个函数为奇函数;q:
函数的图象关于原点对称.
(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.
p:
两个平面与同一条直线平行;q:
两个平面平行.
10.已知A:
5x-1>a,B:
x>1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.
解:
若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x>,则x>1”.由命题为真命题可知≥1,解得a≥4;
若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x>1,则x>”.由命题为真命题可知≤1,解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题,比如这里取a=1,则有真命题“若x>1,则x>”.
层级二 应试能力达标
1.在空间中,下列命题正确的是( )
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一平面的两条直线平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
解析:
选D A中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时,两平行直线的平行投影不重合.B中两直线也可以相交或异面.C中两平面可以相交.D正确.故选D.
2.下面的命题中是真命题的是( )
A.y=sin2x的最小正周期为2π
B.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根同号,则>0
C.如果M⊆N,那么M∪N=M
D.在△ABC中,若
·
>0,则B为锐角
解析:
选B y=sin2x=,T==π,故A为假命题;当M⊆N时,M∪N=N,故C为假命题;在三角形ABC中,当
·
>0时,向量
与
的夹角为锐角,B应为钝角,故D为假命题.故选B.
3.下列命题为真命题的是( )
A.若=,则x=y
B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则=
D.若x解析:
选A 很明显A正确;B中,由x2=1,得x=±1,所以B是假命题;C中,当x=y<0时,结论不成立,所以C是假命题;D中,当x=-1,y=1时,结论不成立,所以D是假命题.故选A.
4.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是( )
A.这个四边形的对角线互相平分
B.这个四边形的对角线互相垂直
C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直
D.这个四边形是平行四边形
解析:
选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形,则这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直.”故选C.
5.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界)”条件p:
________,结论q:
________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”).
解析:
a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,
∴x+y-1≥0表示直线的右上方区域(包括边界),
∴命题为真命题.
答案:
a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真
6.定义“正对数”:
ln+x=现有四个命题:
①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;
③若a>0,b>0,则ln+≥ln+a-ln+b;
④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
解析:
对于①,当a≥1时,ab≥1,则ln+(ab)=lnab=blna=bln+a;当0同理讨论a,b在(0,+∞)内的不同取值,可知③④为真命题.
对于②,可取特殊值a=e,b=,则ln+(ab)=0,ln+a+ln+b=1+0=1,故②为假命题.
综上可知,真命题有①③④.
答案:
①③④
7.已知p:
x2-2x+2≥m的解集为R;q:
函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.
解:
若命题p为真命题,由x2-2x+2=(x-1)2+1≥m,可知m≤1;
若命题q为真命题,则7-3m>1,即m<2.
命题p和q中有且只有一个是真命题,则p真q假或p假q真,
即或所以1故实数m的取值范围是(1,2).
8.试探究命题“方程ax2+bx+1=0有实数解”为真命题时,a,b满足的条件.
解:
方程ax2+bx+1=0有实数解,要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况:
当a=0时,方程ax2+bx+1=0为bx+1=0,只有当b≠0时,方程有实数解x=-;
当a≠0时,方程ax2+bx+1=0为一元二次方程,方程有实数解的条件为Δ=b2-4a≥0.
综上知,当a=0,b≠0或a≠0,b2-4a≥0时,方程ax2+bx+1=0有实数解.
1.1.2&1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系
预习课本P4~8,思考并完成以下问题
1.一个命题的四种形式分别是什么?
它们之间的相互关系分别是什么?
2.什么样的两个命题有相同的真假性?
3.两个互逆命题或互否命题,它们之间的真假性有没有关系?
1.四种命题的概念
一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件,那么把这样的两个命题叫做互逆命题,如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫做互否命题,如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题,把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
2.四种命题结构
3.四种命题之间的关系
4.四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性( )
(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系( )
答案:
(1)√
(2)√
2.已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥”的否命题是( )
A.若a2+b2<,则a+b≠1
B.若a+b=1,则a2+b2<
C.若a+b≠1,则a2+b2<
D.若a2+b2≥,则a+b=1
答案:
C
3.若a≠0,则ab≠0的逆命题是________.
答案:
若ab≠0,则a≠0
4.命题p:
若a=1,则a2=1;命题q:
若a2=1,则a=1,则命题p与q的关系是________.
