六年级奥数周周练 第27周 表面积与体积一 学生版.docx

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六年级奥数周周练第27周表面积与体积一学生版

第27周表面积与体积

（一）

一、知识要点

小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。

从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。

因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。

在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：

（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。

（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。

反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。

（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。

若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。

二、精讲精练

【例题1】从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？

【思路导航】这是一道开放题，方法有多种：

①图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。

10×10×6－2×2×2＝592（平方厘米）

②图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。

10×10×6＋10×2×2－2×2×2＝632（平方厘米）

③图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。

10×10×6＋10×2×4－2×2×2＝672（平方厘米）

练习1：

1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？

2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？

3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？

【例题2】把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。

【思路导航】要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。

而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。

整个立体图形的表面积可采用（S上+S左+S前）×2来计算。

（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2

=（81+72+90）×2

=243×2

=486（平方厘米）

答：

这个立体图形的表面积是486平方厘米。

练习2：

1．用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。

求这个立体图形的表面积。

2．一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。

它们的表面积是多少平方厘米？

3．一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。

每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

【例题3】把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？

【思路导航】把两个相同的长方体拼成一个大长方体，需要把两个相同面拼合，所得大长方体的表面积就减少了两个拼合面的面积。

要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9×7的面。

（9×7+9×4+7×4）×2×2—9×7×2

=（63+36+28）×4—126

=508—126

=382（平方厘米）

答：

这个大长方体的表面积最少是382平方厘米。

练习3：

1．把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？

2．将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。

求大长方体的表面积是多少。

3．用6块（如图27-8所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？

【例题4】一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。

【思路导航】我们知道：

体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。

而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。

即

40÷2=20（平方厘米）

90÷3=30（平方厘米）

96÷4=24（平方厘米）

（30+20+24）×2=148（平方厘米）

答：

原长方体的表面积是148平方厘米。

练习4：

1．一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。

原来长方体的表面积是多少平方厘米？

2．一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。

原来长方体的体积是多少立方厘米？

3．有一个长方体（如图27-9所示），它的正面和上面的面积之和是209。

如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？

（单位：

厘米）

【例题5】如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。

求这个物体的表面积。

【思路导航】如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。

实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。

这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。

3.14×1.52×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1

=3.14×（4.5+3+2+1）

=3.14×10.5

=32.97（平方米）

答：

这个物体的表面积是3297平方米。

练习5：

1．一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。

求这个零件的表面积。

2．用铁皮做一个如图27-12所示的工件（两头无盖，单位：

厘米），需用铁皮多少平方厘米？

3．如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。

已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立体图形的表面积和体积。