六年级奥数讲义第27讲表面积与体积一.docx
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六年级奥数讲义第27讲表面积与体积一
表面积与体积
(一)
专题简析:
小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃,需要有更高水平的空间想象能力。
因此,要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法,能将公式作适当的变形,养成“数、形”结合的好习惯,解题时要认真细致观察,合理大胆想象,正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时,要注意以下几点:
(1)充分利用正方体六个面的面积都相等,每个面都是正方形的特点。
(2)把一个立体图形切成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之,把两个立体图形粘合到一起,减少的表面积等于粘合面积的两倍。
(3)若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体,应把它们最小的面拼合起来。
若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体,应把它们最大的面拼合起来。
例题1:
从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?
这是一道开放题,方法有多种:
①按图27-1所示,沿着一条棱挖,剩下部分的表面积为592平方厘米。
②按图27-2所示,在某个面挖,剩下部分的表面积为632平方厘米。
③按图27-3所示,挖通某两个对面,剩下部分的表面积为672平方厘米。
练习1:
1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体,剩下部分的表面积是多少?
2、把一个长为12分米,宽为6分米,高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块,这两个小长方体的表面积之和,比原来长方体的表面积增加了多少平方分米?
3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后,表面积会发生怎样的变化?
例题2:
把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来,如图27-4所示,拼成一个立体图形,求这个立体图形的表面积。
要求这个复杂形体的表面积,必须从整体入手,从上、左、前三个方向观察,每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形(如图27-5所示)。
而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。
整个立体图形的表面积可采用(S上+S左+S前)×2来计算。
(3×3×9+3×3×8+3×3×10)×2
=(81+72+90)×2
=243×2
=486(平方厘米)
答:
这个立体图形的表面积是486平方厘米。
练习2:
1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。
求这个立体图形的表面积。
2、一堆积木(如图27-7所示),是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。
它们的表面积是多少平方厘米?
3、一个正方体的表面积是384平方厘米,把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。
每个小正方体的表面积是多少平方厘米?
例题3:
把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体,拼成一个大长方体,这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米?
把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体,需要把两个相同面拼合,所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。
要使大长方体的表面积最小,就必须使两个拼合面的面积最大,即减少两个9×7的面。
(9×9+9×4+7×4)×2×2—9×7×2
=(63+36+28)×4—126
=508—126
=382(平方厘米)
答:
这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。
练习3:
1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体,长方体的表面积是多少?
2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体,再将这两个长方体拼成一个大长方体。
求大长方体的表面积是多少。
3、用6块(如图27-8所示)长方体木块拼成一个大长方体,有许多种做法,其中表面积最小的是多少平方厘米?
例题4:
一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加90立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方里,求原长方体的表面积。
我们知道:
体积=长×宽×高;由长增加2厘米,体积增加40立方厘米,可知宽×高=40÷2=20(平方厘米);由宽增加3厘米,体积增加90立方厘米,可知长×高=90÷3=30(平方厘米);由高增加4厘米,体积增加96立方厘米,可知长×宽=96÷4=24(平方厘米)。
而长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2=(20+30+24)×2=148(平方厘米)。
即
40÷2=20(平方厘米)
90÷3=30(平方厘米)
96÷4=24(平方厘米)
(30+20+24)×2
=74×2
=148(平方厘米)
答:
原长方体的表面积是148平方厘米。
练习4:
1、一个长方体,如果长减少2厘米,则体积减少48立方厘米;如果宽增加5厘米,则体积增加65立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方厘米。
原来厂房体的表面积是多少平方厘米?
2、一个厂房体木块,从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后,便成为一个正方体,其表面积减少了120平方厘米。
原来厂房体的体积是多少立方厘米?
3、有一个厂房体如下图所示,它的正面和上面的面积之和是209。
如果它的长、宽、高都是质数,这个长方体的体积是多少?
例题5:
如图27-10所示,将高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。
求这个物体的表面积。
如果分别求出三个圆柱的表面积,再减去重叠部分的面积,这样计算比较麻烦。
实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。
这样,这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1
=3.14×(4.5+3+2+1)
=3.14×10.5
=32.97(平方米)
答:
这个物体的表面积是32.97平方米。
答:
①利用微生物的作用,我们可以生产酒、醋、酸奶、馒头和面包等食品。
②土壤中的微生物可以分解动植物的尸体,使它们变成植物需要的营养素。
③在工业生产和医药卫生中也都离不开微生物。
练习5:
1、一个棱长为40厘米的正方体零件(如图27-11所示)的上、下两个面上,各有一个直径为4厘米的圆孔,孔深为10厘米。
求这个零件的表面积。
17、近年来,我国积极推广“无车日”活动,以节约能源和保护环境。
科学家也正在研制太阳能汽车和燃料电池汽车,减少对空气的污染。
18、建立自然保护区是保护生物多样性的有效方法,我国的九寨沟、长白山、四川卧龙等地都建立了自然保护区,自然保护区为物种的生存、繁衍提供了良好的场所。
7、食盐、白糖、碱面、味精的颗粒都是有规则几何外形的固体,人们把这样的固体物质叫做晶体。
自然界中的大部分固体物质都是晶体或由晶体组成。
答:
①尽可能地不使用一次性用品;②延长物品的使用寿命;③包装盒纸在垃圾中比例很大,购物时减少对它们的使用。
2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件(单位:
厘米),需用铁皮多少平方厘米?
1、世界是由物质构成的。
我们身边的书、橡皮、电灯、大树、动物、植物包括我们自己都是由物质构成的。
答:
①利用微生物的作用,我们可以生产酒、醋、酸奶、馒头和面包等食品。
②土壤中的微生物可以分解动植物的尸体,使它们变成植物需要的营养素。
③在工业生产和医药卫生中也都离不开微生物。
4、日常生活中我们应该如何减少垃圾的数量?
3、月球是距离地球最近的星球直径大约是地球的1/4,质量大约是地球的1/80,月球体积大约是地球的1/49,月球引力大约是地球的1/6。
18、大多数生物都是由多细胞组成的,但也有一些生物,它们只有一个细胞,称为单细胞生物。
如草履虫、变形虫、细菌等。
3、如图27-13所示,在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。
已知立方体棱长为10厘米,侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形,上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆,求该立方体的表面积和体积(∏取3.14)。