答案:
互逆命题
四种命题的概念
[典例] 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)全等三角形的对应边相等;
(2)当x=2时,x2-3x+2=0.
[解]
(1)原命题:
若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等;
逆命题:
若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等;
否命题:
若两个三角形不全等,则这两个三角形三边对应不相等;
逆否命题:
若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等.
(2)原命题:
若x=2,则x2-3x+2=0;
逆命题:
若x2-3x+2=0,则x=2;
否命题:
若x≠2,则x2-3x+2≠0;
逆否命题:
若x2-3x+2≠0,则x≠2.
(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件和结论同时否定即得否命题,将条件和结论互换的同时,进行否定即得逆否命题.
(2)如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.
[活学活用]
写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面;
(2)如果x>10,那么x>0.
解:
(1)逆命题:
如果一条直线垂直于平面,那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线;
否命题:
如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线不垂直于平面;
逆否命题:
如果一条直线不垂直于平面,那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线.
(2)逆命题:
如果x>0,那么x>10;
否命题:
如果x≤10,那么x≤0;
逆否命题:
如果x≤0,那么x≤10.
四种命题真假的判断
[典例] 判断下列命题的真假.
(1)“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题.
(2)“正三角形都相似”的逆命题.
(3)“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.
[解]
(1)原命题的否命题为“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题.
(2)原命题的逆命题为“若三角形相似,则这些三角形是正三角形”.假命题.
(3)原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实根,则m≤0”.
因为方程x2+x-m=0无实根,
所以判别式Δ=1+4m<0,解得m<-,
故m≤0,为真命题.
[一题多变]
1.[变设问]若本例(3)改为判断“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆命题的真假,则结果如何?
解:
原命题的逆命题为“若x2+x-m=0有实根,则m>0”.
因为方程x2+x-m=0有实根,所以判别式Δ=1+4m≥0,所以m≥-,故逆命题为假命题.
2.[变条件]若本例(3)改为判断“若m>0,则mx2+x-1=0有实根”的逆否命题的真假,则结论如何?
解:
原命题的逆否命题为“若mx2+x-1=0无实根,则m≤0”.
因为方程mx2+x-1=0无实根,则m≠0,
所以判别式Δ=1+4m<0,则m<-,
故m≤0,为真命题.
解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念,原命题与它的逆否命题同真同假,原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题,同真同假,故只判断二者中的一个即可.
等价命题的应用
[典例] 证明:
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
[证明] 法一:
原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)若a+b<0,则a<-b,b<-a.
又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
∴f(a)∴f(a)+f(b)即原命题的逆否命题为真命题.
∴原命题为真命题.
法二:
假设a+b<0,则a<-b,b<-a.
又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
∴f(a)∴f(a)+f(b)这与已知条件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾.
因此假设不成立,故a+b≥0.
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.
[活学活用]
证明:
若m2+n2=2,则m+n≤2.
证明:
将“若m2+n2=2,则m+n≤2”视为原命题,则它的逆否命题为“若m+n>2,则m2+n2≠2”.
由于m+n>2,则m2+n2≥(m+n)2>×22=2,
所以m2+n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
层级一 学业水平达标
1.命题“若m=10,则m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题是( )
A.原命题、否命题 B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题D.逆命题、否命题
解析:
选C 因为原命题是真命题,所以逆否命题也是真命题.
2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )
A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3
C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
解析:
选A a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3.
3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( )
A.能被3整除的整数,一定能被6整除
B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除
C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除
D.不能被6整除的整数,能被3整除
解析:
选B 即写命题“若一个整数能被6整除,则一定能被3整除”的逆否命题.
4.若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是( )
A.互逆命题B.互否命题
C.互为逆否命题D.以上都不正确
解析:
选A 设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”.故q与r为互逆命题.
5.原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真B.假,假,真
C.真,真,假D.假,假,假
解析:
选B 因为原命题为真,所以它的逆否命题为真;若|z1|=|z2|,当z1=1,z2=-1时,这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题是假的,故否命题也是假的.故选B.
6.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是______________________,这是________(填“真”或“假”)命题.
解析:
逆命题即将原命题条件和结论互换位置.
答案:
如果一个数的绝对值等于它本身,那么这个数一定是正数 假
7.已知命题“若m-1解析:
由已知得,若1∴∴1≤m